「ある恒等式と部分分数分解」で得られた等式の応用

　引き続き、 $K$ を任意の体とします。 $V$ と $V^{'}$ の定義を再掲しておきます。
$V (a_{1}, \dots, a_{n}) = | \begin{matrix} 1 & a_{1} & \dots & a_{1}^{n - 1} \\ 1 & a_{2} & \dots & a_{2}^{n - 1} \\ ⋮ \\ 1 & a_{n} & \dots & a_{n}^{n - 1} \end{matrix} | = \prod_{i < j} (a_{j} - a_{i})$
$V^{'} (a_{1}, \dots, a_{n}; b_{1}, \dots, b_{n}) = | \begin{matrix} 1 & a_{1} & \dots & a_{1}^{n - 2} & b_{1} \\ 1 & a_{2} & \dots & a_{2}^{n - 2} & b_{2} \\ ⋮ \\ 1 & a_{n} & \dots & a_{n}^{n - 2} & b_{n} \end{matrix} |$
また、この記事では $n$ は $1$ 以上の整数とします。 $n = 1$ のとき、
$V (a_{1}) = 1, V^{'} (a_{1}; b_{1}) = b_{1}$
と約束します。

　前回の記事では、

$a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ を相異なる元とする。このとき、任意の $b_{1}, \dots, b_{n} \in K$ に対し
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{b_{i}}{\prod_{j \neq i} (a_{i} - a_{j})} = \frac{V^{'} (a_{1}, \dots, a_{n}; b_{1}, \dots, b_{n})}{V (a_{1}, \dots, a_{n})}$

という式を示しました。前回は $n ≧ 2$ としていましたが、 $n = 1$ の場合も $\prod_{j \neq i} (a_{i} - a_{j}) = 1$ と約束すれば成り立つことが確かめられます。
　前回はこの等式において $b_{1} = \dots = b_{n} = 1$ とおくことにより目的の式を得ましたが、他の値を代入して得られる式をいくつか見ていきたいと思います。

$b_{i} = a_{i}^{m} (m = 1, \dots, n - 2)$

　 $m$ を $1$ 以上 $n - 2$ 以下の整数とし、 $b_{i} = a_{i}^{m}$ の場合を考えます。この場合も、 $V^{'}$ の定義に現れる行列式が $0$ になることが容易に分かり、従って、前回の結果と合わせて

$a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ を相異なる元とし、 $m$ を $0$ 以上 $n - 2$ 以下の整数とする。このとき
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}^{m}}{\prod_{j \neq i} (a_{i} - a_{j})} = 0$

が成り立ちます。さらに、 $\sum$ の線形性から

$a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ を相異なる元とし、 $P (x)$ を高々 $n - 2$ 次の $K$ 係数多項式とする。このとき
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{P (a_{i})}{\prod_{j \neq i} (a_{i} - a_{j})} = 0$

も成り立ちます。これにより、前回よりも一般的な状況での部分分数分解に対応できます。例えば $n = 4$ として
$\frac{x^{2} - 2}{(x - 3) (x - 5) (x - 6)} + \frac{3^{2} - 2}{(3 - x) (3 - 5) (3 - 6)} + \frac{5^{2} - 2}{(5 - x) (5 - 3) (5 - 6)} + \frac{6^{2} - 2}{(6 - x) (6 - 3) (6 - 5)} = 0$
など。

$b_{i} = a_{i}^{n - 1}$

　 $b_{i} = a_{i}^{n - 1}$ の場合を考えます。この場合は、 $V^{'}$ の定義から
$V^{'} (a_{1}, \dots, a_{n}; a_{1}^{n - 1}, \dots, a_{n}^{n - 1}) = V (a_{1}, \dots, a_{n})$
であることが分かり、したがって

$a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ を相異なる元とする。このとき
$\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}^{n - 1}}{\prod_{j \neq i} (a_{i} - a_{j})} = 1$

が成り立ちます。

$a_{0}, \dots, a_{n}$ が公差 $1$ の等差数列

　この節では、結果の見栄えのため、添え字を $0, \dots, n$ とします。すなわち、 $n$ は $0$ 以上の整数で、等式
$\sum_{i = 0}^{n} \frac{b_{i}}{\prod_{j \neq i} (a_{i} - a_{j})} = \frac{V^{'} (a_{0}, \dots, a_{n}; b_{0}, \dots, b_{n})}{V (a_{0}, \dots, a_{n})}$
を利用します。また、体 $K$ の標数は $0$ であるか十分大きいとします。
　任意に $a \in K$ をとり、 $a_{0}, \dots, a_{n}$ に $a, a + 1, \dots, a + n$ を代入します。各 $i$ に対して $\prod_{j \neq i} (a_{i} - a_{j})$ を計算すると、
$\prod_{j \neq i} (a_{i} - a_{j}) = \prod_{j \neq i} (i - j) = (- 1)^{n - i} i! (n - i)!$
となるので、
$\sum_{i = 0}^{n} \frac{(- 1)^{n - i} b_{i}}{i! (n - i)!} = \frac{V^{'} (a, \dots, a + n; b_{0}, \dots, b_{n})}{V (a, \dots, a + n)}$
が成り立ち、さらに両辺に $n!$ をかければ
$\sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} b_{i} \cdot_{n} C_{i} = n! \cdot \frac{V^{'} (a, \dots, a + n; b_{0}, \dots, b_{n})}{V (a, \dots, a + n)}$
となります。
　ここで、先ほどと同じように $b_{i} = (a + i)^{m} (m = 0, \dots, n)$ を代入すると、

$\sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} (a + i)^{m} \cdot_{n} C_{i} = {\begin{array}{rcl} 0 & (m = 0, 1, \dots n - 1) \\ n! & (m = n) \end{array}$
が得られます。
　二項係数の重み付き交代和の公式が得られました。まとめると、

$n$ を自然数とする。 $a \in K$ を任意の元とし、 $a, a + 1, \dots, a + n$ が相異なると仮定する。このとき
$\sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{n - i} (a + i)^{m} \cdot_{n} C_{i} = {\begin{array}{rcl} 0 & (m = 0, 1, \dots n - 1) \\ n! & (m = n) \end{array}$

　例えば、以下のような式が成り立つことが分かります。
$- 16 + 3 \cdot 17 - 3 \cdot 18 + 19 = 0$
$- 16^{2} + 3 \cdot 17^{2} - 3 \cdot 18^{2} + 19^{2} = 0$
$- 16^{3} + 3 \cdot 17^{3} - 3 \cdot 18^{3} + 19^{3} = 6$