ネーター半群について
$S$を半群とする．
半群の前順序とイデアル
$S$上の前順序$\sqsubseteq$を
\begin{equation}
x\sqsubseteq y\iff({}^\exists p,q\in S^1)(y=pxq)
\end{equation}
で定める．ここで$S^1$は$S$に単位元$1$を添加したモノイドである．
- 非負整数のモノイド$\mathbb{N}:=(\mathbb{N},+)$上の前順序$\sqsubseteq$は通常の順序に一致する．とくに$\sqsubseteq$は整列順序である．
- 正整数の乗法モノイド$\mathbb{N}^\ast:=(\mathbb{N}_{>0},\cdot)$上の前順序$\sqsubseteq$は整除関係$\mid$である．
- 半群$S,T$の直積$S\times T$上の前順序$\sqsubseteq$は$S,T$上の前順序$\sqsubseteq_S,\sqsubseteq_T$の直積順序である．
半群$S$の(両側)イデアル$I$とは，任意の$x\in I$と任意の$p,q\in S^1$に対して$pxq\in I$であるような集合のことであった．すなわち，前順序$\sqsubseteq$の言葉で言えば，イデアルとは上方集合のことである．従って，$S$のイデアル全体の集合$\mathcal{I}_S$は位相( アレクサンドロフ位相 )をなす．ただし空集合$\emptyset$もイデアルとしている．
部分集合$A\subset S$に対し，集合
\begin{equation}
\idealgen A:=S^1AS^1=\setin{x\in S}{x\sqsupseteq a({}^\forall a \in A)}
\end{equation}
は$S$のイデアルである．これを$A$の生成するイデアルという．一元集合$\setex{x}$, $x\in S$, が生成するイデアルを単に$\idealgen x$で表す．
$\sqsubseteq$の反対称性と同値な条件
$\ReesJ$をグリーンの$\ReesJ$-relationとする．すなわち，$x\ReesJ y\iff\idealgen x=\idealgen y$である．$S$が$\ReesJ$-trivialであるとは，$\ReesJ$が恒等関係$\mathrm{id}_S$に等しいことをいう．
TFAE:
- $x\sqsubseteq y$,
- $\idealgen x\supset\idealgen y$,
- $x\in\overline{\setex y}$.
$x\sqsubseteq y$$\iff y\in\idealgen x$$\iff$$\idealgen y\subset\idealgen x$である．また，$x\in\overline{\setex y}$$\iff$$({}^\forall I\in\mathcal{I})(x\in I\Rightarrow y\in I)$$\iff$$y\in\idealgen x$である．
TFAE:
- $\sqsubseteq$は半順序である．
- $S$は$\ReesJ$-trivialである.
- $S$は$T_0$である．
補題1により，$x\sqsubseteq y,x\sqsupseteq y$$\iff$$x\ReesJ y$$\iff$$\overline{\setex x}=\overline{\setex y}$である．従って$\sqsubseteq$の反対称性，$\ReesJ$-trivialityと$T_0$は同値である．
ネーター半群
ネーター半群の定義
$S$の任意のイデアルが…
(1) 有限生成であるとき，$S$はNoetherianであるという．
(2) 一元生成であるとき，$S$はprincipalであるという．
ネーター半群の特徴付け
$I\neq\emptyset$を$S$のイデアルとするとき，$I$が有限生成であることと$I$が準コンパクトであることは同値である．
$I$を有限生成とし，その生成元を$a_1,\dots,a_r\in I$とする．任意の開被覆$I=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}I_\lambda$をとる．このとき各$a_i$について$a_i\in I_{\lambda_i}$なる$\lambda_i\in\Lambda$が取れる．よって$I=\idealgen\setex{a_1,\dots,a_r}\subset\bigcup_{i=1}^r I_{\lambda_i}$ゆえ有限部分被覆が取れた．
$I$を準コンパクトとする．このとき開被覆$I=\bigcup_{a\in I}\idealgen a$の有限部分被覆$\setex{\idealgen a_i}_{i=1,\dots,r}$をとれば，$I=\idealgen\setex{a_1,\dots,a_r}$であり，$I$は有限生成である．
従って，半群のネーター性はアレクサンドロフ位相空間としてのネーター性と等価である．よって次が成り立つ．
TFAE:
- $S$はNoetherianである．
- $S$のイデアルの昇鎖条件が成り立つ．
- $S$のイデアルの極大条件が成り立つ．
- $\sqsubseteq$は wqo である．
ネーター半群に係る性質
ネーター半群の準同型像はネーター半群
半群準同型は前順序$\sqsubseteq$を保つ．よって半群準同型は連続である．従ってネーター空間の性質から次が成り立つ．
ネーター半群の準同型像はネーター半群である．
ネーター半群の有限直積はネーター半群
直積半群の位相は直積位相である．従って次が成り立つ．
ネーター半群の有限直積はネーター半群である．
ネーター半群の有限帯はネーター半群
$B$を帯(べき等元からなる半群)とし，全射準同型$\varphi\colon S\to B$があったとする．このとき任意の$b,c\in B$について$\varphi^{-1}(b)\varphi^{-1}(c)\subset\varphi^{-1}(bc)$が成り立つ．とくに各ファイバー$\varphi^{-1}(b)$, $b\in B$, は$S$の部分半群であり，$S$は半群の直和$S=\bigcup_{b\in B}\varphi^{-1}(b)$に分解さる．このとき$S$は半群の帯(band of semigroups)であるという．すべてのファイバーが半群のあるサブクラスに属するときは，そのクラスの帯という．たとえばすべての$\varphi^{-1}(b)$が群であれば，$S$は群の帯であるという．
ネーター半群の有限帯はネーター半群である．
ネーター空間の有限直和はネーター空間である．$S$の位相は$(\varphi^{-1}(b))_{b\in B}$の直和位相より弱い(包含写像$\varphi^{-1}(b)\to S$が連続だから)のでネーター空間である．従って$S$はネーター半群である．
ネーター半群のネーター半群によるイデアル拡大はネーター半群
$I\subset S$をイデアルとする．$I$, $S/I$がともにNoetherianであれば，$S$もNoetherianである．すなわち，ネーター半群のネーター半群によるイデアル拡大はネーター半群である．
自然な準同型を$[\cdot]\colon S\to S/I$とかく．$(x_n)_{n=1,2,\dots}$を$S$の列とする．
- $\#\setin{n}{x_n\in I}=\infty$のとき．$I$の元からなる部分列$(y_n)$が取れる．$I$上の前順序$\sqsubseteq_I$はwqoであるから，$y_i\sqsubseteq_I y_j$なる$i< j$が存在する．このとき$y_i\sqsubseteq y_j$である．
- $\#\setin{n}{x_n\in I}<\infty$のとき．$S\setminus I$の元からなる部分列$(z_n)$が取れる．$([z_n])$は$S/I$の$0$でない元からなる列である．$S/I$上の前順序$\sqsubseteq'$はwqoであるから，$[z_i]\sqsubseteq'[z_j]$なる$i< j$が存在する．よって$p,q\in S\setminus I$があって$0\neq[z_j]=[pz_iq]$が成り立つ．従って$z_j=pz_iq$, すなわち$z_i\sqsubseteq z_j$である．
以上より$\sqsubseteq$はwqoであり，$S$はNoetherianと分かった．
その他イデアルの有限生成性に関する性質
$I$を$S$の有限生成イデアルとし，$S/I$はNoetherianであるとする．このとき$I$を含む$S$の任意のイデアルは有限生成である．
$I=\idealgen\setex{a_1,\dots,a_r}$とする．背理法により示す．そのため有限生成でない$S$のイデアル$J\supset I$があったとする．$J\supsetneq I$ゆえ$b_1\in J\setminus I$が取れる．$J_1=\idealgen\setex{a_1,\dots,a_r,b_1}$とおく．$J\supsetneq J_1$であるから$b_2\in J\setminus J_1$が取れる．$J_2=\idealgen\setex{a_1,\dots,a_r,b_1,b_2}$とおく．これを繰り返すことで$S$のイデアルの上昇鎖$I\subsetneq J_1\subsetneq J_2\subsetneq\cdots$を得る．従って$S/I$のイデアルの上昇鎖$0\subsetneq J_1/I\subsetneq J_2/I\cdots$を得る．これは$S/I$のネーター性に矛盾である．
$S$はNoetherianとし，$A\subset S$を空でない任意の部分集合とする．このとき有限部分集合$A_0\subset A$があって，$\idealgen A_0=\idealgen A$が成り立つ．とくに，$S$がprincipalであれば$A_0$は一元集合にとれる．
ネーター性から$\idealgen A=\idealgen\setex{s_1,\dots,s_r}$, $s_1,\dots,s_r\in S$と書ける．各$s_i$は$\idealgen A$に属するので，$s_i\sqsupseteq a_i$なる$a_i\in A$が取れる．このとき
\begin{equation}
\idealgen A=\idealgen\setex{s_1,\dots,s_r}\subset\idealgen\setex{a_1,\dots,a_r}\subset\idealgen A
\end{equation}
ゆえ$\idealgen A=\idealgen\setex{a_1,\dots,a_r}$である．
$S$は$\ReesJ$-trivialとする．このとき$S$がprincipalであることと$\sqsubseteq$が整列順序であることは同値である．
$S$はprincipalであるとする．任意の空でない部分集合$A\subset S$をとる．命題10により，$\idealgen A=\idealgen a_0$をみたす$a_0\in A$が存在する．このとき任意の$a\in A$について$a\sqsupseteq a_0$であるから，$a_0$は$A$の最小元である．よって$\sqsubseteq$は整列順序である．
$\sqsubseteq$は整列順序とする．任意の空でない$S$のイデアル$I$をとり，$I$の最小元を$a_0$とする．$a_0$は$I$の要素であるから，$\idealgen a_0\subset I$である．また最小性から$\idealgen a_0\supset I$も成り立つ．よって$I=\idealgen a_0$である．
例
- 命題11より$\mathbb{N}$はprincipalである．よってその有限直積$\mathbb{N}^d$, $d>0$, はNoetherianである．
- $\mathbb{N}^\ast\cong\bigoplus_{i=1}^\infty\mathbb{N}$はNoetherianでない(例えば素数全体の生成するイデアルは有限生成でない)．一方$\mathbb{N}^\ast$を部分半群として含む正の有理数全体$\mathbb{Q}_{>0}$は，群であるため自明なイデアルしか持たず，principalである．
- $Q$を有限箙，$S_Q$を 付随する半群 とする．$R=\idealgen E$を矢の生成するイデアルとし，$n>1$とする．$R^n=\setex 0\cup\setin{p\in S_Q\setminus\setex 0}{|p|\ge n}$を長さ$n$の道が生成するイデアルとする．$R^n$は有限生成である．また剰余半群$S_Q/R^n$は，長さ$n$未満の道が有限個であることから有限半群，とくにNoetherianである．従って命題9により，$R^n$を含む$S_Q$のイデアルは有限生成である．
