相対論で有名な定理の一つであるGoldberg-Sachsの定理を証明します。この記事はPetrov分類、Newmann-Penrose formalismを前提知識としています。
4次元Einstein時空の近傍
この記事ではshearfree geodesic null congruenceとNewman-Penrose formalismを簡単に復習してからGoldberg-Sachsの定理をもう少し精密化して証明します。
Newman-Penrose formalism 3 の内容を使いますが、Goldberg-Sachsの定理に必要な事項だけここにまとめます。
4次元時空
で定義します。
ワイルテンソル
で与えられ、実10次元の自由度を持ち、Weylスカラーと呼ばれる5つの複素数
を使ってWeylテンソルの任意の成分は表されます。
Petrov分類1
で解説してますが、
このとき単純な計算により以下が成り立つことが分かります。
が成り立つので、
また
shear
Einstein metricならば
となりますが、この条件のうちで必要最小限の条件のみ仮定したものが以下の定理です。
(1)
(2)
(1)
より
また
より
である。よって
であり、
を使うと
また
は
となるから、これらを代入して微分項を消去すると、
となり、
(2)
Einstein条件
と
より
が得られる。
このとき
より
なので、
である。
このとき
より
である。共形平坦でないことを仮定しているから
定理1(Goldberg-Sachs)
4次元Einstein時空の近傍
4次元Einstein時空の近傍
逆に、4次元Einstein時空の近傍
共形平坦の場合は、Minkowski時空と共形同値となり、自明にalgebraically specialである。またMinkowski時空のgeodesic null congruenceは明らかにshearfreeである。さらに共形変換によってshearfree geodesic null congruenceという性質は不変なので、Minkowski時空と共形同値な時空はshearfree geodesic null congruenceを無数に持つ。
A. ROD GOVER, C. DENSON HILL, AND PAWEL NUROWSKI SHARP VERSION OF THE GOLDBERG-SACHS THEOREM
B.O'Neill, Geometry of Kerr Black Holes