ネーター半群について

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$S$ を半群とする．

半群の前順序とイデアル

$S$ 上の前順序 $⊑$ を
$x ⊑ y ⟺ (^{\exists} p, q \in S^{1}) (y = p x q)$
で定める．ここで $S^{1}$ は $S$ に単位元 $1$ を添加したモノイドである．

非負整数のモノイド $N := (N, +)$ 上の前順序 $⊑$ は通常の順序に一致する．とくに $⊑$ は整列順序である．
正整数の乗法モノイド $N^{*} := (N_{> 0}, \cdot)$ 上の前順序 $⊑$ は整除関係 $∣$ である．
半群 $S, T$ の直積 $S \times T$ 上の前順序 $⊑$ は $S, T$ 上の前順序 $⊑_{S}, ⊑_{T}$ の直積順序である．

半群 $S$ の(両側)イデアル $I$ とは，任意の $x \in I$ と任意の $p, q \in S^{1}$ に対して $p x q \in I$ であるような集合のことであった．すなわち，前順序 $⊑$ の言葉で言えば，イデアルとは上方集合のことである．従って， $S$ のイデアル全体の集合 $I_{S}$ は位相( アレクサンドロフ位相 )をなす．ただし空集合 $\emptyset$ もイデアルとしている．

部分集合 $A \subset S$ に対し，集合
$↑ A := S^{1} A S^{1} = {x \in S | x ⊒ a (^{\forall} a \in A)}$
は $S$ のイデアルである．これを $A$ の生成するイデアルという．一元集合 ${x}$ , $x \in S$ , が生成するイデアルを単に $↑ x$ で表す．

$⊑$ の反対称性と同値な条件

$J$ をグリーンの $J$ -relationとする．すなわち， $x J y ⟺ ↑ x = ↑ y$ である． $S$ が $J$ -trivialであるとは， $J$ が恒等関係 ${id}_{S}$ に等しいことをいう．

TFAE:

$x ⊑ y$ ,
$↑ x \supset ↑ y$ ,
$x \in \overset{―}{{y}}$ .

$x ⊑ y$ $⟺ y \in ↑ x$ $⟺$ $↑ y \subset ↑ x$ である．また， $x \in \overset{―}{{y}}$ $⟺$ $(^{\forall} I \in I) (x \in I \Rightarrow y \in I)$ $⟺$ $y \in ↑ x$ である．

TFAE:

$⊑$ は半順序である．
$S$ は $J$ -trivialである.
$S$ は $T_{0}$ である．

補題1により， $x ⊑ y, x ⊒ y$ $⟺$ $x J y$ $⟺$ $\overset{―}{{x}} = \overset{―}{{y}}$ である．従って $⊑$ の反対称性， $J$ -trivialityと $T_{0}$ は同値である．

ネーター半群

ネーター半群の定義

$S$ の任意のイデアルが…
(1) 有限生成であるとき， $S$ はNoetherianであるという．
(2) 一元生成であるとき， $S$ はprincipalであるという．

ネーター半群の特徴付け

$I \neq \emptyset$ を $S$ のイデアルとするとき， $I$ が有限生成であることと $I$ が準コンパクトであることは同値である．

$I$ を有限生成とし，その生成元を $a_{1}, \dots, a_{r} \in I$ とする．任意の開被覆 $I = ⋃_{λ \in Λ} I_{λ}$ をとる．このとき各 $a_{i}$ について $a_{i} \in I_{λ_{i}}$ なる $λ_{i} \in Λ$ が取れる．よって $I = ↑ {a_{1}, \dots, a_{r}} \subset ⋃_{i = 1}^{r} I_{λ_{i}}$ ゆえ有限部分被覆が取れた．
$I$ を準コンパクトとする．このとき開被覆 $I = ⋃_{a \in I} ↑ a$ の有限部分被覆 ${↑ a_{i}}_{i = 1, \dots, r}$ をとれば， $I = ↑ {a_{1}, \dots, a_{r}}$ であり， $I$ は有限生成である．

従って，半群のネーター性はアレクサンドロフ位相空間としてのネーター性と等価である．よって次が成り立つ．

TFAE:

$S$ はNoetherianである．
$S$ のイデアルの昇鎖条件が成り立つ．
$S$ のイデアルの極大条件が成り立つ．
$⊑$ は wqo である．

ネーター半群に係る性質

ネーター半群の準同型像はネーター半群

半群準同型は前順序 $⊑$ を保つ．よって半群準同型は連続である．従ってネーター空間の性質から次が成り立つ．

ネーター半群の準同型像はネーター半群である．

ネーター半群の有限直積はネーター半群

直積半群の位相は直積位相である．従って次が成り立つ．

ネーター半群の有限直積はネーター半群である．

ネーター半群の有限帯はネーター半群

$B$ を帯(べき等元からなる半群)とし，全射準同型 $φ : S \to B$ があったとする．このとき任意の $b, c \in B$ について $φ^{- 1} (b) φ^{- 1} (c) \subset φ^{- 1} (b c)$ が成り立つ．とくに各ファイバー $φ^{- 1} (b)$ , $b \in B$ , は $S$ の部分半群であり， $S$ は半群の直和 $S = ⋃_{b \in B} φ^{- 1} (b)$ に分解さる．このとき $S$ は半群の帯(band of semigroups)であるという．すべてのファイバーが半群のあるサブクラスに属するときは，そのクラスの帯という．たとえばすべての $φ^{- 1} (b)$ が群であれば， $S$ は群の帯であるという．

ネーター半群の有限帯はネーター半群である．

ネーター空間の有限直和はネーター空間である． $S$ の位相は $(φ^{- 1} (b))_{b \in B}$ の直和位相より弱い(包含写像 $φ^{- 1} (b) \to S$ が連続だから)のでネーター空間である．従って $S$ はネーター半群である．

ネーター半群のネーター半群によるイデアル拡大はネーター半群

$I \subset S$ をイデアルとする． $I$ , $S / I$ がともにNoetherianであれば， $S$ もNoetherianである．すなわち，ネーター半群のネーター半群によるイデアル拡大はネーター半群である．

自然な準同型を $[\cdot] : S \to S / I$ とかく． $(x_{n})_{n = 1, 2, \dots}$ を $S$ の列とする．

$# {n | x_{n} \in I} = \infty$ のとき． $I$ の元からなる部分列 $(y_{n})$ が取れる． $I$ 上の前順序 $⊑_{I}$ はwqoであるから， $y_{i} ⊑_{I} y_{j}$ なる $i < j$ が存在する．このとき $y_{i} ⊑ y_{j}$ である．
$# {n | x_{n} \in I} < \infty$ のとき． $S ∖ I$ の元からなる部分列 $(z_{n})$ が取れる． $([z_{n}])$ は $S / I$ の $0$ でない元からなる列である． $S / I$ 上の前順序 $⊑^{'}$ はwqoであるから， $[z_{i}] ⊑^{'} [z_{j}]$ なる $i < j$ が存在する．よって $p, q \in S ∖ I$ があって $0 \neq [z_{j}] = [p z_{i} q]$ が成り立つ．従って $z_{j} = p z_{i} q$ , すなわち $z_{i} ⊑ z_{j}$ である．

以上より $⊑$ はwqoであり， $S$ はNoetherianと分かった．

その他イデアルの有限生成性に関する性質

$I$ を $S$ の有限生成イデアルとし， $S / I$ はNoetherianであるとする．このとき $I$ を含む $S$ の任意のイデアルは有限生成である．

$I = ↑ {a_{1}, \dots, a_{r}}$ とする．背理法により示す．そのため有限生成でない $S$ のイデアル $J \supset I$ があったとする． $J ⊋ I$ ゆえ $b_{1} \in J ∖ I$ が取れる． $J_{1} = ↑ {a_{1}, \dots, a_{r}, b_{1}}$ とおく． $J ⊋ J_{1}$ であるから $b_{2} \in J ∖ J_{1}$ が取れる． $J_{2} = ↑ {a_{1}, \dots, a_{r}, b_{1}, b_{2}}$ とおく．これを繰り返すことで $S$ のイデアルの上昇鎖 $I ⊊ J_{1} ⊊ J_{2} ⊊ \dots$ を得る．従って $S / I$ のイデアルの上昇鎖 $0 ⊊ J_{1} / I ⊊ J_{2} / I \dots$ を得る．これは $S / I$ のネーター性に矛盾である．

$S$ はNoetherianとし， $A \subset S$ を空でない任意の部分集合とする．このとき有限部分集合 $A_{0} \subset A$ があって， $↑ A_{0} = ↑ A$ が成り立つ．とくに， $S$ がprincipalであれば $A_{0}$ は一元集合にとれる．

ネーター性から $↑ A = ↑ {s_{1}, \dots, s_{r}}$ , $s_{1}, \dots, s_{r} \in S$ と書ける．各 $s_{i}$ は $↑ A$ に属するので， $s_{i} ⊒ a_{i}$ なる $a_{i} \in A$ が取れる．このとき
$↑ A = ↑ {s_{1}, \dots, s_{r}} \subset ↑ {a_{1}, \dots, a_{r}} \subset ↑ A$
ゆえ $↑ A = ↑ {a_{1}, \dots, a_{r}}$ である．

$S$ は $J$ -trivialとする．このとき $S$ がprincipalであることと $⊑$ が整列順序であることは同値である．

$S$ はprincipalであるとする．任意の空でない部分集合 $A \subset S$ をとる．命題10により， $↑ A = ↑ a_{0}$ をみたす $a_{0} \in A$ が存在する．このとき任意の $a \in A$ について $a ⊒ a_{0}$ であるから， $a_{0}$ は $A$ の最小元である．よって $⊑$ は整列順序である．
$⊑$ は整列順序とする．任意の空でない $S$ のイデアル $I$ をとり， $I$ の最小元を $a_{0}$ とする． $a_{0}$ は $I$ の要素であるから， $↑ a_{0} \subset I$ である．また最小性から $↑ a_{0} \supset I$ も成り立つ．よって $I = ↑ a_{0}$ である．

例

命題11より $N$ はprincipalである．よってその有限直積 $N^{d}$ , $d > 0$ , はNoetherianである．
$N^{*} ≅ ⨁_{i = 1}^{\infty} N$ はNoetherianでない(例えば素数全体の生成するイデアルは有限生成でない)．一方 $N^{*}$ を部分半群として含む正の有理数全体 $Q_{> 0}$ は，群であるため自明なイデアルしか持たず，principalである．
$Q$ を有限箙， $S_{Q}$ を付随する半群とする． $R = ↑ E$ を矢の生成するイデアルとし， $n > 1$ とする． $R^{n} = {0} \cup {p \in S_{Q} ∖ {0} | | p | \geq n}$ を長さ $n$ の道が生成するイデアルとする． $R^{n}$ は有限生成である．また剰余半群 $S_{Q} / R^{n}$ は，長さ $n$ 未満の道が有限個であることから有限半群，とくにNoetherianである．従って命題9により， $R^{n}$ を含む $S_{Q}$ のイデアルは有限生成である．

投稿日：2023年4月28日

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