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高校数学解説
文献あり

ポンスレ束の一般化~MMPとなかよく~

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この記事は ポンスレ束について の続編です. まずはこちらをお読みください.

はじめに

 前回の記事では, 等角共役が直線を円錐曲線に移すことを示し, 特に直線が三角形の外心を通るとき, 等角共役により得られる直角双曲線の漸近線がシムソン線を用いて特徴づけられることを紹介しました.
 今回は等角共役, 9点円, シムソン線をそれぞれ円錐曲線の世界で定義しなおし, ポンスレ束について の定理5よりも強い主張を導きます. 記事の中でMMP(Method of Moving Points)を使うので, 知らない人はMMPを参照してください.

平行弦共役

 まずは等角共役について確認します. 三角形ABCについてP,Qが図1のような位置関係にあるとき, QPの等角共役といいます. 等角共役の性質として, 次のようなものがあります.

  • 重心座標を用いて[x:y:z][a2yz:b2zx:c2xy]と表現できる
  • Pが三角形ABCの外接円上 Qが無限遠点
  • 等角共役による直線の像はA,B,Cを通る円錐曲線である
    Qの等角共役P Qの等角共役P

 似たような性質をもつものに, 等長共役があります. 三角形ABCについてP,Qが図2のような位置関係にあるとき, QPの等長共役といいます. 等長共役の性質としては, 次のようなものがあります.

  • 重心座標を用いて[x:y:z][yz:zx:xy]と表現できる
  • Pが三角形ABCのシュタイナー外接楕円上 Qが無限遠点
  • 等長共役による直線の像はA,B,Cを通る円錐曲線である

Pの等長共役Q Pの等長共役Q

 これらを包含するのが次に示す平行弦共役です.

平行弦共役

円錐曲線Cに内接する三角形ABCと点Pをとる. APCと再び交わる点をA1, A1を通りBCに平行な直線がCと再び交わる点をA2とし, 同様にB1,B2,C1,C2を定める. このとき, AA2,BB2,CC2は1点で交わり, 交点QP平行弦共役という.

Pの平行弦共役Q Pの平行弦共役Q

MMPを用いる

 C,ABC,A1を固定し, AA1上をPが動くとする. このとき, 次の2つはそれぞれ射影写像である.
PBPB1B2BB2BB2AA2
PCPC1C2CC2CC2AA2
 これらが写像として一致することを示すには, AA1上の相異なる3点で一致することを確かめればよい. P=A,AA1BCのときは明らか. P=A1のとき, ACBB2PA2ABCC2PA2にパスカルの定理を適用することでAA2BB2CC2を得る. 以上より示された.

 C:pyz+qzx+rxy=0のとき, 平行弦共役は[x:y:z][pyz:qzx:rxy]で表せることが計算により分かります. 従って, (p,q,r)=(a2,b2,c2)つまりCが外接円のときは等角共役, (p,q,r)=(1,1,1)つまりCがシュタイナー外接楕円のときは等長共役となり, 確かに両者を含んでいます.
 平行弦共役が[x:y:z][pyz:qzx:rxy]で表せることから, 前編で紹介した等角共役の性質は平行弦共役でも全く同様に示すことができます.

P,Qの平行弦共役をそれぞれP,Qとするとき, X=PQPQY=PQPQは互いに平行弦共役である.

平行弦共役による直線の像

三角形ABCA,B,Cを通らない直線l上の点Pをとる. Pl上を動くとき, Pの平行弦共役はABCに外接する円錐曲線を描く.

定理3

lの像となる円錐曲線の形状は次のように判別できる.

  • lCと交わらないとき, 楕円
  • lCが接するとき, 放物線
  • lCが2点で交わるとき, 双曲線

平行弦共役が[x:y:z][pyz:qzx:rxy]で表せることを示せ.

9点円錐曲線

 次に, 9点円の一般化である9点円錐曲線を定義します.

9点円錐曲線(円錐曲線の中心の軌跡として)

どの3つも共線でない4点A,B,C,Dをとる. A,B,C,Dを通る円錐曲線Cについて, その中心はCの取り方に依らずある円錐曲線上にある. この円錐曲線を9点円錐曲線という.

双対性を用いる

 Cの中心をXとし,AB,BC,CD,DAの中点をP,Q,R,Sとする. このとき, XP,XQ,XR,XSの極はそれぞれAB,BC,CD,DA方向の無限遠点であり, (XP,XQ;XR,XS)Cの取り方に依らない. よって主張は示された.

どの3つも共線でない4点A,B,C,Dに対し, 以下の9点は同一円錐曲線上にある.

  • AB,AC,AD,BC,BD,CDの中点
  • ABCD,ACBD,ADBC

A,B,C,Dの9点円錐曲線 A,B,C,Dの9点円錐曲線

 ABの中点についてC,Dと対称な点をC,DとしてACDBCDにパスカルの定理を適用すると, ABの中点を中心としてこれら6点を通る円錐曲線の存在がわかる. ほかの中点についても同様.
 さらに, ABCD,ACBD,ADBCは退化した双曲線であり, これらの中心はそれぞれABCD,ACBD,ADBCとみなせる.
 以上より, これら9点はすべて9点円錐曲線上にある.

 特に, A,B,C,Dが垂心系をなすとき9点円錐曲線は三角形ABCの9点円と一致します. このとき, 定理4によれば9点円は4点A,B,C,Dを通る円錐曲線, つまり直角双曲線(前編の補題4を参照)の中心の軌跡であり, これは前編の定理5の前半の主張と同じです.

 余談ですが, どの3つも共点でない4直線に対し, それらに接する円錐曲線の中心の軌跡は4直線のなす完全四辺形のニュートン線になります.

三角形ABCとその重心Gについて, A,B,C,Gの9点円錐曲線はシュタイナー内接楕円であることを確認せよ.

4点A,B,C,Dの9点円錐曲線の中心はADの中点とBCの中点を結ぶ線分の中点であることを示せ.

略解CA,CB,DB,DAの中点が平行四辺形をなすことから従う.

どの3つも共線でない5点A,B,C,D,Eについて, ABCD,BCDE,CDEA,DEAB,EABCの9点円錐曲線は1点で交わることを示せ.

略解A,B,C,D,Eを通る円錐曲線が一意に存在し, この中心を5つの9点円錐曲線が共有する.

Japan TST 2016-12 において, 四角形APOS,BQOP,CROQ,DSORのニュートン線が1点で交わることを示せ. また, この交点はどのような点か.

略解ブリアンションの定理の逆よりAB,BC,CD,DA,PR,QSのすべてに接する円錐曲線が存在する. この中心を4本のニュートン線が共有する.

コニック・シムソン線とコニック・シュタイナー線

 三角形ABCと点Dに対し, A,B,C,Dの9点円錐曲線をD中心で2倍拡大したものを外接9点円錐曲線とよび, この曲線上の点についてシムソン線の類似物を定めます.

コニック・シムソン線とコニック・シュタイナー線

三角形ABCと点Dについて, 外接9点円錐曲線C上に点Pをとる. AD,BD,CDCと再び交わる点をそれぞれDA,DB,DCとし, PDA,PDB,PDCBC,CA,ABの交点をそれぞれX,Y,Zとするとき, 3点X,Y,Zは同一直線上にある. この3点を通る直線をコニック・シュタイナー線といい, コニック・シュタイナー線をP中心で12倍拡大したものをコニック・シムソン線という.

Pにおけるコニック・シムソン線 Pにおけるコニック・シムソン線

 BCADAPDBにパスカルの定理を適用すると, DXY上にあることがわかる. 同様にしてDYZ上にあることも従うのでよい.

Dが三角形ABCの垂心のとき, コニック・シムソン線は通常のシムソン線と一致することを確認せよ.

中心と漸近線の特徴づけ

主定理

三角形ABCと点Dについて, 外接9点円錐曲線C上の点P,Qが中心Oについて対称であるとする. このとき, 平行弦共役によるPQの像Hの中心は9点円錐曲線上にあり, その漸近線はP,Qにおけるコニック・シムソン線に一致する.

\mathcal{H}の漸近線(橙) \mathcal{H}の漸近線(橙)

 Hと円ABCが再び交わる点をEとし, P,Qの平行弦共役をそれぞれP,Qとする. 次の3ステップで示す.

  1. Hの中心は9点円錐曲線上にあり, 特にDEの中点である.
  2. P,Qにおけるコニック・シュタイナー線はHの漸近線とそれぞれ平行である.
  3. P,Qにおけるコニック・シムソン線はHの中心で交わる.

 (1)を示す. Hの中心が9点円錐曲線上にあることは定理3,4よりただちに従う. さらに, Hの中心についてDと対称な点をEとすると, 対称性よりEH上にあり, さらにCの定義よりこれはC上でもある. よって示された.
 (2)を示す. Pにおけるコニック・シュタイナー線方向の無限遠点がQに一致することを示せばよい. 定理5と同様にDA,DB,DC,X,Y,Zを定め, Qを通りBCに平行な直線がCと再び交わる点をQ2とする. ここでA,B,C,Dを固定し, PC上を動くとする. このとき, 次の2つはそれぞれ射影写像である.
PPDAXDXm
PQQ2AQ2
 ただし, mAを通りDXに平行な直線であるとする. これらが写像として一致することを示すには, C上の相異なる3点で一致することを確かめればよい. BCの中点をMとし, Adの中点をNとする. また, ADBCの交点をA1とする. まずP=Aのときを示す. このとき, 9点円錐曲線の中心がMNの中点であることからDMONは平行四辺形であり, これよりDQの中点はMである. よってA1MDAQであるのでよい. 次にP=Bのときを示す. このとき, BCQQ2ADBQ2はともに平行四辺形であることから従う. P=Cのときも同様である. 以上よりP=A,B,Cでの成立が示されたので, (2)は示された.
 最後に(3)を示す. P,Qに補題2を用いると, PQPQPQPQは互いに等角共役である. PQPQPQ方向の無限遠点であるから, PQPQ=Eを得る. ここで, (2)よりPQ,PQはそれぞれP,Qにおけるコニック・シュタイナー線に平行な直線である. コニック・シムソン線はコニック・シュタイナー線を12倍に相似拡大したものであり, 定理5よりコニック・シュタイナー線は定点Dを通るので, P,Qにおけるコニック・シムソン線はDEの中点, つまりHの中心で交わる.
 以上より, P,Qにおけるコニック・シムソン線は漸近線に他ならない.

参考文献

[1]
A.V.Akopyan, A.A.Zaslavsky, "Geometry of Conics", American Mathematical Society, 2007
[2]
Vladyslav Zveryk, "The Method of Moving Points"
投稿日:202419
更新日:202419
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受験生をしています→受験終わりました また初等幾何で遊びたいです

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  1. はじめに
  2. 平行弦共役
  3. 9点円錐曲線
  4. コニック・シムソン線とコニック・シュタイナー線
  5. 中心と漸近線の特徴づけ
  6. 参考文献