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Galois接続入門

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本記事では，いわゆる反単調Galois接続を単に“Galois接続”といい，いわゆる単調Galois接続は“Galois随伴”ということにします．

準備：順序集合

$X$ を集合とする． $X$ 上の2項関係 $\leq= \leq_{X} \subset X \times X$ が

$x \leq x$ ;
$x \leq y, y \leq z ⟹ x \leq z$ ;
$x \leq y, y \leq x ⟹ x = y$ ;

を満たすとき， $\leq$ を $X$ 上の（半）順序（partial order）といい，組 $(X, \leq)$ （または単に $X$ ）を（半）順序集合（partially ordered set, poset）という．

$(X, \leq_{X}), (Y, \leq_{Y})$ を順序集合とする．写像 $f : X \to Y$ について，
$x \leq_{X} x^{'} ⟹ f (x) \leq_{Y} f (x^{'})$
が成り立つとき， $f$ を単調写像（monotone map）といい，
$x \leq_{X} x^{'} ⟹ f (x^{'}) \leq_{Y} f (x)$
が成り立つとき， $f$ を反単調写像（antitone map）という．

Galois接続

定義と性質

$(P, \leq_{P}), (Q, \leq_{Q})$ を順序集合とし， $γ : P \to Q, δ : Q \to P$ を写像とする．任意の $(p, q) \in P \times Q$ に対して
$q \leq_{Q} γ (p) ⟺ p \leq_{P} δ (q)$
が成り立つとき，組 $(γ, δ)$ をGalois接続（Galois connection）という．

$(P, \leq_{P}), (Q, \leq_{Q})$ を順序集合とし， $γ : P \to Q, δ : Q \to P$ を写像とする．このとき次は同値である：

$(γ, δ)$ はGalois接続である；
以下の3条件が成り立つ：
1. $\forall p \in P, p \leq_{P} δ (γ (p))$ ;
2. $\forall q \in Q, q \leq_{Q} γ (δ (q))$ ;
3. $γ, δ$ は反単調写像である．

(i) $⟹$ (ii)

$p \in P$ とする．このとき $q := γ (p) \in Q$ に対して $q \leq_{Q} γ (p)$ が成り立つので， $p \leq_{P} δ (q) = δ (γ (p))$ を得る．
$q \in Q$ とする．このとき $p := δ (q) \in P$ に対して $p \leq_{P} δ (q)$ が成り立つので， $q \leq_{Q} γ (p) = γ (δ (q))$ を得る．
$p \leq_{P} p^{'}$ とする．(1)より $p^{'} \leq_{P} δ (γ (p^{'}))$ であるから $\leq_{P}$ の推移性より
$p \leq_{P} δ (γ (p^{'}))$
となり，したがって
$γ (p^{'}) \leq_{Q} γ (p)$
が成り立つ． $δ$ についても同様．

(ii) $⟹$ (i)

$(p, q) \in P \times Q$ とする．

$q \leq_{Q} γ (p)$ とすると，(1)と $δ$ の反単調性より
$p \leq_{P} δ (γ (p)) \leq_{P} δ (q)$
が成り立つ．
$p \leq_{P} δ (q)$ とすると，(2)と $γ$ の反単調性より
$q \leq_{Q} γ (δ (q)) \leq_{Q} γ (p)$
が成り立つ．

$(P, \leq_{P}), (Q, \leq_{Q})$ を順序集合とし， $γ, γ^{'} : P \to Q, δ, δ^{'} : Q \to P$ を写像とする．このとき：

$(γ, δ), (γ, δ^{'})$ がGalois接続ならば $δ = δ^{'}$ が成り立つ；
$(γ, δ), (γ^{'}, δ)$ がGalois接続ならば $γ = γ^{'}$ が成り立つ．

(i)のみ示せばよい．そこで $q \in Q$ とすると， $q \leq_{Q} γ (δ (q))$ より $δ (q) \leq_{P} δ^{'} (q)$ が， $q \leq_{Q} γ (δ^{'} (q))$ より $δ^{'} (q) \leq_{P} δ (q)$ がしたがうので， $δ (q) = δ^{'} (q)$ が成り立つ．

$γ : P ⇄ Q : δ$ をGalois接続とする．このとき
$γ \circ δ \circ γ = γ : P \to Q$
および
$δ \circ γ \circ δ = δ : Q \to P$
が成り立つ．したがって
$γ_{δ} := γ |_{δ (Q)}^{γ (P)} : δ (Q) \to γ (P), δ_{γ} := δ |_{γ (P)}^{δ (Q)} : γ (P) \to δ (Q)$
とおくと，これらは互いの逆写像である．組 $(γ_{δ}, δ_{γ})$ を（反単調）Galois対応という．

前半のみ示せばよい．そこで $p \in P$ とする．

$p \leq_{P} δ (γ (p))$ と $γ$ の反単調性より
$γ (δ (γ (p))) \leq_{Q} γ (p)$
が成り立つ．
$p^{'} := δ (γ (p)) \in P, q := γ (p) \in Q$ とおくと， $p^{'} \leq_{P} δ (q)$ となるので，Galois接続の定義より
$γ (p) = q \leq_{Q} γ (p^{'}) = γ (δ (γ (p)))$
が成り立つ．

よって
$γ \circ δ \circ γ (p) = γ (p)$
が成り立つ．

$γ : P ⇄ Q : δ$ をGalois接続とする．このとき次は同値である：

$γ$ は単射である；
$δ$ は全射である；
$δ \circ γ = {id}_{P}$ が成り立つ．

同様に次も同値である：

$γ$ は全射である；
$δ$ は単射である；
$γ \circ δ = {id}_{Q}$ が成り立つ．

前半のみ示せばよい．

(i) $⟹$ (ii)

$p \in P$ とする． $q := γ (p) \in Q$ とおく．このとき
$γ (δ (q)) = γ (δ (γ (p))) = γ (p)$
と $γ$ の単射性より， $δ (q) = p$ を得る．

(ii) $⟹$ (iii)

$p \in P$ とする．仮定より $q \in Q$ であって $δ (q) = p$ なるものが存在する．したがって
$δ (γ (p)) = δ (γ (δ (q))) = δ (q) = p$
が成り立つ．

(iii) $⟹$ (i)

明らか．

$γ : P ⇄ Q : δ$ をGalois接続とし， $Cl := δ \circ γ : P \to P$ とおく．このとき次が成り立つ：

$\forall p \in P, p \leq_{P} Cl (p)$ ;
$\forall p, p^{'} \in P, p \leq_{P} p^{'} ⟹ Cl (p) \leq_{P} Cl (p^{'})$ ;
$Cl \circ Cl = Cl$ .

$γ \circ δ : Q \to Q$ についても同様．

補題より明らか．
$p \leq_{P} p^{'}$ とすると， $γ$ の反単調性より $γ (p^{'}) \leq_{Q} γ (p)$ となるので， $δ$ の反単調性より
$Cl (p) = δ (γ (p)) \leq_{P} δ (γ (p^{'})) = Cl (p^{'})$
が成り立つ．
命題より明らか．

閉包作用素

$(P, \leq)$ を順序集合とする．写像 $Cl : P \to P$ について

$\forall p \in P, p \leq Cl (p)$ ;
$\forall p, p^{'} \in P, p \leq p^{'} ⟹ Cl (p) \leq Cl (p^{'})$ ;
$Cl \circ Cl = Cl$ ;

が成り立つとき， $Cl$ を閉包作用素（closure operator）という．また，各 $p \in P$ に対して， $Cl (p) \in P$ を $p$ の閉包という．

$(P, \leq)$ を順序集合とし， $Cl : P \to P$ を閉包作用素とする．不動点集合
$P^{Cl} := {p \in P ∣ Cl (p) = p}$
の元を（ $Cl$ ）閉集合という．

明らかに $P^{Cl} \subset Cl (P)$ であり， $Cl \circ Cl = Cl$ より $Cl (P) \subset P^{Cl}$ となるので，結局
$P^{Cl} = Cl (P)$
が成り立つ．

Galois接続 $γ : P ⇄ Q : δ$ に対して， $δ \circ γ : P \to P, γ \circ δ : Q \to Q$ はともに閉包作用素である．さらに
$P^{δ \circ γ} = δ (Q), Q^{γ \circ δ} = γ (P)$
が成り立つ． $δ \circ γ$ 閉集合および $γ \circ δ$ 閉集合を， $(γ, δ)$ に関するGalois閉集合という．

$(P, \leq)$ を順序集合とし， $α : P \to P$ を写像とする．このとき次は同値である：

$α$ は閉包作用素である；
$\forall p, p^{'} \in P, p \leq α (p^{'}) ⟺ α (p) \leq α (p^{'})$ .

(i) $⟹$ (ii)

$p \leq α (p^{'})$ とする．このとき
$α (p) \leq α (α (p^{'})) = α (p^{'})$
が成り立つ．
$α (p) \leq α (p^{'})$ とする．このとき
$p \leq α (p) \leq α (p^{'})$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

$α (p) \leq α (p)$ と(ii)の $⟸$ より $p \leq α (p)$ が成り立つ．
$p \leq p^{'}$ とする．このとき
$p \leq p^{'} \leq α (p^{'})$
より
$α (p) \leq α (p^{'})$
が成り立つ．
(1)より
$α (p) \leq α (α (p))$
が成り立つ．また， $α (p) \leq α (p)$ と(ii)の $⟹$ より
$α (α (p)) \leq α (p)$
が成り立つ．よって $α \circ α = α$ を得る．

$G$ を群とする．写像 $⟨ \cdot ⟩ : P (G) \to P (G)$ を
$⟨ p ⟩ := ⋂ {H < G ∣ p \subset H}$
で定めると，これは閉包作用素であり，
$P (G)^{⟨ \cdot ⟩} = {H \in P (G) ∣ H < G}$
が成り立つ．

極性

$X, Y$ を集合とする．冪集合 $P (X), P (Y)$ を包含関係により順序集合と見做す．冪集合の間のGalois接続 $γ : P (X) ⇄ P (Y) : δ$ を極性（polarity）という．極性全体のなす集合を $Pol (X, Y)$ で表わす．

$(γ, δ) \in Pol (X, Y)$ とする．このとき次が成り立つ：

$γ (⋃_{i} p_{i}) = ⋂_{i} γ (p_{i})$ ;
$δ (⋃_{i} q_{i}) = ⋂_{i} δ (q_{i})$ .

(i)のみ示せばよい．

$p_{i} \subset ⋃ p_{∙}$ より $γ (⋃ p_{∙}) \subset γ (p_{i})$ を得るので， $γ (⋃_{i} p_{i}) \subset ⋂_{i} γ (p_{i})$ が成り立つ．
$⋂ γ (p_{∙}) \subset γ (p_{i})$ より $p_{i} \subset δ (⋂ γ (p_{∙}))$ ，したがって $⋃_{i} p_{i} \subset δ (⋂ γ (p_{i}))$ を得るので， $⋂ γ (p_{i}) \subset γ (⋃_{i} p_{i})$ が成り立つ．

以下，集合 $P (X \times Y)$ と $Pol (X, Y)$ との間に全単射が存在することを示す．

$Φ : P (X \times Y) \to Pol (X, Y)$ の構成

$F \in P (X \times Y)$ とする．各 $x \in X$ に対して
$F (x) := {y \in Y ∣ (x, y) \in F}$
とおき，各 $y \in Y$ に対して
$F^{- 1} (y) := {x \in X ∣ (x, y) \in F}$
とおく．写像 $γ = γ_{F} : P (X) ⇄ P (Y) : δ = δ_{F}$ を次で定める：
$γ (p) := ⋂_{x \in p} F (x), δ (q) := ⋂_{y \in q} F^{- 1} (y) .$

$γ_{F} : P (X) ⇄ P (Y) : δ_{F}$ はGalois接続である．

$\begin{aligned} p \subset δ (q) = ⋂_{y \in q} F^{- 1} (y) & ⟺ \forall y \in q, p \subset F^{- 1} (y) \\ ⟺ \forall y \in q, \forall x \in p, x \in F^{- 1} (y) \\ ⟺ \forall y \in q, \forall x \in p, (x, y) \in F \\ ⟺ \forall y \in q, \forall x \in p, y \in F (x) \\ ⟺ \forall y \in q, y \in ⋂_{x \in p} F (x) = γ (p) \\ ⟺ q \subset γ (p) . \end{aligned}$

そこで写像 $Φ : P (X \times Y) \to Pol (X, Y)$ を
$Φ (F) := (γ_{F}, δ_{F})$
で定める．

$Ψ : Pol (X, Y) \to P (X \times Y)$ の構成

$(γ, δ) \in Pol (X, Y)$ に対して
$Ψ ((γ, δ)) := F_{(γ, δ)} := {(x, y) \in X \times Y ∣ y \in γ ({x})} \in P (X \times Y)$
と定める． $(γ, δ)$ がGalois接続であることから
$y \in γ ({x}) ⟺ x \in δ ({y})$
が成り立つことに注意する．

$Φ, Ψ$ が互いに逆写像であること

$F \in P (X \times Y)$ とする．このとき
$\begin{aligned} Ψ \circ Φ (F) & = {(x, y) \in X \times Y ∣ y \in γ_{F} ({x})} \\ = {(x, y) \in X \times Y ∣ y \in F (x)} \\ = {(x, y) \in X \times Y ∣ (x, y) \in F} \\ = F \end{aligned}$
が成り立つ．
$(γ, δ) \in Pol (X, Y)$ とする．このとき
$\begin{aligned} y \in γ_{F_{(γ, δ)}} (p) & ⟺ \forall x \in p, y \in F_{(γ, δ)} (x) \\ ⟺ \forall x \in p, (x, y) \in F_{(γ, δ)} \\ ⟺ \forall x \in p, y \in γ ({x}) \\ ⟺ \forall x \in p, x \in δ ({y}) \\ ⟺ p \subset δ ({y}) \\ ⟺ {y} \subset γ (p) \\ ⟺ y \in γ (p) \end{aligned}$
より $γ_{F_{(γ, δ)}} = γ$ が成り立つ．同様にして
$\begin{aligned} x \in δ_{F_{(γ, δ)}} (q) & ⟺ \forall y \in q, x \in F_{(γ, δ)}^{- 1} (y) \\ ⟺ \forall y \in q, (x, y) \in F_{(γ, δ)} \\ ⟺ \forall y \in q, y \in γ ({x}) \\ ⟺ q \subset γ ({x}) \\ ⟺ {x} \subset δ (q) \\ ⟺ x \in δ (q) \end{aligned}$
より $δ_{F_{(γ, δ)}} = δ$ も成り立つ．よって
$Φ \circ Ψ ((γ, δ)) = (γ, δ)$
が成り立つ．

Galois接続の例

補集合

$X$ を集合とする．2項関係
${(x, y) \in X \times X ∣ x \neq y} \subset X \times X$
から定まるGalois接続 $γ : P (X) ⇄ P (X) : δ$ について，
$γ (p) = {y \in X ∣ \forall x \in p, x \neq y} = X ∖ p$
は $p \subset X$ の補集合であり，2項関係の対称性より $δ = γ$ である：
$p \subset X ∖ q ⟺ q \subset X ∖ p .$
また，明らかに $γ^{2} = id$ が成り立つ．

不動点集合と固定部分群

$G \to Sym (X)$ を群作用とする．2項関係
${(g, x) \in G \times X ∣ g \cdot x = x} \subset G \times X$
から定まるGalois接続 $γ : P (G) ⇄ P (X) : δ$ について，
$γ (p) = {x \in X ∣ \forall g \in p, g \cdot x = x} = X^{p}$
は $p \subset G$ による不動点集合であり，
$δ (q) = {g \in G ∣ \forall x \in q, g \cdot x = x} = {Fix}_{G} (q)$
は $q \subset X$ の各点固定部分群である．さらに，
$x \in γ (p) ⟺ p \subset G_{x} ⟺ ⟨ p ⟩ \subset G_{x} ⟺ x \in γ (⟨ p ⟩)$
より
$X^{p} = X^{⟨ p ⟩}$
が成り立つ．

拡大体のGalois理論（hotta）

$K / k$ を体の拡大とし
$G := Aut (K / k) := {f \in Aut (K) ∣ \forall x \in k, f (x) = x} = {Fix}_{Aut (K)} (k)$
とおく． $G$ の部分群全体のなす集合を $S (G)$ とおき $K / k$ の中間体全体のなす集合を $M (K / k)$ とおくと，上例のGalois接続 $γ : P (G) ⇄ P (K) : δ$ を制限したものはGalois接続 $γ^{'} : S (G) ⇄ M (K / k) : δ^{'}$ を与える．

代数拡大 $K / k$ に対して
$K / k : Galois ⟺ k \in M (K / k) : Galois closed$
が成り立つ．Galois理論の基本定理とは， $K / k$ が有限次Galois拡大であるとき $(γ^{'}, δ^{'})$ がGalois対応であること（ $+ α$ ）を主張するものである．

被覆空間のGalois理論（flag3）

$X$ を連結かつ局所弧状連結な位相空間とし， $\tilde{π} : \tilde{X} \to X$ を連結被覆空間とする．また，
$G := Aut (\tilde{X} \overset{\tilde{π}}{\to} X) := {f \in Homeo (\tilde{X}) ∣ \tilde{π} \circ f = \tilde{π}}$
とおく．

部分群 $H < G$ に対して，中間連結被覆空間 $\tilde{X} \to H ∖ \tilde{X} \overset{{\tilde{π}}_{H}}{\to} X$ （の同型類）が定まる：
$\tilde{X} proj. \tilde{π} H ∖ \tilde{X} {\tilde{π}}_{H} X .$
$\tilde{π} : \tilde{X} \to X$ の中間連結被覆空間 $\tilde{X} \overset{π_{\tilde{X} \to Y}}{\to} Y \overset{π_{Y}}{\to} X$ （の同型類）に対して，
$Aut (\tilde{X} \overset{π_{\tilde{X} \to Y}}{\to} Y) = {f \in G ∣ π_{\tilde{X} \to Y} \circ f = π_{\tilde{X} \to Y}} < G$
が定まる．
以上により，Galois接続が定まる：
$H ∖ \tilde{X} \exists {\tilde{π}}_{H} H \subset Aut (\tilde{X} \to Y) ⟺ Y π_{Y} X$
$\tilde{X} \overset{\tilde{π}}{\to} X \overset{{id}_{X}}{\to} X$ （の同型類）がGalois閉集合であるとき，すなわち $G ∖ \tilde{X} \approx X$ が成り立つとき， $\tilde{X} \overset{\tilde{π}}{\to} X$ をGalois被覆という．
$\tilde{X} \overset{\tilde{π}}{\to} X$ がGalois被覆であるとき，上述のGalois接続は全単射
$S (G) ≅ {中間連結被覆の同型類}$
を与える．

Dedekind–MacNeille完備化（dm, primer Ex. 25）

$(X, \leq)$ を順序集合とする．2項関係 $\leq\subset X \times X$ から定まるGalois接続 $γ : P (X) ⇄ P (X) : δ$ について，
$γ (p) = {y \in X ∣ \forall x \in p, x \leq y} \subset X$
は $p \subset X$ の上界全体のなす部分集合であり，
$δ (q) = {x \in X ∣ \forall y \in q, x \leq y} \subset X$
は $q \subset X$ の下界全体のなす部分集合である．閉包作用素 $δ \circ γ$ による不動点集合
${p \in P (X) ∣ δ \circ γ (p) = p}$
を $(X, \leq)$ のDedekind–MacNeille完備化という．

直交補空間

$k$ を体， $V$ を $k$ 線型空間とし， $ω : V \times V \to k$ を対称双線型写像とする．2項関係
${(u, v) \in V \times V ∣ ω (u, v) = 0} \subset V \times V$
から定まるGalois接続 $γ : P (V) ⇄ P (V) : δ$ について，
$γ (p) = {v \in V ∣ \forall u \in p, ω (u, v) = 0} = p^{⊥}$
は $p \subset V$ の $ω$ 直交補空間であり， $ω$ の対称性より $γ = δ$ が成り立つ． $γ^{2}$ は閉包作用素なので $p \subset (p^{⊥})^{⊥}$ が成り立ち，したがって
$Span (p) \subset (p^{⊥})^{⊥}$
が成り立つ．

零化空間

$k$ を体とし $V$ を $k$ 線型空間とする．2項関係
${(f, v) \in V^{*} \times V ∣ f (v) = 0} \subset V^{*} \times V$
から定まるGalois接続 $γ : P (V^{*}) ⇄ P (V) : δ$ について，
$γ (p) = {v \in V ∣ \forall f \in p, f (v) = 0}$
は $p \subset V^{*}$ の零化空間であり，
$δ (q) = {f \in V^{*} ∣ \forall v \in q, f (v) = 0}$
は $q \subset V$ の零化空間である．

イデアルと代数的集合（hotta）

$K$ を体とし $n \in Z_{\geq 1}$ とする．2項関係
${(f, x) \in K [t_{1}, \dots, t_{n}] \times K^{n} ∣ f (x) = 0}$
から定まるGalois接続 $γ : P (K [t_{1}, \dots, t_{n}]) ⇄ P (K^{n}) : δ$ について，
$γ (p) = {x \in K^{n} ∣ \forall f \in p, f (x) = 0} = V (p)$
は $p \subset K [t_{1}, \dots, t_{n}]$ の共通零点集合（一名代数的集合）であり，
$δ (q) = {f \in K [t_{1}, \dots, t_{n}] ∣ \forall x \in q, f (x) = 0} = I (q)$
は $q \subset K^{n}$ 上で消える多項式のなすイデアルである．

$x \in K^{n}$ に対して
$m_{x} := {f \in K [t_{1}, \dots, t_{n}] ∣ f (x) = 0}$
とおくと，これは $K [t_{1}, \dots, t_{n}]$ の（極大）イデアルである．そこで $p \subset K [t_{1}, \dots, t_{n}]$ で生成されるイデアルを $⟨ p ⟩$ と書くことにすると，
$x \in γ (p) ⟺ p \subset m_{x} ⟺ ⟨ p ⟩ \subset m_{x} ⟺ x \in γ (⟨ p ⟩)$
より $γ (p) = γ (⟨ p ⟩)$ が成り立つ．
（コ）ドメインの制限によって得られるGalois接続
$γ^{'} : Ideal (K [t_{1}, \dots, t_{n}]) ⇄ AlgSet (K^{n}) : δ^{'}$
について， $γ^{'}$ は全射なので $δ^{'}$ は単射であり $γ^{'} \circ δ^{'} = id$ が成り立つ．

根基

イデアル $I \subset K [t_{1}, \dots, t_{n}]$ に対して
$δ (γ (I)) = ⋂_{x \in γ (I)} m_{x} \supset \sqrt{I} := {f \in K [t_{1}, \dots, t_{n}] ∣ \exists ℓ \in N_{> 0}, f^{ℓ} \in I}$
が成り立つ． $K$ が代数的閉体であるとき $δ (γ (I)) = \sqrt{I}$ が成り立つ（Hilbertの零点定理）．

Zariski位相

$AlgSet (K^{n}) = γ (Ideal (K [t_{1}, \dots, t_{n}]))$ は閉集合系の公理を満たす：

$K^{n} = γ (0), \emptyset = γ (1)$ .
$⋂_{j} γ (I_{j}) = γ (⋃_{j} I_{j}) = γ (⟨ ⋃_{j} I_{j} ⟩)$ .
$I I^{'} \subset I, I^{'}$ より $γ (I) \cup γ (I^{'}) \subset γ (I I^{'})$ が成り立つ．逆に $x \in γ (I I^{'}) ∖ γ (I)$ とすると， $f \in I$ であって $f (x) \neq 0$ なるものが存在するので，任意の $f^{'} \in I^{'}$ に対して，
$0 = (f f^{'}) (x) = f (x) f^{'} (x)$
より $f^{'} (x) = 0$ を得，したがって $x \in γ (I^{'})$ が成り立つ．

閉集合系 $AlgSet (K^{n})$ から定まる位相をZariski位相という．部分集合 $q \subset K^{n}$ に対してZariski位相による閉包を $\bar{q}$ で表わす：
$\bar{q} := ⋂ {γ (I) ∣ I \in Ideal (K [t_{1}, \dots, t_{n}]), q \subset γ (I)} .$
[1] $q \subset γ (δ (q))$ および $δ (q) \in Ideal (K [t_{1}, \dots, t_{n}])$ より $\bar{q} \subset γ (δ (q))$ が成り立つ．
[2] 任意の $I \in Ideal (K [t_{1}, \dots, t_{n}])$ に対して
$q \subset γ (I) ⟹ γ (δ (q)) \subset γ (δ (γ (I))) = γ (I)$
が成り立つので， $γ (δ (q)) \subset \bar{q}$ を得る．

したがって閉包作用素 $γ \circ δ$ について
$γ (δ (q)) = \bar{q}$
が成り立つ．

外延と内包（fca）

$X$ を“モノ”の集まり， $Y$ を“コト”の集まりとする．2項関係
${(x, y) \in X \times Y ∣ x は y である} \subset X \times Y$
から定まるGalois接続 $γ : P (X) ⇄ P (Y) : δ$ について，
$γ (p) = {y \in Y ∣ \forall x \in p, x は y である}$
の元は $p \subset X$ に属するすべての元が満たす性質（“内包”）であり，
$δ (q) = {x \in X ∣ \forall y \in q, x は y である}$
の元は $q \subset Y$ に属するすべての性質を満たすモノ（“外延”）である．Galois対応 $(γ_{δ}, δ_{γ})$ によってうつりあうGalois閉集合からなる組 $c := (p, q)$ を（形式）概念といい， $p$ を $c$ の外延， $q$ を $c$ の内包という．

Galois随伴

定義と性質

$(P, \leq_{P}), (Q, \leq_{Q})$ を順序集合とし， $λ : P \to Q, ρ : Q \to P$ を写像とする．任意の $(p, q) \in P \times Q$ に対して
$λ (p) \leq_{Q} q ⟺ p \leq_{P} ρ (q)$
が成り立つとき，組 $(λ, ρ)$ をGalois随伴（Galois adjunction）という．Galois随伴 $(λ, ρ)$ に対して， $λ$ を左随伴，下随伴などといい， $ρ$ を右随伴，上随伴などという．

$(P, \leq_{P}), (Q, \leq_{Q})$ を順序集合とし， $λ : P \to Q, ρ : Q \to P$ を写像とする．このとき次は同値である：

$(λ, ρ)$ はGalois随伴である；
以下の3条件が成り立つ：
1. $\forall p \in P, p \leq_{P} ρ (λ (p))$ ;
2. $\forall q \in Q, λ (ρ (q)) \leq_{Q} q$ ;
3. $λ, ρ$ は単調写像である．

(i) $⟹$ (ii)

$p \in P$ とする．このとき $q := λ (p) \in Q$ に対して $λ (p) \leq_{Q} q$ が成り立つので， $p \leq_{P} ρ (q) = ρ (λ (p))$ を得る．
$q \in Q$ とする．このとき $p := ρ (q) \in P$ に対して $p \leq_{P} ρ (q)$ が成り立つので， $λ (ρ (q)) = λ (p) \leq_{Q} q$ を得る．
$p \leq_{P} p^{'}$ とする．(1)より $p^{'} \leq_{P} ρ (λ (p^{'}))$ であるから $\leq_{P}$ の推移性より
$p \leq_{P} ρ (λ (p^{'}))$
となり，したがって
$λ (p) \leq_{Q} λ (p^{'})$
が成り立つ．また， $q \leq_{Q} q^{'}$ とすると，(2)より $λ (ρ (q)) \leq_{Q} q$ であるから $\leq_{Q}$ の推移性より
$λ (ρ (q)) \leq_{Q} q^{'}$
となり，したがって
$ρ (q) \leq_{P} ρ (q^{'})$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

$(p, q) \in P \times Q$ とする．

$λ (p) \leq_{Q} q$ とすると，(1)と $ρ$ の単調性より
$p \leq_{P} ρ (λ (p)) \leq_{P} ρ (q)$
が成り立つ．
$p \leq_{P} ρ (q)$ とすると， $λ$ の単調性と(2)より
$λ (p) \leq_{Q} λ (ρ (q)) \leq_{Q} q$
が成り立つ．

$(P, \leq_{P}), (Q, \leq_{Q})$ を順序集合とし， $λ, λ^{'} : P \to Q, ρ, ρ^{'} : Q \to P$ を写像とする．このとき：

$(λ, ρ), (λ, ρ^{'})$ がGalois随伴ならば $ρ = ρ^{'}$ が成り立つ；
$(λ, ρ), (λ^{'}, ρ)$ がGalois随伴ならば $λ = λ^{'}$ が成り立つ．

(i)のみ示す．そこで $q \in Q$ とすると， $λ (ρ (q)) \leq_{Q} q$ より $ρ (q) \leq_{P} ρ^{'} (q)$ が， $λ (ρ^{'} (q)) \leq_{Q} q$ より $ρ^{'} (q) \leq_{P} ρ (q)$ がしたがうので， $ρ (q) = ρ^{'} (q)$ が成り立つ．

$λ : P ⇄ Q : ρ$ をGalois随伴とする．このとき
$λ \circ ρ \circ λ = λ : P \to Q$
および
$ρ \circ λ \circ ρ = ρ : Q \to P$
が成り立つ．したがって
$λ_{ρ} := λ |_{ρ (Q)}^{λ (P)} : ρ (Q) \to λ (P), ρ_{λ} := ρ |_{λ (P)}^{ρ (Q)} : λ (P) \to ρ (Q)$
とおくと，これらは互いの逆写像である．組 $(λ_{ρ}, ρ_{λ})$ を（単調）Galois対応という．

前半のみ示す．そこで $p \in P$ とする．

$p \leq_{P} ρ (λ (p))$ と $λ$ の単調性より
$λ (p) \leq_{Q} λ (ρ (λ (p)))$
が成り立つ．
$p^{'} := ρ (λ (p)) \in P, q := λ (p) \in Q$ とおくと， $p^{'} \leq_{P} ρ (q)$ となるので，Galois随伴の定義より
$λ (ρ (λ (p))) = λ (p^{'}) \leq_{Q} q = λ (p)$
が成り立つ．

よって
$λ \circ ρ \circ λ (p) = λ (p)$
が成り立つ．

$λ : P ⇄ Q : ρ$ をGalois随伴とする．このとき次は同値である：

$λ$ は単射である；
$ρ$ は全射である；
$ρ \circ λ = {id}_{P}$ が成り立つ．

同様に次も同値である：

$λ$ は全射である；
$ρ$ は単射である；
$λ \circ ρ = {id}_{Q}$ が成り立つ．

$λ : P ⇄ Q : ρ$ をGalois随伴とし， $Int := λ \circ ρ : Q \to Q$ とおく．このとき次が成り立つ：

$\forall q \in Q, Int (q) \leq_{Q} q$ ;
$\forall q, q^{'} \in Q, q \leq_{Q} q^{'} ⟹ Int (q) \leq_{Q} Int (q^{'})$ ;
$Int \circ Int = Int$ .

また， $ρ \circ λ : P \to P$ は閉包作用素である．

開核作用素

$(Q, \leq)$ を順序集合とする．写像 $Int : Q \to Q$ について

$\forall q \in Q, Int (q) \leq q$ ;
$\forall q, q^{'} \in Q, q \leq q^{'} ⟹ Int (q) \leq Int (q^{'})$ ;
$Int \circ Int = Int$ ;

が成り立つとき， $Int$ を開核作用素（kernel operator）という．また，各 $q \in Q$ に対して， $Int (q) \in Q$ を $q$ の開核という．

$(Q, \leq)$ を順序集合とし， $Int : Q \to Q$ を開核作用素とする．不動点集合
$Q^{Int} := {q \in Q ∣ Int (q) = q}$
の元を（ $Int$ ）開集合という．

明らかに $Q^{Int} \subset Int (Q)$ であり， $Int \circ Int = Int$ より $Int (Q) \subset Q^{Int}$ となるので，結局
$Q^{Int} = Int (Q)$
が成り立つ．

Galois随伴 $λ : P ⇄ Q : ρ$ に対して， $ρ \circ λ : P \to P$ は閉包作用素であり， $λ \circ ρ : Q \to Q$ は開核作用素である．さらに
$P^{ρ \circ λ} = ρ (Q), Q^{λ \circ ρ} = λ (P)$
が成り立つ． $ρ \circ λ$ 閉集合（resp. $λ \circ ρ$ 開集合）を $(λ, ρ)$ に関するGalois閉集合（resp. Galois開集合）という．

$(Q, \leq)$ を順序集合とし， $β : Q \to Q$ を写像とする．このとき次は同値である：

$β$ は開核作用素である；
$\forall q, q^{'} \in Q, β (q) \leq q^{'} ⟺ β (q) \leq β (q^{'})$ .

(i) $⟹$ (ii)

$β (q) \leq q^{'}$ とする．このとき
$β (q) = β (β (q)) \leq β (q^{'})$
が成り立つ．
$β (q) \leq β (q^{'})$ とする．このとき
$β (q) \leq β (q^{'}) \leq q^{'}$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

$β (q) \leq β (q)$ と(ii)の $⟸$ より $β (q) \leq q$ が成り立つ．
$q \leq q^{'}$ とする．このとき
$β (q) \leq q \leq q^{'}$
より
$β (q) \leq β (q^{'})$
が成り立つ．
(1)より
$β (β (q)) \leq β (q)$
が成り立つ．また， $β (q) \leq β (q)$ と(ii)の $⟹$ より
$β (q) \leq β (β (q))$
が成り立つ．よって $β \circ β = β$ を得る．

$X$ を集合とし $A \subset X$ とする．写像 $β : P (X) \to P (X)$ を
$β (q) := q ∖ A$
で定める．このとき
$q ∖ A \subset q^{'} ⟺ q ∖ A \subset q^{'} ∖ A$
が成り立つので， $β$ は開核作用素である．また $β (P (X)) = P (X ∖ A)$ が成り立つ．

軸性

$X, Y$ を集合とする．冪集合 $P (X), P (Y)$ を包含関係により順序集合と見做す．冪集合の間のGalois随伴 $λ : P (X) ⇄ P (Y) : ρ$ を軸性（axiality）という．軸性全体のなす集合を $Ax (X, Y)$ で表わす．

$(λ, ρ) \in Ax (X, Y)$ とする．このとき次が成り立つ：

$λ (⋃_{i} p_{i}) = ⋃_{i} λ (p_{i})$ ;
$ρ (⋂_{i} q_{i}) = ⋂_{i} ρ (q_{i})$ .

1. $p_{i} \subset ⋃ p_{∙}$ と $λ$ の単調性より $⋃_{i} λ (p_{i}) \subset λ (⋃_{i} p_{i})$ が成り立つ．
2. $λ (p_{i}) \subset ⋃ λ (p_{∙})$ より $p_{i} \subset ρ (⋃ λ (p_{∙}))$ が成り立ち，したがって $⋃_{i} p_{i} \subset ρ (⋃_{i} λ (p_{i}))$ 成り立つので， $λ (⋃_{i} p_{i}) \subset ⋃_{i} λ (p_{i})$ を得る．
1. $⋂ q_{∙} \subset q_{i}$ と $ρ$ の単調性より $ρ (⋂_{i} q_{i}) \subset ⋂_{i} ρ (q_{i})$ が成り立つ．
2. $⋂ ρ (q_{∙}) \subset ρ (q_{i})$ より $λ (⋂ ρ (q_{∙})) \subset q_{i}$ が成り立ち，したがって $λ (⋂_{i} ρ (q_{i})) \subset ⋂_{i} q_{i}$ が成り立つので， $⋂_{i} ρ (q_{i}) \subset ρ (⋂_{i} q_{i})$ を得る．

以下，集合 $P (X \times Y)$ と $Ax (X, Y)$ との間に全単射が存在することを示す．

$Φ : P (X \times Y) \to Ax (X, Y)$ の構成

$F \in P (X \times Y)$ とする．写像 $λ = λ_{F} : P (X) ⇄ P (Y) : ρ = ρ_{F}$ を次で定める：
$λ (p) := ⋃_{x \in p} F (x), ρ (q) := {x \in X ∣ F (x) \subset q} .$

$λ_{F} : P (X) ⇄ P (Y) : ρ_{F}$ はGalois随伴である．

$λ (p) \subset q$ とすると，任意の $x \in p$ に対して，
$F (x) \subset λ (p) \subset q$
より $x \in ρ (q)$ が成り立つ．
$p \subset ρ (q)$ とすると，
$λ (p) = ⋃_{x \in p} F (x) \subset ⋃_{x \in ρ (q)} F (x) \subset q$
が成り立つ．

そこで写像 $Φ : P (X \times Y) \to Ax (X, Y)$ を
$Φ (F) := (λ_{F}, ρ_{F})$
で定める．

$Ψ : Ax (X, Y) \to P (X \times Y)$ の構成

$(λ, ρ) \in Ax (X, Y)$ に対して
$Ψ ((λ, ρ)) := F_{(λ, ρ)} := {(x, y) \in X \times Y ∣ y \in λ ({x})} \in P (X \times Y)$
と定める．

$Φ, Ψ$ が互いに逆写像であること

$F \in P (X \times Y)$ とする．このとき
$\begin{aligned} Ψ \circ Φ (F) & = {(x, y) \in X \times Y ∣ y \in λ_{F} ({x})} \\ = {(x, y) \in X \times Y ∣ y \in F (x)} \\ = {(x, y) \in X \times Y ∣ (x, y) \in F} \\ = F \end{aligned}$
が成り立つ．
$(λ, ρ) \in Ax (X, Y)$ とする．任意の $x \in X$ に対して，
$y \in F_{(λ, ρ)} (x) ⟺ (x, y) \in F_{(λ, ρ)} ⟺ y \in λ ({x})$
より $F_{(λ, ρ)} (x) = λ ({x})$ が成り立つ．したがって
$λ_{F_{(λ, ρ)}} (p) = ⋃_{x \in p} F_{(λ, ρ)} (x) = ⋃_{x \in p} λ ({x}) = λ (⋃_{x \in p} {x}) = λ (p)$
より $λ_{F_{(λ, ρ)}} = λ$ が成り立ち，
$x \in ρ_{F_{(λ, ρ)}} (q) ⟺ F_{(λ, ρ)} (x) \subset q ⟺ λ ({x}) \subset q ⟺ {x} \subset ρ (q) ⟺ x \in ρ (q)$
より $ρ_{F_{(λ, ρ)}} = ρ$ が成り立つ．よって
$Φ \circ Ψ ((λ, ρ)) = (λ, ρ)$
が成り立つ．

Galois随伴の例

合成

$λ : P ⇄ Q : ρ, λ^{'} : Q ⇄ R : ρ^{'}$ がGalois随伴ならば，合成 $λ^{'} \circ λ : P ⇄ R : ρ \circ ρ^{'}$ もGalois随伴である．実際
$λ^{'} (λ (p)) \leq_{R} r ⟺ λ (p) \leq_{Q} ρ^{'} (r) ⟺ p \leq_{P} ρ (ρ^{'} (r))$
が成り立つ．

$α : P \to P$ を閉包作用素とする．このとき，任意の $(p, p^{'}) \in P \times α (P)$ に対して
$α (p) \leq p^{'} ⟺ p \leq p^{'}$
が成り立つので， $α : P ⇄ α (P) : incl$ はGalois随伴である．

$β : Q \to Q$ を開核作用素とする．このとき，任意の $(q, q^{'}) \in β (Q) \times Q$ に対して
$q \leq q^{'} ⟺ q \leq β (q^{'})$
が成り立つので， $incl : β (Q) ⇄ Q : β$ はGalois随伴である．

天井函数と床函数

天井函数 $⌈ \cdot ⌉ : R \to Z$ について
$⌈ x ⌉ \leq n ⟺ x \leq n$
が成り立つ．したがって $(⌈ \cdot ⌉, {id}_{Z}^{R})$ はGalois随伴である．また，床函数 $⌊ \cdot ⌋ : R \to Z$ について
$n \leq y ⟺ n \leq ⌊ y ⌋$
が成り立つ．したがって $({id}_{Z}^{R}, ⌊ \cdot ⌋)$ はGalois随伴である．よってこれらの合成 $⌈ \cdot ⌉ : R ⇄ R : ⌊ \cdot ⌋$ はGalois随伴であるから，
$⌈ x ⌉ \leq y ⟺ x \leq ⌊ y ⌋$
が成り立つ．

順像と逆像

$f : X \to Y$ を写像とする．2項関係
$F := {(x, y) \in X \times Y ∣ f (x) = y} \subset X \times Y$
から定まるGalois随伴 $λ : P (X) ⇄ P (Y) : ρ$ について，
$λ (p) = {y \in Y ∣ \exists x \in p, y \in F (x)} = {y \in Y ∣ \exists x \in p, f (x) = y} =: f^{\to} (p)$
は $p \subset X$ の $f$ による順像であり，
$ρ (q) = {x \in X ∣ F (x) \subset q} = {x \in X ∣ f (x) \in q} =: f^{\leftarrow} (q)$
は $q \subset Y$ の $f$ による逆像である．したがって
$f^{\to} (p) \subset q ⟺ p \subset f^{\leftarrow} (q)$
が成り立つ．また，

$p \subset f^{\leftarrow} (f^{\to} (p))$ ;
$f^{\to} (f^{\leftarrow} (q)) \subset q$ ;
$f^{\to} (⋃_{i} p_{i}) = ⋃_{i} f^{\to} (p_{i})$ ;
$f^{\leftarrow} (⋂_{i} q_{i}) = ⋂_{i} f^{\leftarrow} (q_{i})$ ;

などが成り立つ．

部分群の対応

$G$ を群， $N ◃ G$ をその正規部分群とし， $π : G \to G / N$ を射影とする．順像・逆像のGalois随伴を部分群に制限することでGalois随伴 $π^{\to} : S (G) ⇄ S (G / N) : π^{\leftarrow}$ を得る．射影 $π$ は全射なので $π^{\to}$ は全射であり，したがって $π^{\leftarrow}$ は単射で $π^{\to} \circ π^{\leftarrow} = id$ が成り立つ．ここで
$S_{N} (G) := {H \in S (G) ∣ N \subset H}$
とおくと $S_{N} (G) = π^{\leftarrow} (S (G / N))$ が成り立つことがわかるので，Galois対応
$π_{π^{\leftarrow}}^{\to} : S_{N} (G) ⇄ S (G / N) : π_{π^{\to}}^{\leftarrow}$
を得る．

逆像と余順像

$f : X \to Y$ を写像とする．2項関係
$F := {(y, x) \in Y \times X ∣ y = f (x)} \subset Y \times X$
から定まるGalois随伴 $λ : P (Y) ⇄ P (X) : ρ$ について，
$λ (p) = {x \in X ∣ \exists y \in p, x \in F (y)} = {x \in X ∣ f (x) \in p} = f^{\leftarrow} (p)$
は $p \subset Y$ の $f$ による逆像であり，
$ρ (q) = {y \in Y ∣ F (y) \subset q} = {y \in Y ∣ f^{\leftarrow} ({y}) \subset q} =: f_{!} (q)$
を $q \subset X$ の $f$ による余順像という．したがって
$f^{\leftarrow} (p) \subset q ⟺ p \subset f_{!} (q)$
が成り立つ．また，

$p \subset f_{!} (f^{\leftarrow} (p))$ ;
$f^{\leftarrow} (f_{!} (q)) \subset q$ ;
$f^{\leftarrow} (⋃_{i} p_{i}) = ⋃_{i} f^{\leftarrow} (p_{i})$ ;
$f_{!} (⋂_{i} q_{i}) = ⋂_{i} f_{!} (q_{i})$ ;

などが成り立つ．

余順像と射影公式

$f : X \to Y$ を写像とする．補集合を取るGalois接続，および順像・逆像のGalois随伴より
$\begin{aligned} f^{\leftarrow} (p) \subset q & ⟺ X ∖ q \subset X ∖ f^{\leftarrow} (p) = f^{\leftarrow} (Y ∖ p) \\ ⟺ f^{\to} (X ∖ q) \subset Y ∖ p \\ ⟺ p \subset Y ∖ f^{\to} (X ∖ q) \end{aligned}$
が成り立つので， $f^{\leftarrow}$ に対する右随伴の一意性より
$f_{!} (q) = Y ∖ f^{\to} (X ∖ q)$
が成り立つ．

とくに包含写像 $ι := {id}_{C}^{Z} : C \to Z$ を考えて
$p \cap C = ι^{\leftarrow} (p) \subset q ⟺ p \subset ι_{!} (q) = Z ∖ ι^{\to} (C ∖ q) = (Z ∖ C) \cup q$
を得，これをGalois随伴 $ι^{\to} : P (C) ⇄ P (Z) : ι^{\leftarrow}$ と合成することでGalois随伴 $P (Z) ⇄ P (Z)$ を得る：
$p \cap C \subset q ⟺ p \subset (Z ∖ C) \cup (q \cap C) = (Z ∖ C) \cup q .$

したがって任意の $A \subset X, B, B^{'} \subset Y$ に対して
$\begin{aligned} f^{\to} (A) \cap B \subset B^{'} & ⟺ f^{\to} (A) \subset (Y ∖ B) \cup B^{'} \\ ⟺ A \subset f^{\leftarrow} ((Y ∖ B) \cup B^{'}) = (X ∖ f^{\leftarrow} (B)) \cup f^{\leftarrow} (B^{'}) \\ ⟺ A \cap f^{\leftarrow} (B) \subset f^{\leftarrow} (B^{'}) \\ ⟺ f^{\to} (A \cap f^{\leftarrow} (B)) \subset B^{'} \end{aligned}$
が成り立つので，射影公式
$f^{\to} (A \cap f^{\leftarrow} (B)) = f^{\to} (A) \cap B$
を得る．

差と合併

$X$ を集合とし $A \subset X$ とする．包含写像 ${id}_{X ∖ A}^{X}$ に上述の議論を適用して得られるGalois随伴 $P (X) ⇄ P (X)$ は，
$p \cap (X ∖ A) \subset q ⟺ p \subset (X ∖ (X ∖ A)) \cup q,$
すなわち
$p ∖ A \subset q ⟺ p \subset A \cup q .$
と書ける．

位相空間における閉包と内部

$(X, O)$ を位相空間とし，その閉集合系を $C$ とおく．このとき任意の $(A, C) \in P (X) \times C$ に対して
${Cl}_{O} (A) \subset C ⟺ A \subset C$
が成り立つので， ${Cl}_{O} : P (X) ⇄ C : incl$ はGalois随伴である．また，任意の $(U, A) \in O \times P (X)$ に対して
$U \subset A ⟺ U \subset {Int}_{O} (A)$
が成り立つので， $incl : O ⇄ P (X) : {Int}_{O}$ はGalois随伴である．よってこれらの合成 ${Cl}_{O} : O ⇄ C : {Int}_{O}$ もGalois随伴である：
${Cl}_{O} (U) \subset C ⟺ U \subset {Int}_{O} (C) .$
閉包作用素 ${Int}_{O} \circ {Cl}_{O} : O \to O$ に関するGalois閉集合を正則開集合といい，開核作用素 ${Cl}_{O} \circ {Int}_{O} : C \to C$ に関するGalois開集合を正則閉集合という．

誘導位相

$X, Y$ を集合とし $f : X \to Y$ を写像とする．また，
$Open (Y) := {O_{Y} \subset P (Y) ∣ topology on Y}, Open (X) := {O_{X} \subset P (X) ∣ topology on X}$
とおく．このとき写像 $λ : Open (Y) ⇄ Open (X) : ρ$ をそれぞれ
$λ (O_{Y}) := {f^{\leftarrow} (V) \in P (X) ∣ V \in O_{Y}}$
および
$ρ (O_{X}) := {V \in P (Y) ∣ f^{\leftarrow} (V) \in O_{X}}$
で定めると，
$λ (O_{Y}) \subset O_{X} ⟺ \forall V \in O_{Y}, f^{\leftarrow} (V) \in O_{X} ⟺ O_{Y} \subset ρ (O_{X})$
が成り立つので， $(λ, ρ)$ はGalois随伴である．ところで
$f : (X, O_{X}) \to (Y, O_{Y}) : continuous \overset{def}{⟺} λ (O_{Y}) \subset O_{X}$
であったから，次のことがわかる：

$(Y, O (Y))$ を位相空間としたとき， $f : (X, O_{X}) \to (Y, O (Y))$ が連続となる，すなわち
$λ (O (Y)) \subset O_{X}$
が成り立つような $X$ の位相のうち最小のものが $λ (O (Y))$ である．
$(X, O (X))$ を位相空間としたとき， $f : (X, O (X)) \to (Y, O_{Y})$ が連続となる，すなわち
$O_{Y} \subset ρ (O (X))$
が成り立つような $Y$ の位相のうち最大のものが $ρ (O (X))$ である．

開集合系と近傍系族（primer Ex. 8）

$X$ を集合とする．

基底

$B \subset P (X)$ を $X$ の被覆とする．任意の $B, B^{'} \in B$ と任意の $x \in B \cap B^{'}$ とに対して， $B^{″} \in B$ であって
$x \in B^{″} \subset B \cap B^{'}$
を満たすものが存在するとき， $B$ を $X$ 上の基底という． $X$ 上の基底全体のなす集合を $Base (X)$ で表わす．

フィルター

$F \subset P (X)$ について，

$\emptyset \notin F$ ;
$X \in F$ ;
$F, F^{'} \in F ⟹ F \cap F^{'} \in F$ ;
$F \in F, F \subset G ⟹ G \in F$ ;

が成り立つとき， $F$ を $X$ 上のフィルターという． $X$ 上のフィルター全体のなす集合を $Fil (X)$ で表わす．

写像集合 $Fil (X)^{X}$ に
$u \leq v : ⟺ \forall x \in X, u (x) \subset v (x)$
により順序を定める．

写像 $λ : Base (X) \to Fil (X)^{X}$ の定義

$B \in Base (X)$ とする．各 $x \in X$ に対して
$F_{x} := {F \subset X ∣ \exists B \in B, x \in B \subset F}$
とおくと，これは $X$ 上のフィルターである．実際，

任意の $F \in F_{x}$ に対して $x \in {}^{\exists}B_{\in B} \subset F$ より $F \neq \emptyset$ が成り立つ．
$B$ は $X$ の被覆なので， $x \in B \subset X$ なる $B \in B$ が存在する．よって $X \in F_{x}$ を得る．
$F, F^{'} \in F_{x}$ とする．このとき， $B, B^{'} \in B$ であって
$x \in B \subset F, x \in B^{'} \subset F^{'}$
を満たすものが存在する．したがって $B^{″} \in B$ であって
$x \in B^{″} \subset B \cap B^{'} \subset F \cap F^{'}$
を満たすものが存在するので， $F \cap F^{'} \in F_{x}$ が成り立つ．
$F \in F_{x}, F \subset G ⟹ G \in F_{x}$ も明らか．

そこで写像 $λ : Base (X) \to Fil (X)^{X}$ を
$λ (B) := (F_{x})_{x \in X}$
で定める．とくに任意の $F \in F_{x}$ に対して $x \in F$ が成り立つことに注意する．

写像 $Base (X) \leftarrow Fil (X)^{X} : ρ$ の定義

$u \in Fil (X)^{X}$ とする．このとき
$B_{u} := {B \subset X ∣ \forall x \in B, B \in u (x)}$
とおくと，これは $X$ 上の基底である．実際，

任意の $x \in X$ に対して $X \in u (x)$ が成り立つので， $X \in B_{u}$ を得る．とくに $B_{u}$ は $X$ の被覆である．
$B, B^{'} \in B_{u}, x \in B \cap B^{'}$ とする． $B^{″} := B \cap B^{'}$ とおく．このとき任意の $y \in B^{″}$ に対して， $B, B^{'} \in u (y)$ より $B^{″} = B \cap B^{'} \in u (y)$ を得るので，
$B^{″} \in B_{u}, x \in B^{″} \subset B \cap B^{'}$
が成り立つ．

そこで写像 $ρ : Fil (X)^{X} \to Base (X)$ を
$ρ (u) := B_{u}$
で定める．

$λ : Base (X) ⇄ Fil (X)^{X} : ρ$ がGalois随伴であること

$λ (B) \leq u$ とする．このとき任意の $B \in B$ に対して，
$\forall x \in B, B \in λ (B) (x) \subset u (x)$
が成り立つので， $B \in ρ (u)$ を得る．よって $B \subset ρ (u)$ が成り立つ．
$B \subset ρ (u)$ とする． $x \in X$ とする．このとき任意の $F \in λ (B) (x)$ に対して， $x \in B \subset F$ なる $B \in B \subset ρ (u)$ を取ると
$B \in u (x), B \subset F$
より $F \in u (x)$ を得る．よって $λ (B) \leq u$ が成り立つ．

Galois閉集合は何か

$B \in Base (X)$ とする．このとき $ρ (λ (B))$ は開集合系の公理を満たす：

$X \in ρ (λ (B))$ は既に見た．また $\emptyset \in ρ (λ (B))$ も明らか．
$U, V \in ρ (λ (B))$ とする．このとき任意の $x \in U \cap V$ に対して $U, V \in λ (B) (x)$ より $U \cap V \in λ (B) (x)$ が成り立つので， $U \cap V \in ρ (λ (B))$ を得る．
$U \subset ρ (λ (B))$ とする．このとき，任意の $x \in ⋃ U$ に対して， $x \in U$ なる $U \in U$ を取ると
$U \in λ (B) (x), U \subset ⋃ U$
より $⋃ U \in λ (B) (x)$ が成り立つので， $⋃ U \in ρ (λ (B))$ を得る．

そこで $ρ (λ (B))$ を基底 $B$ によって生成される位相という．これは $B$ を含む最小の位相である：

$ρ \circ λ$ は閉包作用素なので $B \subset ρ (λ (B))$ が成り立つ．
$O \in Open (X) \subset Base (X)$ とする．このとき任意の $U \in ρ (λ (O))$ に対して，
$\forall x \in U, U \in λ (O) (x)$
すなわち
$\forall x \in U, \exists V \in O, x \in V \subset U$
が成り立つので， $U \in O$ を得る．したがって $O = ρ (λ (O))$ が成り立つ．よって
$B \subset O \in Open (X) ⟹ ρ (λ (B)) \subset O$
が成り立つ．

以上より， $Base (X)^{ρ \circ λ} = Open (X)$ および
$ρ (λ (B)) = ⋂ {O \in Open (X) ∣ B \subset O}$
が成り立つことがわかった．

また， $(X, O)$ を位相空間とすると， $B \subset O$ なる基底 $B \in Base (X)$ に対して
$\begin{aligned} O = ρ (λ (B)) & ⟺ O \subset ρ (λ (B)) \\ ⟺ \forall U \in O, U \in ρ (λ (B)) \\ ⟺ \forall U \in O, \forall x \in U, U \in λ (B) (x) \\ ⟺ \forall U \in O, \forall x \in U, \exists B \in B, x \in B \subset U \end{aligned}$
が成り立つ．この最下段の条件を満たす $B \subset O$ を $(X, O)$ の開基という．ところで開基は基底である．実際，

任意の $x \in X \in O$ に対して $x \in {}^{\exists}B_{\in B} \subset X$ より $B$ は $X$ の被覆である．
$B, B^{'} \in B, x \in B \cap B^{'}$ とすると， $B \cap B^{'} \in O$ より， $B^{″} \in B$ であって $x \in B^{″} \subset B \cap B^{'}$ を満たすものが存在する．

したがって位相空間 $(X, O)$ の開基 $B \subset O$ に対しては常に $O = ρ (λ (B))$ が成り立つ．

任意の $S \subset P (X)$ に対して
$\bar{S} := {⋂_{i \in I} S_{i} | I : finite, S_{i} \in S}$
は $S$ を含む $X$ 上の基底である．そこで $ρ (λ (\bar{S}))$ を $S$ によって生成される位相という．
位相空間 $(X, O)$ に対して， $S \subset O$ であって $\bar{S}$ が開基となるようなものを $(X, O)$ の準開基という．とくに開基は準開基である．

Galois開集合は何か

$u \in Fil (X)^{X}$ とする．このとき $λ (ρ (u))$ は近傍系族の公理を満たす．実際， $x \in X$ に対して $N (x) := λ (ρ (u)) (x)$ とおくと， $X \in N (x) \neq \emptyset$ であり，

$\forall N \in N (x), x \in N$ は既に見た．
$N (x) \in Fil (X)$ より
$N, N^{'} \in N (x) ⟹ N \cap N^{'} \in N (x)$
が成り立つ．
$N (x) \in Fil (X)$ より
$N \in N (x), N \subset M ⟹ M \in N (x)$
が成り立つ．
$N \in N (x)$ とする．このとき $B \in ρ (u)$ であって $x \in B \subset N$ を満たすものが存在する．したがって任意の $b \in B$ に対して，
$B \in ρ (u), b \in B \subset N$
より， $N \in N (b)$ が成り立つ．また明らかに $B \in N (x)$ が成り立つ．

よって $λ (ρ (Fil (X)^{X})) \subset Nbd (X)$ が成り立つが，実は逆の包含も成り立つ．実際， $N \in Nbd (X)$ とすると，

明らかに $N \in Fil (X)^{X}$ であり，したがって $λ (ρ (N)) \leq N$ が成り立つ．
$x \in X$ とする． $N \in N (x)$ とし，
$B := {b \in X ∣ N \in N (b)}$
とおく． $N \in N (x)$ より $x \in B$ を得る．また，任意の $b \in B$ に対して， $N \in N (b)$ より $b \in N$ が成り立つので， $B \subset N$ を得る．あとは $B \in ρ (N)$ が示せれば，
$B \in ρ (N), x \in B \subset N$
より $N \in λ (ρ (N)) (x)$ となるので，
$N (x) \subset λ (ρ (N)) (x)$
が成り立つ．そこで $b \in B$ とする．このとき $B \in N (b)$ が成り立つことを示せばよい．ところで，いま $N \in N (b)$ より $N^{'} \in N (b)$ であって
$\forall y \in N^{'}, N \in N (y)$
を満たすものが存在するので
$N^{'} \in N (b), N^{'} \subset B$
より $B \in N (b)$ が成り立つ．

したがって，Galois開集合とは $X$ の近傍系族に他ならないことがわかった．

開集合系と近傍系族のGalois対応

以上より全単射
$λ_{ρ} : Open (X) ⇄ Nbd (X) : ρ_{λ}$
を得る：
$\begin{aligned} λ_{ρ} (O) (x) & = {N \subset X ∣ \exists U \in O, x \in U \subset N}, \\ ρ_{λ} (N) & = {U \subset X ∣ \forall x \in U, U \in N (x)} . \end{aligned}$

ついでに基本近傍系について

$(X, O)$ を位相空間とする．各 $x \in X$ に対して $λ (O) (x)$ を $x \in X$ の近傍フィルターといい，その元を $x \in X$ の近傍という．また， $N_{0} \in P (P (X))^{X}$ であって

$\forall x \in X, N_{0} (x) \subset λ (O) (x)$ ;
$\forall x \in X, \forall N \in λ (O) (x), \exists N_{0} \in N_{0} (x), N_{0} \subset N$ ;

を満たすものを $(X, O)$ の基本近傍系族という．たとえば $λ (O)$ や
$x \mapsto {U \in O ∣ x \in U}$
は $(X, O)$ の基本近傍系族である．（したがって基本近傍系族は位相に対して（一般に）一意ではない．）

$X$ を集合とし， $N_{0} \in P (P (X))^{X}$ とする．各 $x \in X$ に対して
$\overset{―}{N_{0}} (x) := {N \subset X ∣ \exists N_{0} \in N_{0} (x), N_{0} \subset N}$
とおくことによって $\overset{―}{N_{0}} \in P (P (X))^{X}$ を定める． $\overset{―}{N_{0}} \in Nbd (X)$ となるとき， $N_{0}$ を $X$ 上の近傍基族ということにし，近傍基族全体のなす集合を ${Nbd}_{0} (X)$ で表わす．明らかに， $N \in Nbd (X)$ ならば $\overset{―}{N} = N$ であるから， $Nbd (X) \subset {Nbd}_{0} (X)$ が成り立つ．

位相空間 $(X, O)$ の基本近傍系族 $N_{0}$ に対して $\overset{―}{N_{0}} = λ (O) \in Nbd (X)$ が成り立つことがわかるので，基本近傍系族は近傍基族である．
逆に，近傍基族 $N_{0}$ から
$ρ (\overset{―}{N_{0}}) = {U \subset X ∣ \forall x \in U, \exists N_{0} \in N_{0} (x), N_{0} \subset U}$
により位相が定まり， $N_{0}$ は位相空間 $(X, ρ (\overset{―}{N_{0}}))$ の基本近傍系族である．

ところで近傍基族は以下の4条件で特徴づけられる：

$\forall x \in X, N_{0} (x) \neq \emptyset$ ;
$\forall x \in X, \forall N_{0} \in N_{0} (x), x \in N_{0}$ ;
$\forall x \in X, \forall N_{0}, N_{0}^{'} \in N_{0} (x), \exists N_{0}^{″} \in N_{0} (x), N_{0}^{″} \subset N_{0} \cap N_{0}^{'}$ ;
$\forall x \in X, \forall N_{0} \in N_{0} (x), \exists N_{0}^{'} \in N_{0} (x), \forall y \in N_{0}^{'}, \exists N_{0}^{″} \in N_{0} (y), N_{0}^{″} \subset N_{0}$ .

実際，

$N_{0} \in {Nbd}_{0} (X)$ とし， $x \in X$ とする．
1. $X \in \overset{―}{N_{0}} (x)$ に対して $N_{0} \subset X$ なる $N_{0} \in N_{0} (x)$ が存在する．
2. $N_{0} (x) \subset \overset{―}{N_{0}} (x) \in Nbd (X)$ より，任意の $N_{0} \in N_{0} (x)$ に対して $x \in N_{0}$ が成り立つ．
3. $N_{0}, N_{0}^{'} \in N_{0} (x)$ とする．このとき $N_{0} \cap N_{0}^{'} \in \overset{―}{N_{0}} (x)$ より $N_{0}^{″} \in N_{0} (x)$ であって $N_{0}^{″} \subset N_{0} \cap N_{0}^{'}$ を満たすものが存在する．
4. $N_{0} \in N_{0} (x)$ とする．このとき $N_{0} \in \overset{―}{N_{0}} (x)$ に対して， $N \in \overset{―}{N_{0}} (x)$ であって
  $\forall y \in N, N_{0} \in \overset{―}{N_{0}} (y)$
  を満たすものが存在する．そこで $N_{0}^{'} \in N_{0} (x)$ であって $N_{0}^{'} \subset N$ を満たすものを取ると，任意の $y \in N_{0}^{'}$ に対して， $N_{0} \in \overset{―}{N_{0}} (y)$ より， $N_{0}^{″} \in N_{0} (y)$ であって $N_{0}^{″} \subset N_{0}$ を満たすものが存在する．
逆に $N_{0}$ が上の条件1.から4.を満たすとする． $x \in X$ とする． $N_{0} (x) \neq \emptyset$ より $X \in \overset{―}{N_{0}} (x)$ が成り立つ．
1. 任意の $N \in \overset{―}{N_{0}} (x)$ に対して， $x \in {}^{\exists}{N_{0}}_{\in N_{0} (x)} \subset N$ が成り立つ．
2. $N, N^{'} \in \overset{―}{N_{0}} (x)$ とすると， $N_{0}, N_{0}^{'} \in N_{0} (x)$ であって $N_{0} \subset N, N_{0}^{'} \subset N^{'}$ を満たすものが存在する．よって $N_{0}^{″} \in N_{0} (x)$ であって
  $N_{0}^{″} \subset N_{0} \cap N_{0}^{'} \subset N \cap N^{'}$
  を満たすものが存在するので， $N \cap N^{'} \in \overset{―}{N_{0}} (x)$ を得る．
3. $N \in \overset{―}{N_{0}} (x), N \subset M ⟹ M \in \overset{―}{N_{0}} (x)$ は明らか．
4. $N \in \overset{―}{N_{0}} (x)$ とし， $N_{0} \subset N$ なる $N_{0} \in N_{0} (x)$ を取る．このとき $N_{0}^{'} \in N_{0} (x)$ であって
  $\forall y \in N_{0}^{'}, \exists N_{0}^{″} \in N_{0} (y), N_{0}^{″} \subset N_{0}$
  を満たすものが存在する．そこで $N^{'} := N_{0}^{'} \in \overset{―}{N_{0}} (x)$ とおくと，任意の $y \in N^{'}$ に対して， $N_{0} \in \overset{―}{N_{0}} (y)$ が成り立つので， $N_{0} \subset N$ と合わせて $N \in \overset{―}{N_{0}} (y)$ を得る．

（先に）開近傍だけ考える場合

局所開基族

$(X, O)$ を位相空間とする． $L \in P (P (X))^{X}$ について，

$\forall x \in X, \emptyset \neq L (x) \subset O$ ;
$\forall x \in X, x \in ⋂ L (x)$ ;
$\forall x \in X, \forall U \in O, x \in U ⟹ \exists V \in L (x), V \subset U$ ;

が成り立つとき， $L$ を $(X, O)$ の局所開基族といい， $L (x)$ を $x \in X$ における局所開基という（ことにする）．局所開基族は $(X, O)$ の基本近傍系族である．逆に， $(X, O)$ の基本近傍系族 $N_{0}$ に対して
$x \mapsto {{Int}_{O} (N_{0}) \in O ∣ N_{0} \in N_{0} (x)}$
は局所開基族である．また， $L$ を $(X, O)$ の局所開基族とすると，条件(3)より，
$⋃_{x \in X} L (x) \subset O$
は $(X, O)$ の開基である．

局所基底族

$X$ を集合とする． $L \in P (P (X))^{X}$ について，

$\forall x \in X, L (x) \neq \emptyset$ ;
$\forall x \in X, x \in ⋂ L (x)$ ;
$\forall x \in X, \forall U, V \in L (x), \exists W \in L (x), W \subset U \cap V$ ;
$\forall x \in X, \forall U \in L (x), \forall y \in U, \exists V \in L (y), V \subset U$ ;

が成り立つとき， $L$ を $X$ 上の局所基底族という（ことにする）．局所基底族は $X$ 上の近傍基族である（条件4.の $N_{0}^{'}$ として $N_{0}$ が取れる）．

局所開基族は局所基底族

$L$ を $(X, O)$ の局所開基族とすると，これは $X$ 上の局所基底族である．実際，

明らか．
明らか．
$U, V \in L (x)$ とすると， $x \in U \cap V \in O$ ゆえ $W \in L (x)$ であって $W \subset U \cap V$ なるものが存在する．
$y \in U \in L (x)$ とすると， $y \in U \in O$ より $V \in L (y)$ であって $V \subset U$ を満たすものが存在する．

局所基底族は（ある位相に関する）局所開基族

$L$ を $X$ 上の局所基底族とする．このとき
$B := ⋃_{x \in X} L (x) \subset P (X)$
は $X$ 上の基底である．実際，

任意の $x \in X$ に対して， $B \in L (x) \neq \emptyset$ を取れば $x \in B \in B$ が成り立つので， $B$ は $X$ の被覆である．
$B, B^{'} \in B$ とし， $x \in B \cap B^{'}$ とする．このとき， $y, z \in X$ であって $B \in L (y), B^{'} \in L (z)$ なるものが存在するので，このそれぞれに対して $U, V \in L (x)$ であって $U \subset B, V \subset B^{'}$ を満たすものが存在する．さらに $W \in L (x) \subset B$ であって $W \subset U \cap V$ なるものが取れるので，
$x \in W \subset U \cap V \subset B \cap B^{'}$
が成り立つ．

任意の $x \in X$ に対して，明らかに $λ (B) (x) \supset \overset{―}{L} (x)$ が成り立つが，局所基底族の条件(4)より $λ (B) (x) \subset \overset{―}{L} (x)$ が成り立つこともわかる．よって $λ (B) = \overset{―}{L} \in Nbd (X)$ であるから， $ρ (λ (B)) = ρ (\overset{―}{L}) =: O \in Open (X)$ が成り立つ．さらに， $L$ は位相空間 $(X, O)$ の局所開基族である．実際，

$\emptyset \neq L (x) \subset B \subset O$ .
明らか．
$x \in U \in O = ρ (\overset{―}{L})$ とすると， $V \in L (x)$ であって $V \subset U$ を満たすものが存在する．

たとえば森田紀一『位相空間論』では，局所基底（族）のことを“近傍系”，局所開基（族）のことを“近傍基”と言っている（ことに気づくまでしばらく混乱していた）．

$(X, O) (X, O) X X 開基局所開基族 ⋃_{x \in X} 局所基底族 ⋃_{x \in X} 基底 λ ρ \circ λ 開集合系 λ_{ρ} 基本近傍系族 {Int}_{O} 近傍基族近傍系族 ρ_{λ}$

追記（2024/10/15）cf. 藤田博司『位相空間のはなし』

$u \in Fil (X)^{X}$ とする． $A \subset X$ に対して
${Int}_{u} (A) := {x \in X ∣ A \in u (x)}$
とおく．また，
$\forall x \in X, \forall N \in u (x), x \in N$
が成り立つとき， $u$ を $X$ 上の準近傍フィルター族ということにする．このとき次は同値である：

$u$ は近傍系族である；
$u$ は準近傍フィルター族であり，任意の $x \in X, N \in u (x)$ に対して ${Int}_{u} (N) \in u (x)$ が成り立つ．

(i) $⟹$ (ii)

後半のみ示せばよい．そこで $x \in X, N \in u (x)$ とすると， $N^{'} \in u (x)$ であって
$\forall y \in N^{'}, N \in u (y)$
を満たすものが存在する．したがって
$N^{'} \subset {Int}_{u} (N), N^{'} \in u (x) \in Fil (X)$
より ${Int}_{u} (N) \in u (x)$ を得る．

(ii) $⟹$ (i)

近傍系族の条件(4)が成り立つことを示せばよい．そこで $x \in X, N \in u (x)$ とし， $N^{'} := {Int}_{u} (N) \in u (x)$ とおくと，
$\forall y \in N^{'}, N \in u (y)$
が成り立つ．

系

$N \in Fil (X)^{X}$ を近傍系族とする．このとき，
$N \in N (x) ⟺ {Int}_{N} (N) \in N (x)$
が成り立つ．実際，上で示したことより $⟹$ が成り立ち，逆に ${Int}_{N} (N) \in N (x)$ とすると， $x \in {Int}_{N} (N)$ より $N \in N (x)$ が成り立つ．

また，
$x \in {Int}_{N} (N) ⟹ N \in N (x) ⟹ x \in N$
より ${Int}_{N} (N) \subset N$ が成り立つことに注意すると，
$\begin{aligned} U \in ρ_{λ} (N) & ⟺ \forall x \in U, U \in N (x) \\ ⟺ U \subset {Int}_{N} (U) \\ ⟺ U = {Int}_{N} (U) \end{aligned}$
がわかる．

附：Alexandrov位相

$X$ を集合とする． $X$ 上の2項関係 $⪯\subset X \times X$ が

$x ⪯ x$ ;
$x ⪯ y, y ⪯ z ⟹ x ⪯ z$ ;

を満たすとき， $⪯$ を $X$ 上の擬順序（quasi-order）という．

$X$ を集合とする．開集合系 $O \in Open (X)$ について，
$U \subset O ⟹ ⋂ U \in O$
が成り立つとき， $O$ をAlexandrov位相という． $X$ 上のAlexandrov位相全体のなす集合を $Alex (X)$ で表わす．また， $O \in Open (X)$ について
${Cl}_{O} ({x}) = {Cl}_{O} ({y}) ⟹ x = y$
が成り立つとき， $O$ を $T_{0}$ 位相という．

$X$ を集合とする．2項関係
${(A, (x, y)) \in P (X) \times (X \times X) ∣ x \in A ⟹ y \in A}$
から定まるGalois接続 $γ : P (P (X)) ⇄ P (X \times X) : δ$ について考える：
$\begin{aligned} γ (p) & = {(x, y) \in X \times X ∣ \forall A \in p, x \in A ⟹ y \in A}, \\ δ (q) & = {A \subset X ∣ \forall (x, y) \in q, x \in A ⟹ y \in A} . \end{aligned}$

$δ \circ γ (P (P (X))) \subset Alex (X)$ が成り立つ．

$p \subset P (X)$ とする．

$\emptyset, X \in δ (γ (p))$ は明らか．
$U \subset δ (γ (p))$ とし， $(x, y) \in γ (p)$ とする．このとき，任意の $U \in U$ に対して
$x \in U ⟹ y \in U$
が成り立つ．
- $x \in ⋂ U$ とする．任意の $U \in U$ に対して， $x \in U$ より $y \in U$ を得るので， $y \in ⋂ U$ が成り立つ．よって $⋂ U \in δ (γ (p))$ となる．
- $x \in ⋃ U$ とする．このとき $U \in U$ であって $x \in U$ なるものが存在するので， $y \in U \subset ⋃ U$ が成り立つ．よって $⋃ U \in δ (γ (p))$ を得る．

$Alex (X) \subset P (P (X))^{δ \circ γ}$ が成り立つ．

$O \in Alex (X)$ とする．

$O \subset δ (γ (O))$ は明らか．
$U \in δ (γ (O))$ とし， $x \in U$ とする．
$X \in O_{x} := {V \in O ∣ x \in V} \neq \emptyset$
より， $x \in ⋂ O_{x} \in O$ が成り立つので，あとは $⋂ O_{x} \subset U$ を示せばよい．そこで $y \in ⋂ O_{x}$ とすると，
$\forall V \in O, x \in V ⟹ y \in V$
より $(x, y) \in γ (O)$ が成り立つので， $x \in U \in δ (γ (O))$ と合わせて $y \in U$ を得る．

$γ (δ (P (X \times X))) \subset qOrd (X) := {quasi-orders on X}$ が成り立つ．

$q \in P (X \times X)$ とする．

$(x, x) \in γ (δ (q))$ は明らか．
$(x, y), (y, z) \in γ (δ (q))$ とする．このとき，任意の $A \in δ (q)$ に対して，
$(x \in A ⟹ y \in A) \land (y \in A ⟹ z \in A)$
より
$x \in A ⟹ z \in A$
が成り立つので， $(x, z) \in γ (δ (q))$ を得る．

$qOrd (X) \subset P (X \times X)^{γ \circ δ}$ が成り立つ．

$⪯\in qOrd (X)$ とする．

$⪯\subset γ (δ (⪯))$ は明らか．
$(x, y) \in γ (δ (⪯))$ とする．このとき
$x ↑:= {z \in X ∣ x ⪯ z} \in δ (⪯)$
が示せれば， $x \in x ↑$ と合わせて $y \in x ↑$ ，すなわち $x ⪯ y$ を得る．そこで $z ⪯ w, z \in x ↑$ とすると
$x ⪯ z ⪯ w$
より $w \in x ↑$ が成り立つので， $x ↑\in δ (⪯)$ を得る．

以上をまとめて：

（primer, Ex. 9）

Galois接続 $γ : P (P (X)) ⇄ P (X \times X) : δ$ はGalois対応 $γ_{δ} : Alex (X) ⇄ qOrd (X) : δ_{γ}$ を誘導する：
$\begin{aligned} γ_{δ} (O) & = {(x, y) \in X \times X ∣ \forall U \in O, x \in U ⟹ y \in U}, \\ δ_{γ} (⪯) & = {U \subset X ∣ \forall x, y \in X, x ⪯ y, x \in U ⟹ y \in U} . \end{aligned}$

Galois対応 $(γ_{δ}, δ_{γ})$ によって $O \in Alex (X)$ と $⪯\in qOrd (X)$ とが対応しているとする．このとき次は同値である：

$O$ は $T_{0}$ 位相である；
$⪯$ は半順序である．

$\begin{aligned} x ⪯ y & ⟺ \forall U \in O, x \notin U \lor y \in U \\ ⟺ \forall U \in O_{x}, {y} \cap U \neq \emptyset \\ ⟺ x \in {Cl}_{O} ({y}) \\ ⟺ {Cl}_{O} ({x}) \subset {Cl}_{O} ({y}) \end{aligned}$
より結論を得る．

$O \in Open (X)$ に対して $⪯:= γ (O) \in γ (P (P (X))) = qOrd (X)$ とおく：
$x ⪯ y ⟺ {Cl}_{O} ({x}) \subset {Cl}_{O} ({y}) .$
このとき， $O \subset δ (γ (O)) = δ (⪯) \in Alex (X)$ が成り立つ．したがって同じ擬順序に対応する位相の中でいちばん大きいものがAlexandrov位相である．
$T_{1}$ Alexandrov位相は離散位相である．実際，任意の $x \in X$ に対して
${x} = ⋂_{y \neq x} X ∖ {y} = ⋂_{y \neq x} X ∖ {Cl}_{O} ({y}) \in O$
が成り立つ．
$O \in Alex (X)$ に対して，
$x \mapsto {⋂ O_{x}}$
は位相空間 $(X, O)$ の局所開基である．

附：Lambek–Moserの定理

Galois接続について調べていたら面白い応用例を見つけたので最後にそれを紹介します（ Some Galois Connections in Elementary Number Theory ）．

$N := Z_{\geq 0}$ とおく．無限部分集合 $L, R \subset N$ が

$0 \in L, N = L \cup R, L \cap R = \emptyset$
を満たすとき，組 $(L, R)$ を $N$ の分割という．

Lambek–Moser

Galois随伴 $λ : (N, \leq) ⇄ (N, \leq) : ρ$ と $N$ の分割 $(L, R)$ とは一対一に対応する：
$L = {λ (n) + n ∣ n \in N}, R = {ρ (m) + m + 1 ∣ m \in N} .$

（bakerを参考にした）

Galois随伴から分割への対応

$λ : N ⇄ N : ρ$ をGalois随伴とし，
$L := {λ (n) + n ∣ n \in N}, R := {ρ (m) + m + 1 ∣ m \in N}$
とおく．

$n < n^{'}$ のとき
$λ (n) + n \leq λ (n^{'}) + n < λ (n^{'}) + n^{'}$
となるので， $n \mapsto λ (n) + n$ は順序埋め込みである．同様に $m \mapsto ρ (m) + m + 1$ も順序埋め込みである．とくに $L, R \subset N$ は無限集合である．
$0 \leq ρ (0)$ より $(0 \leq) λ (0) \leq 0$ を得るので， $0 = λ (0) + 0 \in L$ が成り立つ．
Galois随伴の定義より
$λ (n) \leq m ⟺ n \leq ρ (m),$
したがって
$\begin{aligned} λ (n) + n \leq m + n & ⟺ n + m \leq ρ (m) + m \\ ⟺ n + m < ρ (m) + m + 1 \end{aligned}$
が成り立つ．よって $L \cap R = \emptyset$ が成り立つ．
$N \in N$ とする．このとき，任意の $n \in [N] := {0, \dots, N}$ に対して
$λ (n) + n \in [N] ⟺ ρ (N - n) + (N - n) + 1 \notin [N]$
が成り立つので，写像 $ν : [N] \to [N]$ を
$ν (n) := {\begin{cases} λ (n) + n & , λ (n) + n \in [N] \\ ρ (N - n) + (N - n) + 1 & , λ (n) + n \notin [N] \end{cases}$
で定めることができる．これは有限集合の間の単射なので全射でもある．よって $N = ν ({}^{\exists}n) \in L \cup R$ が成り立つ．

分割からGalois随伴への対応

$(L, R)$ を $N$ の分割とする． $L$ の元の数え上げ $(λ_{n})_{n \in N}$ を
$\begin{aligned} λ_{0} & := min L (= 0), \\ λ_{n + 1} & := min (L ∖ {λ_{0}, \dots, λ_{n}}), n \in N \end{aligned}$
で定める（ $L$ は無限集合であることに注意する）．同様にして $(ρ_{m})_{m \in N}$ を定める．そこで写像 $λ : N ⇄ N : ρ$ を
$\begin{aligned} λ (n) & := λ_{n} - n, \\ ρ (m) & := ρ_{m} - m - 1 \end{aligned}$
で定める（ことができる）．あとは
$λ_{n} \leq n + m ⟺ n + m < ρ_{m}$
が成り立つことを示せばよい．

$λ_{n}, ρ_{m} \leq n + m$ とすると， $λ_{0}, \dots, λ_{n}, ρ_{0}, \dots, ρ_{m}$ が $[n + m]$ に属する $n + m + 2$ 個の相異なる元であることになり不合理である．
$λ_{n}, ρ_{m} > n + m$ とすると，
$# (L \cap [n + m]) + # (R \cap [n + m]) \leq n + m < n + m + 1 = # [n + m]$
となり，
$(L \cap [n + m]) ⊔ (R \cap [n + m]) = [n + m]$
であることに反する．

互いに逆対応であること

それぞれの構成から明らかであろう．

偶数と奇数による分割

Galois随伴 $({id}_{N}, {id}_{N})$ に対応する分割が
${2 n ∣ n \in N}, {2 m + 1 ∣ m \in N}$
である．

平方数と非平方数による分割

$L := {n^{2} ∣ n \in N}, R := N ∖ L$ とおくと $(L, R)$ は $N$ の分割であるから，対応するGalois随伴 $(λ, ρ)$ が存在する．明らかに
$λ (n) = n^{2} - n$
であり，
$\begin{aligned} n^{2} - n \leq m = ⌊ m + \frac{3}{4} ⌋ & ⟺ n^{2} - n \leq m + \frac{3}{4} \\ ⟺ {(n - \frac{1}{2})}^{2} \leq m + 1 \\ ⟺ n - \frac{1}{2} \leq \sqrt{m + 1} \\ ⟺ n \leq ⌊ \frac{1}{2} + \sqrt{m + 1} ⌋ \end{aligned}$
より，その右随伴 $ρ$ は
$ρ (m) = ⌊ \frac{1}{2} + \sqrt{m + 1} ⌋$
で与えられる．よって非平方数全体 $R$ は
$R = {ρ (m) + m + 1 ∣ m \in N} = {⌊ \frac{1}{2} + \sqrt{m} ⌋ + m | m \in N_{> 0}}$
で与えられる．

実数 $r > 0$ を固定する．このとき任意の $n, m \in N$ に対して
$⌈ r n ⌉ \leq m ⟺ r n \leq m ⟺ n \leq r^{- 1} m ⟺ n \leq ⌊ r^{- 1} m ⌋$
が成り立つので，部分集合
${⌈ r n ⌉ + n ∣ n \in N} = {⌈ (r + 1) n ⌉ ∣ n \in N}$
と
${⌊ r^{- 1} m ⌋ + m + 1 ∣ m \in N} = {⌊ (r^{- 1} + 1) m ⌋ + 1 ∣ m \in N}$
とは $N$ の分割を与える．分割に現れる数列の“係数”の逆数和について
$\frac{1}{r + 1} + \frac{1}{r^{- 1} + 1} = 1$
が成り立つことに注意する．

逆に，正実数 $r, s > 0$ が
$\frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1$
を満たすとする．このとき
$r, s > 1, (r - 1) (s - 1) = 1$
に注意すると，
$\begin{aligned} ⌈ r n ⌉ - n \leq m & ⟺ ⌈ r n ⌉ \leq n + m \\ ⟺ r n \leq n + m \\ ⟺ (r - 1) n \leq m \\ ⟺ n \leq (s - 1) m = (s m + 1) - m - 1 \\ ⟺ n \leq (⌊ s m ⌋ + 1) - m - 1 \end{aligned}$
が成り立つことがわかる．よって，部分集合 ${⌈ r n ⌉ ∣ n \in N}$ と ${⌊ s m ⌋ + 1 ∣ m \in N}$ とは $N$ の分割を与える．

Rayleigh–Beattyの定理

無理数 $r > 0$ を固定する．このとき任意の $n, m \in N$ に対して $\begin{aligned} ⌊ r n ⌋ \leq m & ⟺ r n - 1 < m \\ ⟺ r n \leq m + 1 \\ ⟺ n \leq r^{- 1} (m + 1) \\ ⟺ n \leq ⌊ r^{- 1} (m + 1) ⌋ \end{aligned}$
が成り立つ（2つ目の $⟸$ において $r \notin Q$ が効いてくる）．よって，部分集合
${⌊ r n ⌋ + n ∣ n \in N} = {⌊ (r + 1) n ⌋ ∣ n \in N}$
と
$\begin{aligned} {⌊ r^{- 1} (m + 1) ⌋ + m + 1 ∣ m \in N} & = {⌊ (r^{- 1} + 1) (m + 1) ⌋ ∣ m \in N} \\ = {⌊ (r^{- 1} + 1) m ⌋ ∣ m \in N_{> 0}} \end{aligned}$
とは $N$ の分割を与える．やはり
$\frac{1}{r + 1} + \frac{1}{r^{- 1} + 1} = 1$
が成り立つ．

逆に，無理数 $r, s > 0$ が
$\frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1$
を満たすとする．このとき
$r, s > 1, (r - 1) (s - 1) = 1$
に注意すると，
$\begin{aligned} ⌊ r n ⌋ - n \leq m & ⟺ (r n - 1) - n < m \\ ⟺ (r - 1) n \leq m + 1 \\ ⟺ n \leq (s - 1) (m + 1) = s (m + 1) - m - 1 \\ ⟺ n \leq ⌊ s (m + 1) ⌋ - m - 1 \end{aligned}$
が成り立つことがわかる．よって，部分集合 ${⌊ r n ⌋ ∣ n \in N}$ と
${⌊ s (m + 1) ⌋ ∣ m \in N} = {⌊ s m ⌋ ∣ m \in N_{> 0}}$
とは $N$ の分割を与える．数列 $(⌊ r n ⌋)_{n > 0}, (⌊ s m ⌋)_{m > 0}$ を（相補的な）Beatty数列という．

差が

N

の倍数となるような相補的Beatty数列

$N \in N_{> 0}$ とする．
$\frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1, r - s = N$
を $r > s > 0$ のもとで解くと
$(r, s) = (1 + \frac{\sqrt{N^{2} + 4} + N}{2}, 1 + \frac{\sqrt{N^{2} + 4} - N}{2}) =: (r_{N}, s_{N})$
を得る． $\sqrt{N^{2} + 4} \notin Q$ より $r_{N}, s_{N} \notin Q$ であり，任意の $n \in N_{> 0}$ に対して
$⌊ r_{N} n ⌋ - ⌊ s_{N} n ⌋ = ⌊ (s_{N} + N) n ⌋ - ⌊ s_{N} n ⌋ = N n$
が成り立つ．

逆に，正の無理数 $r > s > 0$ に対して
$\frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1$
および
$\forall n \in N_{> 0}, ⌊ r n ⌋ - ⌊ s n ⌋ = N n$
が成り立つならば，
$(r n - 1) - s n < ⌊ r n ⌋ - ⌊ s n ⌋ = N n < r n - (s n - 1),$
したがって
$- \frac{1}{n} < N - (r - s) < \frac{1}{n}$
が成り立つので， $n \to \infty$ として $N = r - s$ を得る．よってそのような無理数の組は
$(r, s) = (r_{N}, s_{N})$
しかない．たとえば

$(r_{1}, s_{1}) = (1 + \frac{\sqrt{1 + 4} + 1}{2}, 1 + \frac{\sqrt{1 + 4} - 1}{2}) = (φ + 1, φ) = (φ^{2}, φ)$ ;
$(r_{2}, s_{2}) = (1 + \frac{\sqrt{4 + 4} + 2}{2}, 1 + \frac{\sqrt{4 + 4} - 2}{2}) = (\sqrt{2} + 2, \sqrt{2})$ .

参考文献

[1]

F. Borceux, G. Janelidze, Galois Theories, Cambridge Univ. Press

[2]

K. Denecke, M. Erné, S.L. Wismath , Galois Connections and Applications, Kluwer Academic Publishers

[3]

M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, G. E. Strecker, A Primer on Galois Connections, Ann. N. Y. Acad. Sci

[4]

Emily Riehl, Category Theory in Context (pdf), 閲覧日 2024年9月28日, https://math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf

[5]

Matt Baker, Complementary sets of natural numbers and Galois connections, 閲覧日 2024年9月27日, https://mattbaker.blog/2019/09/12/complementary-sets-of-natural-numbers-and-galois-connections/

[6]

彌永昌吉，小平邦彦, 現代数学概説 I, 岩波書店

[7]

堀田良之, 可換環と体, 岩波書店

[8]

鈴木治, 室伏俊明, 形式概念分析　－入門・支援ソフト・応用－, 知能と情報

[9]

flag3, 基本群と被覆空間の Galois 理論 (pdf), 閲覧日 2024年9月24日, https://flag3.github.io/pi1.pdf

[10]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Oct 19 2024

[11]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Oct 19 2024

[12]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Sat Oct 19 2024

投稿日：2024年10月1日

更新日：2024年10月19日

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Galois接続入門

準備：順序集合
Galois接続
定義と性質
閉包作用素
極性
Galois接続の例
Galois随伴
定義と性質
開核作用素
軸性
Galois随伴の例
附：Alexandrov位相
附：Lambek–Moserの定理
参考文献

Galois接続入門

準備：順序集合

Galois接続

定義と性質

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(iii)

(iii)⟹(i)

閉包作用素

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

極性

Φ:P(X×Y)→Pol(X,Y)の構成

Ψ:Pol(X,Y)→P(X×Y)の構成

Φ,Ψが互いに逆写像であること

Galois接続の例

根基

Zariski位相

Galois随伴

定義と性質

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

開核作用素

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

軸性

Φ:P(X×Y)→Ax(X,Y)の構成

Ψ:Ax(X,Y)→P(X×Y)の構成

Φ,Ψが互いに逆写像であること

Galois随伴の例

基底

フィルター

写像λ:Base(X)→Fil(X)Xの定義

写像Base(X)←Fil(X)X:ρの定義

λ:Base(X)⇄Fil(X)X:ρがGalois随伴であること

Galois閉集合は何か

Galois開集合は何か

開集合系と近傍系族のGalois対応

ついでに基本近傍系について

局所開基族

局所基底族

局所開基族は局所基底族

局所基底族は（ある位相に関する）局所開基族

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

系

附：Alexandrov位相

附：Lambek–Moserの定理

Galois随伴から分割への対応

分割からGalois随伴への対応

互いに逆対応であること

参考文献

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(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (iii)

(iii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

$Φ : P (X \times Y) \to Pol (X, Y)$ の構成

$Ψ : Pol (X, Y) \to P (X \times Y)$ の構成

$Φ, Ψ$ が互いに逆写像であること

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

$Φ : P (X \times Y) \to Ax (X, Y)$ の構成

$Ψ : Ax (X, Y) \to P (X \times Y)$ の構成

$Φ, Ψ$ が互いに逆写像であること

写像 $λ : Base (X) \to Fil (X)^{X}$ の定義

写像 $Base (X) \leftarrow Fil (X)^{X} : ρ$ の定義

$λ : Base (X) ⇄ Fil (X)^{X} : ρ$ がGalois随伴であること

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)