あるApéry数の類似について4

前の記事 で扱った数列は
\begin{align} \frac 1{n!^2}\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\binom nk^3\binom nl^3(k+l)!(2n-k-l)! \end{align}
という表示を持つようである. それを示そうとする過程で以下のような数列も興味深いのではないかと思ったので, 今回はそれについて考えていきたいと思う.
\begin{align} a_n&:=\frac 1{n!^3}\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\binom nk^3\binom nl^3(k+l)!(3n-k-l)!\\ &=\frac{(3n)!}{n!^3}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k^3}{k!^3}\frac{(-n)_l^3}{l!^3}\frac{(k+l)!}{(-3n)_{k+l}} \end{align}
この定義からは$a_n$が整数であることは明らかではない. しかし, 最初の数項を計算すると整数になっており, OEISの A220119 に一致しているようである.

${}_9F_8$による表示

前の記事 の定理3において, $b=c=b'=c'=-m=-n, d=a$としてから$a\mapsto -3n-1$とすると
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k^3}{k!^3}\frac{(-n)_l^3}{l!^3}\frac{(k+l)!}{(-3n)_{k+l}}\\ &=\left(\frac{(-2n)_n^2}{(-n,-3n)_n}\right)^2\F98{-3n-1,\frac{1-3n}2,-3n-1,-n,-n,-n,-n,-n,-n}{-\frac{3n+1}2,1,-2n,-2n,-2n,-2n,-2n,-2n}{1}\\ &=\left(\frac{(2n)!^3}{n!^3(3n)!}\right)^2\sum_{k=0}^n\frac{3n+1-2k}{3n+1}\frac{(-3n-1)_k^2}{k!^2}\frac{(-n)_k^6}{(-2n)_k^6}\\ &=\frac{n!^6}{(3n)!(3n+1)!}\sum_{k=0}^n(3n+1-2k)\binom{3n+1}k^2\binom{2n-k}{n}^6 \end{align}
となる. よって以下の表示を得る.

この表示からも$a_n$の整数性はまだ明らかではない. 定理1において$k\mapsto n-k$として${}_9F_8$で書き直すと
\begin{align} a_n&=\frac{n!^3}{(3n+1)!}\sum_{k=0}^n(n+2k+1)\binom{3n+1}{n-k}^2\binom{n+k}{n}^6\\ &=\frac{(n+1)!(3n+1)!}{(2n+1)!^2}\F98{n+1,\frac{n+3}2,n+1,n+1,n+1,n+1,n+1,-n,-n}{\frac{n+1}2,1,1,1,1,1,2n+2,2n+2}1 \end{align}
と表すこともできる.

整数性

Zudilinの論文によれば, A220119 は
\begin{align} \sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\binom nk^2\binom nl^2\binom{n+k}k\binom{n+l}l\binom{k+l}n \end{align}
と表されるようであり, この表示はKrattenthaler-Rivoalによって示されたようである. よって, $a_n$がこれと一致していることを示すことによって$a_n$の整数性を示したいと思う. 前の記事 の定理3において, $b=b'=-m=-n, c=c'=n+1, d=a$とすると
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_k^2(n+1)_k}{k!^2(1-a-n)_k}\frac{(-n)_l^2(n+1)_l}{l!^2(1-a-n)_l}\frac{(k+l)!}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\left(\frac{(1+a+n,a-n)_n}{(1+a,a)_n}\right)^2\\ &\qquad\cdot\F98{a,1+\frac a2,a,n+1,n+1,-n,-n,-n,-n}{\frac a2,1,a-n,a-n,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n}1 \end{align}
となる. ここで, Baileyの${}_9F_8$変換公式 の$b,c,d$を$a,n+1,n+1$と選んで,
\begin{align} &\F98{a,1+\frac a2,a,n+1,n+1,-n,-n,-n,-n}{\frac a2,1,a-n,a-n,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n}1\\ &=\frac{(1+a,1+a+2n)_n(a-n)_n^2}{(1+a+n)_n^2(a-2n,a)_n}\F98{a-2n-1,\frac{a-2n+1}2,a-2n-1,-n,-n,-n,-n,-n,-n}{\frac{a-2n-1}2,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n}1 \end{align}
となる. よって, これらより,
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_k^2(n+1)_k}{k!^2(1-a-n)_k}\frac{(-n)_l^2(n+1)_l}{l!^2(1-a-n)_l}\frac{(k+l)!}{\Gamma(1+a+k+l)}\\ &=\frac 1{\Gamma(1+a)}\left(\frac{(1+a+n,a-n)_n}{(1+a,a)_n}\right)^2\frac{(1+a,1+a+2n)_n(a-n)_n^2}{(1+a+n)_n^2(a-2n,a)_n}\\ &\qquad\cdot\F98{a-2n-1,\frac{a-2n+1}2,a-2n-1,-n,-n,-n,-n,-n,-n}{\frac{a-2n-1}2,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n}1\\ &=\frac 1{\Gamma(1+a+n)}\frac{(1+a+2n)_n(a-n)_n^4}{(a-2n)_n(a)_n^3}\\ &\qquad\cdot\F98{a-2n-1,\frac{a-2n+1}2,a-2n-1,-n,-n,-n,-n,-n,-n}{\frac{a-2n-1}2,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n,1+a+n}1 \end{align}
を得る. ここで, $a\to -n$とすると
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_k^2(n+1)_k}{k!^3}\frac{(-n)_l^2(n+1)_l}{l!^3}\frac{(k+l)!}{(k+l-n)!}\\ &=\frac{(n+1)_n(-2n)_n^4}{(-3n)_n(-n)_n^3}\F98{-3n-1,\frac{1-3n}2,-3n-1,-n,-n,-n,-n,-n,-n}{-\frac{3n+1}2,1,-2n,-2n,-2n,-2n,-2n,-2n}{1}\\ &=\frac{(2n)!^6}{(3n)!n!^8}\F98{-3n-1,\frac{1-3n}2,-3n-1,-n,-n,-n,-n,-n,-n}{-\frac{3n+1}2,1,-2n,-2n,-2n,-2n,-2n,-2n}{1}\\ &=n!a_n \end{align}
となる. よって,
\begin{align} a_n&=\frac 1{n!}\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\frac{(-n)_k^2(n+1)_k}{k!^3}\frac{(-n)_l^2(n+1)_l}{l!^3}\frac{(k+l)!}{(k+l-n)!}\\ &=\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^n\binom nk^2\binom nl^2\binom{n+k}k\binom{n+l}l\binom{k+l}n \end{align}
つまり, 以下が得られた.

二重和ではない超幾何級数による表示でこのように整数性が分かるようなものがあるかどうかは今後の研究課題と言えるかもしれない.

漸化式

定理1の表示にZeilbergerのアルゴリズムを用いることによって以下の漸化式を得る.

この数列$a_n$はZudilinによる2003年の論文で扱われており, Apéry limitに$\zeta(4)$が現れるものになっているようである. 一見して漸化式の係数が5次なので, $\zeta(5)$が現れるのではないかと思ったかもしれないが, 上の漸化式のように$a_{n-1}$の係数が$n$のべきになっていない場合はApéry limitのweightが多項式の次数より小さくなるという経験則がある.