積分問題集の解説(初級)

\begin{eqnarray} I:=\int_{-π/2}^{π/2}\frac{\cos^2x}{1+e^{\sin x}}dx \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} &=&\int_{π/2}^{-π/2}\frac{\cos^2(-x)}{1+e^{\sin (-x)}}(-dx)　(x→-x)\\ &=&\int_{-π/2}^{π/2}\frac{\cos^2x e^{\sin x}}{1+e^{\sin x}}dx=I' \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} I&=&\frac{I+I'}{2}　(∵I'=I)\\ &=&\frac{1}{2}\int_{-π/2}^{π/2}\cos^2 x dx \end{eqnarray}
あとは計算するだけですが僕的には2つの解法があるので紹介したい方のみ解説します.
1つ目は半角を用いて2乗を解消する方法
2つ目はkpを用いて一瞬で終わらせる方法です.
後者を紹介します.
\begin{eqnarray} A:&=&\int_{-π/2}^{π/2}\cos^2xdx\\ &=&2\int_{0}^{π/2}\cos^2xdx\\ &=&2\int_{0}^{π/2}\sin^2xdx　(\frac{π}{2}-x→x) \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} 2A&=&2\int_{0}^{π/2}\cos^2x+\sin^2xdx\\ &=&π \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} ∴I=\frac{A}{2}=\frac{π}{4} \end{eqnarray}
こんな感じで示せました.

\begin{eqnarray} \int_{0}^{\pi}\arccos \cos^{2n+1}xdx \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} &=&\int_{0}^{π}\frac{π}{2}-\arcsin \cos^{2n+1} xdx\\ &=&\frac{π^2}{2}-\int_{0}^{π} \arcsin (-\cos x)^{2n+1}dx　(π-x→x)\\ &=&\frac{π^2}{2} \end{eqnarray}
途中A=-Aなる実数はA=0となることからarcsinの積分が0になる事を使いました.

$\int e^x dx=e^x+C$より
n=1で成り立つ
n=mで成り立つと仮定し
n=m+1で成り立っていることを示す.
\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}a_{m+1}(x)&=&\frac{d}{dx}e^{a_m(x)}\\ &=&\frac{d}{dx}a_m(x)·\frac{d}{da_m(x)}e^{a_m(x)}\\ &=&e^{a_m(x)}\prod_{k=1}^{m}a_k(x)\\ &=&\prod_{k=1}^{m+1}a_k(x) \end{eqnarray}

題意をIと置く
\begin{eqnarray} I&=&\int_{0}^{π}\frac{π-x}{a+\cos^2x}dx　(x→π-x)\\ &=&\int_{0}^{π}\frac{π}{a+\cos^2x}dx-I \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} ∴I&=&\frac{π}{2}\int_{0}^{π}\frac{dx}{a+\cos^2x}\\ &=&π\int_{0}^{π/2}\frac{dx}{a+\cos^2x}\\ &=&π\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{1+a+at^2}　(\tan x→t)\\ &=&π\int_{0}^{π/2}\frac{dt}{\sqrt{a(1+a)}}　(\sqrt{a}t→\sqrt{1+a}\tan t)\\ &=&\frac{π^2}{2\sqrt{a(1+a)}} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \int_{0}^{2π}\frac{dx}{\cosh a+\cos x}&=&\int_{0}^{2π}\frac{2dx}{2\cosh a+e^{ix}+e^{-ix}}\\ &=&\int_{0}^{2π}\frac{2e^{ix}dx}{e^{2ix}+2\cosh a e^{ix}+1}\\ &=&\frac{2}{i}\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+2\cosh a z+1}　(e^{ix}→z)\\ &=&\frac{2}{i}\oint_{|z|=1}\frac{dz} {(z+e^a)(z+e^{-a})}\\ &=&4π \mathrm{Res}_{z=-e^{-a}} \frac{1}{(z+e^a)(z+e^{-a})}　(∵a>0)\\ &=&4π \lim_{z→-e^{-a}}\frac{1}{z+e^a}\\ &=&\frac{2π}{\sinh a} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}\frac{x}{x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}dx&=&\int_{0}^{1}\frac{(1-x)x}{1-x^6}dx\\ &=&\sum_{n≥0}\int_{0}^{1}x^{6n+1}-x^{6n+2}dx\\ &=&\frac{1}{6}\sum_{n≥0}\frac{1}{n+\frac{1}{3}}-\frac{1}{n+\frac{1}{2}}\\ &=&\frac{ψ(\frac{1}{2})-ψ(\frac{1}{3})}{6} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}\frac{\ln^{s-1}\frac{1}{x}}{1-x}dx&=&\int_{0}^{\infty}x^{s-1}\frac{dx}{1-e^{-x}}　(\frac{1}{x}→e^x)\\ &=&\int_{0}^{\infty}x^{s-1}\sum_{n=0}^{\infty}e^{-(n+1)x}dx　(∵\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n　(|z|<1))\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{n^s}e^{-x}dx　(nx→x)\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}·\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx\\ &=&ζ(s)Γ(s) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ln\frac{1+zx}{1-zx}dx &=&\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\sum_{n>0}\frac{z^nx^n((-1)^{n-1}+1)}{n}\\ &=&\sum_{n≥0}\frac{z^{2n+1}}{2n+1}\int_{0}^{1}\frac{x^{2n+2}}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ &=&\frac{π}{2}\sum_{n≥0}\frac{z^{2n+1}(\frac{1}{2})_n}{(n+1)!}\\ &=&\frac{π}{2z}\sum_{n≥0}\int_{0}^{z^2}x^n \frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}dx\\ &=&\frac{π}{2z}\int_{0}^{z^2}(1-x)^{-1/2}dx\\ &=&π\frac{1-\sqrt{1-z^2}}{z} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}e^{-ax}dx&=&\int_{0}^{\infty}\int_{a}^{\infty}\sin x e^{-tx}dtdx\\ &=&\int_{a}^{\infty}\int_{0}^{\infty} \sin x e^{-xt}dxdt\\ &=&\int_{a}^{\infty}\frac{1}{t^2+1}dt\\ &=&\int_{\arctan a}^{π/2}dt　(t→\tan t)\\ &=&\frac{π}{2}-\arctan a \end{eqnarray}