文献あり

互除法から連分数へ

Euclidの互除法

任意の $(a, b) \in Z \times Z_{> 0}$ に対して，整数 $q \in Z$ と自然数 $r \in N$ であって
$a = q b + r, 0 \leq r < b$
を満たすものがただ一組存在する．

$q : = ⌊ a / b ⌋ \in Z$ とおくと
$q \leq \frac{a}{b} < q + 1 ⇝ 0 \leq a - q b < b$
が成り立つので， $r : = a - q b \in N$ とおけばよい．また，議論を逆に辿ることで一意性がわかる．

$a, b \in Z$ とする．自然数 $d \in N$ が

$d ∣ a, d ∣ b$ ;
$d^{'} ∣ a, d^{'} ∣ b ⟹ d^{'} ∣ d$ ;

を満たすとき， $d$ を $a, b$ の最大公約数といい， $gcd (a, b)$ で表わす．

任意の整数 $a \in Z$ に対して
$gcd (a, 0) = | a |$
が成り立つ．

$a, b, q, r \in Z$ をdivisionの通りとする．このとき
$gcd (a, b) = gcd (b, r)$
が成り立つ．

$d : = gcd (a, b)$ とおく．

$d ∣ a, d ∣ b$ より
$d ∣ b, d ∣ a - q b = r$
が成り立つ．
$d^{'} ∣ b, d^{'} ∣ r$ とすると，
$d^{'} ∣ q b + r = a, d^{'} ∣ b$
となるので， $d^{'} ∣ d$ を得る．

以上より， $d = gcd (b, r)$ が成り立つ．

Euclidの互除法

任意の $a, b \in Z$ に対して， $x, y \in Z$ であって
$a x + b y = gcd (a, b)$
を満たすものが存在する．

$b = 0$ のとき
$a \cdot sign (a) + b \cdot 1 = | a | = gcd (a, b)$
となるので， $b \neq 0$ としてよい．また，
$a x + b y = a x + (- b) (- y), gcd (a, b) = gcd (a, - b)$
であるから， $b > 0$ としてよい．このとき，整数の有限列 $r_{0}, r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}, r_{n + 1}$ であって
$gcd (r_{0}, r_{1}) = gcd (r_{k}, r_{k + 1}), 0 = r_{n + 1} < r_{n} < \dots < r_{2} < r_{1}$
を満たすものが存在する：

$r_{0} : = a, r_{1} : = b$ とおく．
division，gcdより自然数 $r_{2} \in N$ であって
$gcd (r_{0}, r_{1}) = gcd (r_{1}, r_{2}), 0 \leq r_{2} < r_{1}$
を満たすものがただ一つ存在する．
$r_{2} \neq 0$ のとき，同様にして $r_{3} \in N$ が定まる：
$gcd (r_{1}, r_{2}) = gcd (r_{2}, r_{3}), 0 \leq r_{3} < r_{2} .$
以下，これを繰り返せば，高々 $b$ 回で $0$ に達する．

したがって
$gcd (a, b) = gcd (r_{0}, r_{1}) = gcd (r_{n}, r_{n + 1}) = gcd (r_{n}, 0) = r_{n}$
が成り立つ．ここで，各 $k \in {1, \dots, n}$ に対して
$q_{k - 1} : = ⌊ \frac{r_{k - 1}}{r_{k}} ⌋ \in Z$
とおくと，
$r_{k - 1} = q_{k - 1} r_{k} + r_{k + 1} ⇝ [\begin{matrix} r_{k - 1} \\ r_{k} \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{k - 1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} r_{k} \\ r_{k + 1} \end{matrix}]$
であるから，
$[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} q_{n - 1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} r_{n} \\ 0 \end{matrix}]$
が成り立つ．よって，等式
$[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - q_{n - 1} \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - q_{1} \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - q_{0} \end{matrix}] [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}] = [\begin{matrix} r_{n} \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} gcd (a, b) \\ 0 \end{matrix}]$
において両辺の $(1, 1)$ 成分を比較することで結論を得る．

$0 < r_{n} < \dots < r_{1}$ より，各 $k \in {1, \dots, n - 1}$ に対して
$1 < \frac{r_{k}}{r_{k + 1}} ⇝ 1 \leq ⌊ \frac{r_{k}}{r_{k + 1}} ⌋ = q_{k}$
が成り立つ．

$39$ と $28$ との最大公約数は（明らかに） $1$ である：
$\begin{aligned} 39 & = 1 \cdot 28 + 11; \\ 28 & = 2 \cdot 11 + 6; \\ 11 & = 1 \cdot 6 + 5; \\ 6 & = 1 \cdot 5 + 1; \\ 5 & = 5 \cdot 1 + 0. \end{aligned}$
また，
$[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 5 & 7 \\ 25 & - 35 \end{matrix}]$
より，
$39 \cdot (- 5) + 28 \cdot 7 = 1$
を得る．

$a, b, c \in Z$ とする．このとき次は同値である：

$gcd (a, b) ∣ c$ ;
$\exists x, y \in Z, a x + b y = c$ .

とくに
$gcd (a, b) = 1 ⟺ \exists x, y \in Z, a x + b y = 1$
が成り立つ．

(i) $⟹$ (ii)

仮定より $c^{'} \in Z$ であって $gcd (a, b) c^{'} = c$ なるものが存在する．また，euclidより $x_{0}, y_{0} \in Z$ であって
$a x_{0} + b y_{0} = gcd (a, b)$
を満たすものが存在する．よって
$a \cdot x_{0} c^{'} + b \cdot y_{0} c^{'} = gcd (a, b) c^{'} = c$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

明らか．

連分数

準備

実数列 $q_{∙} \in R^{N}$ であって
$\forall n \geq 1, q_{n} > 0$
なるものに対して，実数列 $A_{∙}, B_{∙}$ を， $(A_{0}, B_{0}) : = (1, 0)$ および
$[\begin{matrix} A_{n} \\ B_{n} \end{matrix}] : = [\begin{matrix} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} q_{n - 1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}], n \geq 1$
で定める．このとき，
$[\begin{matrix} q_{n - 2} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{n - 2} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{n - 1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}], n \geq 2$
より，
$[\begin{matrix} A_{n} & A_{n - 1} \\ B_{n} & B_{n - 1} \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} q_{n - 1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}], n \geq 1$
が成り立つ．

任意の $n \in Z_{\geq 1}$ に対して $B_{n} > 0$ が成り立つ．また， $q_{∙}$ が整数列ならば，任意の $n \in Z_{\geq 2}$ に対して
$0 < n - 1 \leq B_{n} < B_{n + 1}$
が成り立つ．

明らかに
$0 < 1 = B_{1}$
であり，漸化式
$[\begin{matrix} A_{n + 1} & A_{n} \\ B_{n + 1} & B_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{n} & A_{n - 1} \\ B_{n} & B_{n - 1} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{n} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{n} q_{n} + A_{n - 1} & A_{n} \\ B_{n} q_{n} + B_{n - 1} & B_{n} \end{matrix}]$
より，
$0 < B_{1}, \dots, B_{n} ⟹ 0 < B_{n} q_{n} \leq B_{n} q_{n} + B_{n - 1} = B_{n + 1}$
が成り立つ．また， $q_{∙}$ が整数列のとき，
$0 < 1 = B_{1} \leq B_{1} q_{1} = B_{1} q_{1} + B_{0} = B_{2} \leq B_{2} q_{2} < B_{2} q_{2} + B_{1} = B_{3}$
および
$n - 1 \leq B_{n} < B_{n + 1} ⟹ n \leq B_{n + 1} \leq B_{n + 1} q_{n + 1} < B_{n + 1} q_{n + 1} + B_{n} = B_{n + 2}$
が成り立つ．

分数 $\frac{A_{1}}{B_{1}}, \frac{A_{2}}{B_{2}}, \frac{A_{3}}{B_{3}} \in R$ を計算してみると，
$\begin{aligned} \frac{A_{1}}{B_{1}} & = \frac{q_{0}}{1} = q_{0}; \\ \frac{A_{2}}{B_{2}} & = \frac{A_{1} q_{1} + A_{0}}{B_{1} q_{1} + B_{0}} = \frac{q_{0} q_{1} + 1}{q_{1}} = q_{0} + \frac{1}{q_{1}}; \\ \frac{A_{3}}{B_{3}} & = \frac{A_{2} q_{2} + A_{1}}{B_{2} q_{2} + B_{1}} = \frac{(q_{0} q_{1} + 1) q_{2} + q_{0}}{q_{1} q_{2} + 1} = q_{0} + \frac{q_{2}}{q_{1} q_{2} + 1} = q_{0} + \frac{1}{q_{1} + \frac{1}{q_{2}}}; \end{aligned}$
となる．

上述の記号のもとで，任意の $n \in Z_{\geq 1}$ に対して
$\frac{A_{n}}{B_{n}} = q_{0} + \frac{1}{q_{1} + \frac{1}{q_{2} + \frac{1}{q_{3} + \frac{1}{⋱ + \frac{1}{q_{n - 1}}}}}} = : [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 1}]$
が成り立つ．

“長さ” $n$ に関する数学的帰納法に拠る． $n = 1, 2$ のときは上例より明らかであり， $n \geq 2$ のとき，
$[\begin{matrix} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} q_{n - 2} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{n - 1} + \frac{1}{q_{n}} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{n - 1} & A_{n - 2} \\ B_{n - 1} & B_{n - 2} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{n - 1} + \frac{1}{q_{n}} \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{n - 1} (q_{n - 1} + \frac{1}{q_{n}}) + A_{n - 2} \\ B_{n - 1} (q_{n - 1} + \frac{1}{q_{n}}) + B_{n - 2} \end{matrix}]$
より，
$\begin{aligned} [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{(n + 1) - 1}] & = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 2}, q_{n - 1} + \frac{1}{q_{n}}] \\ = \frac{A_{n - 1} (q_{n - 1} + \frac{1}{q_{n}}) + A_{n - 2}}{B_{n - 1} (q_{n - 1} + \frac{1}{q_{n}}) + B_{n - 2}} \\ = \frac{A_{n - 1} (q_{n - 1} q_{n} + 1) + A_{n - 2} q_{n}}{B_{n - 1} (q_{n - 1} q_{n} + 1) + B_{n - 2} q_{n}} \\ = \frac{(A_{n - 1} q_{n - 1} + A_{n - 2}) q_{n} + A_{n - 1}}{(B_{n - 1} q_{n - 1} + B_{n - 2}) q_{n} + B_{n - 1}} \\ = \frac{A_{n} q_{n} + A_{n - 1}}{B_{n} q_{n} + B_{n - 1}} \\ = \frac{A_{n + 1}}{B_{n + 1}} \end{aligned}$
が成り立つ．

1次分数変換
$[\begin{matrix} α & β \\ γ & δ \end{matrix}] : R \cup {\infty} \to R \cup {\infty}; x \mapsto \frac{α x + β}{γ x + δ} = : [\begin{matrix} α & β \\ γ & δ \end{matrix}] ⋆ x$
を用いると，
$\begin{aligned} [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 2}, q_{n - 1}] & = \frac{A_{n}}{B_{n}} \\ = [\begin{array}{c} A_{n} & A_{n - 1} \\ B_{n} & B_{n - 1} \end{array}] ⋆ \infty \\ = [\begin{array}{c} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} q_{1} & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] \dots [\begin{array}{c} q_{n - 2} & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} q_{n - 1} & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] ⋆ \infty \\ = [\begin{array}{c} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} q_{1} & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] \dots [\begin{array}{c} q_{n - 2} & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] ⋆ q_{n - 1} \end{aligned}$
と書ける．

有理数の連分数展開

有理数 $λ = a / b \in Q, (a, b) \in Z \times Z_{> 0}, gcd (a, b) = 1,$ に対して，euclidの証明より
$[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} q_{n - 1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$
であるから，
$λ = \frac{a}{b} = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 1}] = q_{0} + \frac{1}{q_{1} + \frac{1}{q_{2} + \frac{1}{q_{3} + \frac{1}{⋱ + \frac{1}{q_{n - 1}}}}}}$
となる（cf. quoti-posi）．これを $λ$ の（正則）連分数展開という．

写像
$f : ⋃_{n = 1}^{\infty} {(q_{0}, q_{1}, \dots, q_{n - 1}) ∣ q_{0} \in Z, q_{1}, \dots, q_{n - 1} \in Z_{> 0}, q_{n - 1} > 1} \to Q; (q_{0}, q_{1}, \dots, q_{n - 1}) \mapsto [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 1}]$
は全単射である．

任意の $n \in Z_{\geq 2}$ に対して， $q_{n - 1} > 1$ より，
$[q_{1}; q_{2}, \dots, q_{n - 1}] > 1$
が成り立つ．実際， $n = 2$ のときは明らかであり， $n$ のとき成り立てば $n + 1$ でも成り立つ：
$[q_{1}; q_{2}, \dots, q_{(n + 1) - 1}] = [q_{1}; [q_{2}; q_{3}, \dots, q_{n}]] = q_{1} + \frac{1}{[q_{2}; q_{3}, \dots, q_{n}]} > q_{1} \geq 1.$

euclidの証明において
$q_{n - 1} r_{n} = r_{n - 1} > r_{n} > 0 ⇝ q_{n - 1} > 1$
が成り立つので，写像 $f$ は全射である．したがって，あとは単射性を示せばよい．そこで $f (q_{∙}) = f (q_{∙}^{'})$ とする．このとき $q_{∙} = q_{∙}^{'}$ となることを， $q_{∙}$ の“長さ” $n \in Z_{\geq 1}$ に関する数学的帰納法で示す．

Base：
$q_{0} = [q_{0}^{'}; q_{1}^{'}, \dots, q_{m - 1}^{'}]$
とする．このとき， $m \geq 2$ とすると
$0 < q_{0} - q_{0}^{'} = \frac{1}{[q_{1}^{'}; q_{2}^{'}, \dots, q_{m - 1}^{'}]} < 1$
となって $q_{0} - q_{0}^{'} \in Z$ に反する．よって
$m = 1, q_{0} = q_{0}^{'}$
が成り立つ．
Induction：
$[q_{0}; q_{1}, \dots, q_{(n + 1) - 1}] = [q_{0}^{'}; q_{1}^{'}, \dots, q_{m - 1}^{'}]$
とする．このとき，前段より $m \geq 2$ であり，
$q_{0} + \frac{1}{[q_{1}; q_{2}, \dots, q_{n}]} = q_{0}^{'} + \frac{1}{[q_{1}^{'}; q_{2}^{'}, \dots, q_{m - 1}^{'}]}$
の整数部分を取って
$q_{0} = q_{0}^{'} ⇝ [q_{1}; q_{2}, \dots, q_{n}] = [q_{1}^{'}; q_{2}^{'}, \dots, q_{m - 1}^{'}]$
がわかるので，帰納法の仮定より
$n = m - 1, (q_{1}, \dots, q_{n}) = (q_{1}^{'}, \dots, q_{n}^{'})$
が成り立つ．

$d : = gcd (a, b) \neq 0$ のとき，（ $n \geq 2$ とすると）
$[\begin{matrix} a / d \\ b / d \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} q_{n - 2} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{n - 1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} q_{n - 2} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{n - 1} \\ 1 \end{matrix}]$
であり，lin-frac-transfより
$\frac{a}{b} = \frac{a / d}{b / d} = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 2}, q_{n - 1}] = [\begin{matrix} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} q_{n - 2} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] ⋆ q_{n - 1}$
となるので，この最右辺を計算することによって，有理数 $a / b$ の既約分数表示が得られる．たとえば $11178 / 16419$ の場合，
$\begin{aligned} 11788 & = 0 \cdot 16419 + 11788; \\ 16419 & = 1 \cdot 11788 + 4631; \\ 11788 & = 2 \cdot 4631 + 2526; \\ 4631 & = 1 \cdot 2526 + 2105; \\ 2526 & = 1 \cdot 2105 + 421; \\ 2105 & = 5 \cdot 421 + 0; \end{aligned}$
より，
$\frac{11788}{16419} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] ⋆ 5 = [\begin{matrix} 5 & 3 \\ 7 & 4 \end{matrix}] ⋆ 5 = \frac{5 \cdot 5 + 3}{7 \cdot 5 + 4} = \frac{28}{39}$
と計算できる．

$d : = gcd (a, b) \neq 0$ のとき，
$[\begin{matrix} a^{'} \\ b^{'} \end{matrix}] : = [\begin{matrix} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} q_{n - 2} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] ⇝ \frac{a^{'}}{b^{'}} = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 2}]$
とおくと，
$[\begin{matrix} a / d & a^{'} \\ b / d & b^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} q_{n - 1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$
であるから，両辺のディターミナントを取って
$\frac{a}{d} b^{'} - a^{'} \frac{b}{d} = (- 1)^{n} ⇝ a \cdot (- 1)^{n} b^{'} + b \cdot (- 1)^{n + 1} a^{'} = d$
を得る（cf. euclid）．たとえば， $(a, b) = (28, 39)$ のとき，上例より
$\frac{28}{39} = [0; 1, 2, 1, 1, 5], [0; 1, 2, 1, 1] = [0; 1, 2, 2] = \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{5}{7}$
となるので，
$28 \cdot 7 - 39 \cdot 5 = 1$
を得る（cf. 3928）．

無理数の連分数展開

$R^{N}$ の部分集合 $Q$ を
$Q : = {q_{∙} = (q_{0}, q_{1}, q_{2}, \dots) \in Z^{N} ∣ \forall n \geq 1, q_{n} > 0}$
で定める．以下， $Q$ と $R ∖ Q$ との間に全単射が存在することを示す．

整数列 $q_{∙} \in Q$ に対して，整数列 $A_{∙}, B_{∙}$ を
$[\begin{matrix} A_{n} & A_{n - 1} \\ B_{n} & B_{n - 1} \end{matrix}] : = [\begin{matrix} q_{0} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \dots [\begin{matrix} q_{n - 1} & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$
で定めると， $gcd (A_{n}, B_{n}) = 1$ であり，有理数列 $(A_{n} / B_{n})_{n = 1}^{\infty}$ はある無理数に収束する：
$[q_{0}; q_{1}, q_{2}, \dots] : = lim_{n \to \infty} \frac{A_{n}}{B_{n}} \in R ∖ Q .$

定義式において両辺のディターミナントを取ると
$A_{n} B_{n - 1} - A_{n - 1} B_{n} = (- 1)^{n}$
となるので，coprimeより， $gcd (A_{n}, B_{n}) = 1$ を得る．また，Bn-posiより
$lim_{n \to \infty} B_{n} = \infty$
が成り立つことに注意する．

有理数列 $(A_{2 n} / B_{2 n})_{n = 1}^{\infty}$ について，
$\begin{aligned} \frac{A_{2 n}}{B_{2 n}} - \frac{A_{2 n + 2}}{B_{2 n + 2}} & = \frac{A_{2 n} B_{2 n + 2} - A_{2 n + 2} B_{2 n}}{B_{2 n} B_{2 n + 2}} \\ = \frac{A_{2 n} (B_{2 n + 1} q_{2 n + 1} + B_{2 n}) - (A_{2 n + 1} q_{2 n + 1} + A_{2 n}) B_{2 n}}{B_{2 n} B_{2 n + 2}} \\ = - \frac{(A_{2 n + 1} B_{2 n} - A_{2 n} B_{2 n + 1}) q_{2 n + 1}}{B_{2 n} B_{2 n + 2}} \\ = - \frac{(- 1)^{2 n + 1} q_{2 n + 1}}{B_{2 n} B_{2 n + 2}} \\ = \frac{q_{2 n + 1}}{B_{2 n} B_{2 n + 1}} \\ > 0 \end{aligned}$
が成り立つ．
有理数列 $(A_{2 n - 1} / B_{2 n - 1})_{n = 1}^{\infty}$ について，
$\begin{aligned} \frac{A_{2 n - 1}}{B_{2 n - 1}} - \frac{A_{2 n + 1}}{B_{2 n + 1}} & = \frac{A_{2 n - 1} B_{2 n + 1} - A_{2 n + 1} B_{2 n - 1}}{B_{2 n - 1} B_{2 n + 1}} \\ = \frac{A_{2 n - 1} (B_{2 n} q_{2 n} + B_{2 n - 1}) - (A_{2 n} q_{2 n} + A_{2 n - 1}) B_{2 n - 1}}{B_{2 n - 1} B_{2 n + 1}} \\ = - \frac{(A_{2 n} B_{2 n - 1} - A_{2 n - 1} B_{2 n}) q_{2 n}}{B_{2 n - 1} B_{2 n + 1}} \\ = - \frac{(- 1)^{2 n} q_{2 n}}{B_{2 n - 1} B_{2 n + 1}} \\ = - \frac{q_{2 n}}{B_{2 n - 1} B_{2 n + 1}} \\ < 0 \end{aligned}$
が成り立つ．
任意の $n \in Z_{\geq 1}$ に対して
$A_{2 n - 1} B_{2 n} - A_{2 n} B_{2 n - 1} = - (- 1)^{2 n} = - 1 < 0 ⇝ \frac{A_{2 n - 1}}{B_{2 n - 1}} < \frac{A_{2 n}}{B_{2 n}}$
が成り立つので，
$\frac{A_{2 n - 1}}{B_{2 n - 1}} < {\begin{cases} \frac{A_{2 n}}{B_{2 n}} \leq \frac{A_{2 m}}{B_{2 m}} & n \geq m \\ \frac{A_{2 m - 1}}{B_{2 m - 1}} < \frac{A_{2 m}}{B_{2 m}} & n < m \end{cases}$
を得る．よって，実数
$lim_{n \to \infty} \frac{A_{2 n}}{B_{2 n}}, lim_{n \to \infty} \frac{A_{2 n - 1}}{B_{2 n - 1}}$
が定まる．
さらに，
$\frac{A_{2 n}}{B_{2 n}} - \frac{A_{2 n - 1}}{B_{2 n - 1}} = \frac{(- 1)^{2 n}}{B_{2 n} B_{2 n - 1}} = \frac{1}{B_{2 n} B_{2 n - 1}} \to 0 (n \to \infty)$
が成り立つので，
$lim_{n \to \infty} \frac{A_{2 n}}{B_{2 n}} = lim_{n \to \infty} \frac{A_{2 n - 1}}{B_{2 n - 1}} = : λ$
であり，したがって，有理数列 $(A_{n} / B_{n})_{n = 1}^{\infty}$ は $λ \in R$ に収束する．
いま，任意の $n \in Z_{\geq 1}$ に対して
$\frac{A_{2 n - 1}}{B_{2 n - 1}} < λ < \frac{A_{2 n}}{B_{2 n}} ⇝ 0 < λ - \frac{A_{2 n - 1}}{B_{2 n - 1}} < \frac{A_{2 n}}{B_{2 n}} - \frac{A_{2 n - 1}}{B_{2 n - 1}} = \frac{1}{B_{2 n} B_{2 n - 1}}$
が成り立っている．したがって， $λ$ が有理数であるとすると $(a, b) \in Z \times Z_{> 0}$ を用いて $λ = a / b$ と表わせるので，十分大きな $n$ に対して
$0 < a B_{2 n - 1} - A_{2 n - 1} b < \frac{b}{B_{2 n}} < 1$
が成り立つことになり， $a B_{2 n - 1} - A_{2 n - 1} b \in Z$ に反する．

任意の $n \in Z_{\geq 2}$ に対して
$A_{n} B_{n - 1} - A_{n - 1} B_{n} = (- 1)^{n} ⇝ \frac{A_{n}}{B_{n}} - \frac{A_{n - 1}}{B_{n - 1}} = \frac{(- 1)^{n}}{B_{n - 1} B_{n}}$
が成り立つので，
$\begin{aligned} \frac{A_{n}}{B_{n}} & = \frac{A_{n - 1}}{B_{n - 1}} + \frac{(- 1)^{n}}{B_{n - 1} B_{n}} \\ = \frac{A_{n - 2}}{B_{n - 2}} + \frac{(- 1)^{n - 1}}{B_{n - 2} B_{n - 1}} + \frac{(- 1)^{n}}{B_{n - 1} B_{n}} \\ = \dots \\ = \frac{A_{1}}{B_{1}} + \sum_{k = 2}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{B_{k - 1} B_{k}} \end{aligned}$
を得る．よって
$[q_{0}; q_{1}, q_{2}, \dots] = q_{0} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{B_{k - 1} B_{k}} = q_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{B_{n} B_{n + 1}}$
が成り立つ．

整数列 $(0, 1, 1, \dots) \in Q$ から定まる整数列 $B_{∙}$ はFibonacci数列 $F_{∙}$ に外ならない（cf. Bn-posiの証明）：
$F_{0} = 0, F_{1} = 1, F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n} .$
したがって
$λ : = [0; 1, 1, \dots] = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{F_{n} F_{n + 1}}$
が成り立つ．ところで，
$0 = \frac{A_{1}}{B_{1}} < λ ⇝ \frac{1}{λ} = [1; 1, 1, \dots] = 1 + λ$
であるから， $λ$ について解いて
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{F_{n} F_{n + 1}} = λ = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$
を得る．また， $A_{∙ + 1} = F_{∙}$ より
$lim_{n \to \infty} \frac{F_{n}}{F_{n + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{A_{n + 1}}{B_{n + 1}} = λ = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$
となるので，逆数を取って
$lim_{n \to \infty} \frac{F_{n + 1}}{F_{n}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
を得る．

$λ \in R ∖ Q$ とする．このとき，無理数列 $λ_{∙} \in R^{N}$ と整数列 $q_{∙} \in Q$ とであって
$\forall n \in Z_{\geq 1}, λ_{n} > 1, λ = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 1}, λ_{n}]$
を満たすものが存在する．

$λ_{0} : = λ, q_{0} : = ⌊ λ ⌋$ とおく．
$q_{0} < λ_{0} < q_{0} + 1$ より
$λ_{1} : = \frac{1}{λ_{0} - q_{0}} \in R_{> 1} ∖ Q, q_{1} : = ⌊ λ_{1} ⌋ \in Z_{> 0}$
であり，
$λ = λ_{0} = q_{0} + \frac{1}{λ_{1}} = [q_{0}; λ_{1}]$
が成り立つ．
$(λ_{0}, λ_{1}, \dots, λ_{n}), (q_{0}, q_{1}, \dots, q_{n})$ まで定まったとする：
$q_{k} = ⌊ λ_{k} ⌋, λ = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 1}, λ_{n}] .$
このとき， $q_{n} < λ_{n} < q_{n} + 1$ より
$λ_{n + 1} : = \frac{1}{λ_{n} - q_{n}} \in R_{> 1} ∖ Q, q_{n + 1} : = ⌊ λ_{n + 1} ⌋ \in Z_{> 0}$
であり，
$λ = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 1}, λ_{n}] = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 1}, q_{n} + \frac{1}{λ_{n + 1}}] = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 1}, q_{n}, λ_{n + 1}]$
が成り立つ．

$λ$ が有理数 $r_{0} / r_{1}$ のとき，上の手続きはEuclidの互除法に外ならない：
$\begin{aligned} r_{0} & = q_{0} r_{1} + r_{2}, q_{0} = ⌊ \frac{r_{0}}{r_{1}} ⌋, 0 < r_{2} < r_{1} & ⇝ q_{0} + \frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{r_{0}}{r_{1}} = λ = : λ_{0}, q_{0} = ⌊ λ_{0} ⌋; \\ r_{1} & = q_{1} r_{2} + r_{3}, q_{1} = ⌊ \frac{r_{1}}{r_{2}} ⌋, 0 < r_{3} < r_{2} & ⇝ q_{1} + \frac{r_{3}}{r_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{1}{λ_{0} - q_{0}} = : λ_{1} > 1, q_{1} = ⌊ λ_{1} ⌋; \\ r_{2} & = q_{2} r_{3} + r_{4}, q_{2} = ⌊ \frac{r_{2}}{r_{3}} ⌋, 0 < r_{4} < r_{3} & ⇝ q_{2} + \frac{r_{4}}{r_{3}} = \frac{r_{2}}{r_{3}} = \frac{1}{λ_{1} - q_{1}} = : λ_{2} > 1, q_{2} = ⌊ λ_{2} ⌋; \\ ⋮ & ⋮ \\ r_{n - 1} & = q_{n - 1} r_{n} + r_{n + 1}, 0 = r_{n + 1} < r_{n} & ⇝ q_{n - 1} = \frac{r_{n - 1}}{r_{n}} = \frac{1}{λ_{n - 2} - q_{n - 2}} = : λ_{n - 1} > 1. \end{aligned}$

無理数 $λ \in R ∖ Q$ から定まる整数列 $q_{∙} \in Q$ （から定まる整数列 $A_{∙}, B_{∙}$ ）に対して，
$lim_{n \to \infty} \frac{A_{n}}{B_{n}} = λ$
が成り立つ．

irr-euclid，lin-frac-transfより，任意の $n \in Z_{\geq 1}$ に対して
$λ = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n - 1}, λ_{n}] = [\begin{matrix} A_{n} & A_{n - 1} \\ B_{n} & B_{n - 1} \end{matrix}] ⋆ λ_{n} = \frac{A_{n} λ_{n} + A_{n - 1}}{B_{n} λ_{n} + B_{n - 1}}$
が成り立つ．よって
$\frac{A_{n}}{B_{n}} - λ = \frac{A_{n}}{B_{n}} - \frac{A_{n} λ_{n} + A_{n - 1}}{B_{n} λ_{n} + B_{n - 1}} = \frac{(- 1)^{n}}{B_{n} (B_{n} λ_{n} + B_{n - 1})}$
と合わせて，
$| \frac{A_{n}}{B_{n}} - λ | = \frac{1}{B_{n} (B_{n} λ_{n} + B_{n - 1})} < \frac{1}{B_{n} (B_{n} q_{n} + B_{n - 1})} = \frac{1}{B_{n} B_{n + 1}} \to \infty (n \to \infty)$
を得る（cf. Bn-posi）．

無理数 $λ \in R ∖ Q$ に対して，
$λ = lim_{n \to \infty} \frac{A_{n}}{B_{n}} = [q_{0}; q_{1}, q_{2}, \dots]$
を $λ$ の（正則）連分数展開という．

写像
$Q \to R ∖ Q; q_{∙} \mapsto [q_{0}; q_{1}, q_{2}, \dots]$
は全単射である．

irr-euclid，approx-fracより
$λ \mapsto q_{∙} \mapsto [q_{0}; q_{1}, q_{2}, \dots] = λ$
が成り立つ．そこで， $q_{∙} \in Q$ とし
$λ^{'} : = [q_{0}; q_{1}, q_{2}, \dots] \in R ∖ Q$
とおく．また，無理数 $λ^{'}$ から定まる無理数列および整数列をそれぞれ $λ_{∙}^{'}, q_{∙}^{'}$ とする（cf. irr-euclid）．このとき，任意の $n \in N$ に対して
$λ_{n}^{'} = [q_{n}; q_{n + 1}, q_{n + 2}, \dots], q_{n} = q_{n}^{'}$
が成り立つことを示す．

Base：定義より
$λ_{0}^{'} = λ^{'} = [q_{0}; q_{1}, q_{2}, \dots]$
が成り立つ．また，
$q_{0} < λ^{'} < q_{0} + \frac{1}{q_{1}} \leq q_{0} + 1$
となるので，
$q_{0} = ⌊ λ^{'} ⌋ = q_{0}^{'}$
が成り立つ．
Induction：irr-euclidと帰納法の仮定より
$λ^{'} = [q_{0}^{'}; q_{1}^{'}, \dots, q_{n}^{'}, λ_{n + 1}^{'}] = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n}, λ_{n + 1}^{'}] = [\begin{matrix} A_{n + 1} & A_{n} \\ B_{n + 1} & B_{n} \end{matrix}] ⋆ λ_{n + 1}^{'}$
となる．一方，
$λ^{'} = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{n}, [q_{n + 1}; q_{n + 2}, q_{n + 3}, \dots]] = [\begin{matrix} A_{n + 1} & A_{n} \\ B_{n + 1} & B_{n} \end{matrix}] ⋆ [q_{n + 1}; q_{n + 2}, q_{n + 3}, \dots]$
であるから，
$λ_{n + 1}^{'} = [q_{n + 1}; q_{n + 2}, q_{n + 3}, \dots]$
を得る（cf. lin-frac-transf）．したがって
$q_{n + 1} < λ_{n + 1}^{'} < q_{n + 1} + \frac{1}{q_{n + 2}} \leq q_{n + 1} + 1$
となるので，
$q_{n + 1} = ⌊ λ_{n + 1}^{'} ⌋ = q_{n + 1}^{'}$
が成り立つ．

整数列 $q_{∙} \in Q$ と無理数 $λ \in R ∖ Q$ とが対応しているとき，
$0 \leq q_{0} ⟺ 0 < λ$
が成り立つ．実際，

$0 \leq q_{0}$ とすると，well-defの証明より，
$0 \leq q_{0} = \frac{A_{1}}{B_{1}} < λ$
が成り立つ．
$0 < λ$ とすると，irr-euclidの証明より，
$0 \leq ⌊ λ ⌋ = q_{0}$
が成り立つ．

正整数 $N \in Z_{> 0}$ に対して，無理数 $λ_{N} \in R_{> 0} ∖ Q$ を
$λ_{N} : = [0; N, N, \dots]$
で定めると，
$λ_{N} = \frac{1}{N + λ_{N}} ⇝ λ_{N}^{2} + N λ_{N} - 1 = 0$
より，
$λ_{N} = \frac{- N + \sqrt{N^{2} + 4}}{2}$
となる．

ここで，
$ρ_{N} : = λ_{N} + N + 1 = \frac{\sqrt{N^{2} + 4} + N}{2} + 1, σ_{N} : = λ_{N} + 1 = \frac{\sqrt{N^{2} + 4} - N}{2} + 1$
とおくと，これらは
$\frac{1}{ρ_{N}} + \frac{1}{σ_{N}} = \frac{1}{\frac{1}{λ_{N}} + 1} + \frac{1}{λ_{N} + 1} = \frac{λ_{N}}{1 + λ_{N}} + \frac{1}{λ_{N} + 1} = 1$
を満たす正の無理数であり，したがって
$N = {⌊ ρ_{N} n ⌋ ∣ n \in N} ⊔ {⌊ σ_{N} n ⌋ ∣ n \in N_{\geq 1}}$
が成り立つ（cf. Galois接続入門例28，例29）．

上例より
$\frac{\sqrt{n^{2} + 4} + n}{2} = [n; n, n, \dots], \frac{\sqrt{n^{2} + 4} - n}{2} + 1 = [1; n, n, \dots]$
となるので，たとえば
$\frac{\sqrt{5} + 1}{2} = [1; 1, 1, \dots], \sqrt{2} = [1; 2, 2, \dots] \notin Q$
が成り立つ．後者は
$\sqrt{n^{2} + 1} = \frac{\sqrt{(2 n)^{2} + 4} - 2 n}{2} + n = [n; 2 n, 2 n, \dots]$
と一般化できる．

近似分数

実数 $λ \in R$ に対して，既約分数
$\frac{A_{k}}{B_{k}} = [q_{0}; q_{1}, \dots, q_{k - 1}] \in Q, k \geq 1$
を $λ$ の（主）近似分数という．

無理数 $λ \in R ∖ Q$ の近似分数列 $(A_{n} / B_{n})_{n = 1}^{\infty}$ について，
$| λ - \frac{A_{n + 1}}{B_{n + 1}} | < | λ - \frac{A_{n}}{B_{n}} | < \frac{1}{B_{n}^{2} q_{n}}$
が成り立つ．

approx-fracの証明より
$| λ - \frac{A_{n}}{B_{n}} | < \frac{1}{B_{n} B_{n + 1}} \leq \frac{1}{B_{n}^{2} q_{n}}$
および
$λ - \frac{A_{k}}{B_{k}} = \frac{(- 1)^{k + 1}}{B_{k} (B_{k} λ_{k} + B_{k - 1})}$
が成り立つ．後者より， $λ$ は $A_{n + 1} / B_{n + 1}, A_{n} / B_{n}$ を端点とする（開）区間に属していることがわかる．さらに，
$B_{n + 2} = B_{n + 1} q_{n + 1} + B_{n} \geq B_{n + 1} + B_{n} \geq 2 B_{n}$
より
$| λ - \frac{A_{n + 1}}{B_{n + 1}} | < \frac{1}{B_{n + 1} B_{n + 2}} \leq \frac{1}{2} \frac{1}{B_{n} B_{n + 1}}$
となるので，
$| λ - \frac{A_{n + 1}}{B_{n + 1}} | + | λ - \frac{A_{n}}{B_{n}} | = | \frac{A_{n + 1}}{B_{n + 1}} - \frac{A_{n}}{B_{n}} | = \frac{1}{B_{n} B_{n + 1}}$
と合わせて
$| λ - \frac{A_{n + 1}}{B_{n + 1}} | < \frac{1}{2} \frac{1}{B_{n} B_{n + 1}} < | λ - \frac{A_{n}}{B_{n}} |$
を得る．

有理数の場合も同様の不等式が成り立つ．

円周率 $π = 3.1415926 \dots \in R ∖ Q$ について $q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3}$ を計算すると，
$\begin{aligned} 3.141592 & < λ_{0} = π < 3.1415927 & ⇝ q_{0} = 3; \\ 7 + \frac{88511}{1415927} = \frac{1}{0.1415927} & < λ_{1} = \frac{1}{λ_{0} - 3} < \frac{1}{0.141592} = 7 + \frac{1107}{17699} & ⇝ q_{1} = 7; \\ 15 + \frac{1094}{1107} = \frac{17699}{1107} & < λ_{2} = \frac{1}{λ_{1} - 7} < \frac{1415927}{88511} = 15 + \frac{88262}{88511} & ⇝ q_{2} = 15; \\ 1 + \frac{249}{88262} = \frac{88511}{88262} & < λ_{3} = \frac{1}{λ_{2} - 15} < \frac{1107}{1094} = 1 + \frac{13}{1094} & ⇝ q_{3} = 1; \end{aligned}$
となる．よって， $π$ の近似分数として
$\begin{aligned} [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] & ⇝ \frac{A_{1}}{B_{1}} = \frac{3}{1} = 3; \\ [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 7 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{c} 22 & 3 \\ 7 & 1 \end{array}] & ⇝ \frac{A_{2}}{B_{2}} = \frac{22}{7} = 3 + \frac{1}{7} = 3.142857 \dots; \\ [\begin{array}{c} 22 & 3 \\ 7 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 15 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{c} 333 & 22 \\ 106 & 7 \end{array}] & ⇝ \frac{A_{3}}{B_{3}} = \frac{333}{106} = 3 + \frac{15}{106} = 3.141509 \dots; \\ [\begin{array}{c} 333 & 22 \\ 106 & 7 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{c} 355 & 333 \\ 113 & 106 \end{array}] & ⇝ \frac{A_{4}}{B_{4}} = \frac{355}{113} = 3 + \frac{16}{113} = 3.1415929 \dots; \end{aligned}$
を得る．

公転周期 $ε \in R_{> 0} ∖ Q$ （日）の惑星で， $1$ 年を $c : = ⌊ ε ⌋ \in N$ （日）とする暦を用いているとする．このとき，季節と暦とのズレ $λ : = ε - c$ の近似分数列 $(A_{n} / B_{n})_{n = 1}^{\infty}$ について
$\frac{1}{2 B_{n} B_{n + 1}} < | λ - \frac{A_{n}}{B_{n}} | < \frac{1}{B_{n}^{2}}$
が成り立つので， $B_{n}$ 年の間に閏年を $A_{n}$ 回設けることにすると，その間のズレは
$\frac{1}{2 B_{n + 1}} < | B_{n} ε - (B_{n} c + A_{n}) | < \frac{1}{B_{n}}$
と評価できる（ただし，同じシステムを $2 B_{n} B_{n + 1}$ 年間使い続けるとズレが $1$ を超えてしまう）．さて，たとえば
$365.242188 < ε < 365.2422$
の場合を考えると，
$\begin{aligned} 0.242188 & < λ_{0} = λ = ε - 365 < 0.2422 & ⇝ q_{0} = 0; \\ 4 + \frac{156}{1211} = \frac{1}{0.2422} & < λ_{1} = \frac{1}{λ_{0} - 365} < \frac{1}{0.242188} = 4 + \frac{7812}{60547} & ⇝ q_{1} = 4; \\ 7 + \frac{5863}{7812} = \frac{60547}{7812} & < λ_{2} = \frac{1}{λ_{1} - 4} < \frac{1211}{156} = 7 + \frac{119}{156} & ⇝ q_{2} = 7; \\ 1 + \frac{37}{119} = \frac{156}{119} & < λ_{3} = \frac{1}{λ_{2} - 7} < \frac{7812}{5863} = 1 + \frac{1949}{5863} & ⇝ q_{3} = 1; \\ 3 + \frac{16}{1949} = \frac{5863}{1949} & < λ_{4} = \frac{1}{λ_{3} - 1} < \frac{119}{37} = 3 + \frac{8}{37} & ⇝ q_{4} = 3; \end{aligned}$
より
$\begin{aligned} [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] & ⇝ \frac{A_{1}}{B_{1}} = \frac{0}{1} = 0; \\ [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 4 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{array}] & ⇝ \frac{A_{2}}{B_{2}} = \frac{1}{4} = 0.25; \\ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 7 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 & 1 \\ 29 & 4 \end{array}] & ⇝ \frac{A_{3}}{B_{3}} = \frac{7}{29} = 0.241379 \dots; \\ [\begin{array}{c} 7 & 1 \\ 29 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 & 7 \\ 33 & 29 \end{array}] & ⇝ \frac{A_{4}}{B_{4}} = \frac{8}{33} = 0.242424 \dots; \\ [\begin{array}{c} 8 & 7 \\ 33 & 29 \end{array}] [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] = [\begin{array}{c} 31 & 8 \\ 128 & 33 \end{array}] & ⇝ \frac{A_{5}}{B_{5}} = \frac{31}{128} = 0.2421875; \end{aligned}$
となる．ところで
$λ < \frac{8}{33} < \frac{97}{400} = 0.2425$
であるから， $400$ 年間に $97$ 回の閏年を設けるよりも， $33$ 年間に $8$ 回の，或いは $128$ 年間に $31$ 回の閏年を設けるほうが， $1$ 年あたりのズレが小さい（cf. better-approx）：
$| ε - (365 + \frac{31}{128}) | < | ε - (365 + \frac{8}{33}) | < | ε - (365 + \frac{97}{400}) | .$

参考文献

[1]

岩堀長慶, 『2次行列の世界』, 岩波書店

[2]

木村俊一, 『連分数のふしぎ』, 講談社

[3]

高木貞治, 『初等整数論講義第2版』, 共立出版

[4]

藤原松三郎, 『代数学第一巻』, 内田老鶴圃

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更新日：18日前

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