はじめに
前回の記事では, 等角共役が直線を円錐曲線に移すことを示し, 特に直線が三角形の外心を通るとき, 等角共役により得られる直角双曲線の漸近線がシムソン線を用いて特徴づけられることを紹介しました.
今回は等角共役, 9点円, シムソン線をそれぞれ円錐曲線の世界で定義しなおし,
ポンスレ束について
の定理5よりも強い主張を導きます. 記事の中でMMP(Method of Moving Points)を使うので, 知らない人はMMPを参照してください.
平行弦共役
まずは等角共役について確認します. 三角形についてが図1のような位置関係にあるとき, をの等角共役といいます. 等角共役の性質として, 次のようなものがあります.
- 重心座標を用いてと表現できる
- が三角形の外接円上 が無限遠点
- 等角共役による直線の像はを通る円錐曲線である
Qの等角共役P
似たような性質をもつものに, 等長共役があります. 三角形についてが図2のような位置関係にあるとき, をの等長共役といいます. 等長共役の性質としては, 次のようなものがあります.
- 重心座標を用いてと表現できる
- が三角形のシュタイナー外接楕円上 が無限遠点
- 等長共役による直線の像はを通る円錐曲線である
Pの等長共役Q
これらを包含するのが次に示す平行弦共役です.
平行弦共役
円錐曲線に内接する三角形と点をとる. がと再び交わる点を, を通りに平行な直線がと再び交わる点をとし, 同様にを定める. このとき, は1点で交わり, 交点をの平行弦共役という.
Pの平行弦共役Q
MMPを用いる
を固定し, 上をが動くとする. このとき, 次の2つはそれぞれ射影写像である.
これらが写像として一致することを示すには, 上の相異なる3点で一致することを確かめればよい. のときは明らか. のとき, とにパスカルの定理を適用することでを得る. 以上より示された.
のとき, 平行弦共役はで表せることが計算により分かります. 従って, つまりが外接円のときは等角共役, つまりがシュタイナー外接楕円のときは等長共役となり, 確かに両者を含んでいます.
平行弦共役がで表せることから, 前編で紹介した等角共役の性質は平行弦共役でも全く同様に示すことができます.
の平行弦共役をそれぞれとするとき, とは互いに平行弦共役である.
平行弦共役による直線の像
三角形とを通らない直線上の点をとる. が上を動くとき, の平行弦共役はに外接する円錐曲線を描く.
定理3
の像となる円錐曲線の形状は次のように判別できる.
- がと交わらないとき, 楕円
- とが接するとき, 放物線
- とが2点で交わるとき, 双曲線
9点円錐曲線
次に, 9点円の一般化である9点円錐曲線を定義します.
9点円錐曲線(円錐曲線の中心の軌跡として)
どの3つも共線でない4点をとる. を通る円錐曲線について, その中心はの取り方に依らずある円錐曲線上にある. この円錐曲線を9点円錐曲線という.
双対性を用いる
の中心をとし,の中点をとする. このとき, の極はそれぞれ方向の無限遠点であり, はの取り方に依らない. よって主張は示された.
どの3つも共線でない4点に対し, 以下の9点は同一円錐曲線上にある.
A,B,C,Dの9点円錐曲線
の中点についてと対称な点をとしてにパスカルの定理を適用すると, の中点を中心としてこれら6点を通る円錐曲線の存在がわかる. ほかの中点についても同様.
さらに, は退化した双曲線であり, これらの中心はそれぞれとみなせる.
以上より, これら9点はすべて9点円錐曲線上にある.
特に, が垂心系をなすとき9点円錐曲線は三角形の9点円と一致します. このとき, 定理4によれば9点円は4点を通る円錐曲線, つまり直角双曲線(前編の補題4を参照)の中心の軌跡であり, これは前編の定理5の前半の主張と同じです.
余談ですが, どの3つも共点でない4直線に対し, それらに接する円錐曲線の中心の軌跡は4直線のなす完全四辺形のニュートン線になります.
三角形とその重心について, の9点円錐曲線はシュタイナー内接楕円であることを確認せよ.
4点の9点円錐曲線の中心はの中点との中点を結ぶ線分の中点であることを示せ.
略解
の中点が平行四辺形をなすことから従う. どの3つも共線でない5点について, の9点円錐曲線は1点で交わることを示せ.
略解
を通る円錐曲線が一意に存在し, この中心を5つの9点円錐曲線が共有する. 略解
ブリアンションの定理の逆よりのすべてに接する円錐曲線が存在する. この中心を4本のニュートン線が共有する. コニック・シムソン線とコニック・シュタイナー線
三角形と点に対し, の9点円錐曲線を中心で2倍拡大したものを外接9点円錐曲線とよび, この曲線上の点についてシムソン線の類似物を定めます.
コニック・シムソン線とコニック・シュタイナー線
三角形と点について, 外接9点円錐曲線上に点をとる. がと再び交わる点をそれぞれとし, との交点をそれぞれとするとき, 3点は同一直線上にある. この3点を通る直線をコニック・シュタイナー線といい, コニック・シュタイナー線を中心で倍拡大したものをコニック・シムソン線という.
Pにおけるコニック・シムソン線
にパスカルの定理を適用すると, が上にあることがわかる. 同様にしてが上にあることも従うのでよい.
が三角形の垂心のとき, コニック・シムソン線は通常のシムソン線と一致することを確認せよ.
中心と漸近線の特徴づけ
主定理
三角形と点について, 外接9点円錐曲線上の点が中心について対称であるとする. このとき, 平行弦共役によるの像の中心は9点円錐曲線上にあり, その漸近線はにおけるコニック・シムソン線に一致する.
\mathcal{H}の漸近線(橙)
と円が再び交わる点をとし, の平行弦共役をそれぞれとする. 次の3ステップで示す.
- の中心は9点円錐曲線上にあり, 特にの中点である.
- におけるコニック・シュタイナー線はの漸近線とそれぞれ平行である.
- におけるコニック・シムソン線はの中心で交わる.
(1)を示す. の中心が9点円錐曲線上にあることは定理3,4よりただちに従う. さらに, の中心についてと対称な点をとすると, 対称性よりは上にあり, さらにの定義よりこれは上でもある. よって示された.
(2)を示す. におけるコニック・シュタイナー線方向の無限遠点がに一致することを示せばよい. 定理5と同様にを定め, を通りに平行な直線がと再び交わる点をとする. ここでを固定し, が上を動くとする. このとき, 次の2つはそれぞれ射影写像である.
ただし, はを通りに平行な直線であるとする. これらが写像として一致することを示すには, 上の相異なる3点で一致することを確かめればよい. の中点をとし, の中点をとする. また, の交点をとする. まずのときを示す. このとき, 9点円錐曲線の中心がの中点であることからは平行四辺形であり, これよりの中点はである. よってであるのでよい. 次にのときを示す. このとき, とはともに平行四辺形であることから従う. のときも同様である. 以上よりでの成立が示されたので, (2)は示された.
最後に(3)を示す. に補題2を用いると, とは互いに等角共役である. は方向の無限遠点であるから, を得る. ここで, (2)よりはそれぞれにおけるコニック・シュタイナー線に平行な直線である. コニック・シムソン線はコニック・シュタイナー線を倍に相似拡大したものであり, 定理5よりコニック・シュタイナー線は定点を通るので, におけるコニック・シムソン線はの中点, つまりの中心で交わる.
以上より, におけるコニック・シムソン線は漸近線に他ならない.