Galois接続入門

Galois接続$\gamma \colon P \rightleftarrows Q \colon \delta$に対して，$\delta \circ \gamma \colon P \to P,\, \gamma \circ \delta \colon Q \to Q$はともに閉包作用素である．さらに
$$ P^{\delta \circ \gamma} = \delta(Q),\ Q^{\gamma \circ \delta} = \gamma(P)$$
が成り立つ．$\delta \circ \gamma$閉集合および$\gamma \circ \delta$閉集合を，$(\gamma,\delta)$に関するGalois閉集合という．

$G$を群とする．写像$\langle \cdot \rangle \colon \mathcal{P}(G) \to \mathcal{P}(G)$を
$$ \langle p \rangle := \bigcap \{H < G \mid p \subset H\}$$
で定めると，これは閉包作用素であり，
$$ \mathcal{P}(G)^{\langle \cdot \rangle} = \{H \in \mathcal{P}(G) \mid H < G\}$$
が成り立つ．

$X$を集合とする．2項関係
$$ \{(x,y) \in X \times X \mid x \neq y\} \subset X \times X$$
から定まるGalois接続$\gamma \colon \mathcal{P}(X) \rightleftarrows \mathcal{P}(X) \colon \delta$について，
$$ \gamma(p) = \{y \in X \mid \forall x \in p,\ x \neq y\} = X \smallsetminus p$$
は$p \subset X$の補集合であり，2項関係の対称性より$\delta = \gamma$である：
$$ p \subset X \smallsetminus q \iff q \subset X\smallsetminus p.$$
また，明らかに$\gamma^{2} = \id$が成り立つ．

$G \to \Sym(X)$を群作用とする．2項関係
$$ \{(g,x) \in G \times X \mid g \cdot x = x\} \subset G \times X$$
から定まるGalois接続$\gamma \colon \mathcal{P}(G) \rightleftarrows \mathcal{P}(X) \colon \delta$について，
$$ \gamma(p) = \{x \in X \mid \forall g \in p,\ g \cdot x = x\} = X^{p}$$
は$p \subset G$による不動点集合であり，
$$ \delta(q) = \{g \in G \mid \forall x \in q,\ g \cdot x = x\} = \mathrm{Fix}_{G}(q)$$
は$q \subset X$の各点固定部分群である．さらに，
$$ x \in \gamma(p) \iff p \subset G_{x} \iff \langle p \rangle \subset G_{x} \iff x \in \gamma(\langle p \rangle)$$
より
$$ X^{p} = X^{\langle p \rangle}$$
が成り立つ．

$K/k$を体の拡大とし
$$ G := \Aut(K/k) := \{f \in \Aut(K) \mid \forall x \in k,\ f(x) = x\} = \mathrm{Fix}_{\Aut(K)}(k)$$
とおく．$G$の部分群全体のなす集合を$\mathcal{S}(G)$とおき$K/k$の中間体全体のなす集合を$\mathcal{M}(K/k)$とおくと，上例のGalois接続$\gamma \colon \mathcal{P}(G) \rightleftarrows \mathcal{P}(K) \colon \delta$を制限したものはGalois接続$\gamma' \colon \mathcal{S}(G) \rightleftarrows \mathcal{M}(K/k) \colon \delta'$を与える．

代数拡大$K/k$に対して
$$ K/k:\text{Galois} \iff k \in \mathcal{M}(K/k):\text{Galois closed}$$
が成り立つ．Galois理論の基本定理とは，$K/k$が有限次Galois拡大であるとき$(\gamma',\delta')$がGalois対応であること（$+\alpha$）を主張するものである．

$X$を連結かつ局所弧状連結な位相空間とし，$\tilde{\pi} \colon \tilde{X} \to X$を連結被覆空間とする．また，
$$ G := \Aut(\tilde{X}\xrightarrow{\tilde{\pi}}X) := \{f \in \mathrm{Homeo}(\tilde{X}) \mid \tilde{\pi} \circ f = \tilde{\pi}\}$$
とおく．

1. 部分群$H < G$に対して，中間連結被覆空間$\tilde{X} \to H \backslash \tilde{X} \xrightarrow{\tilde{\pi}_{H}} X$（の同型類）が定まる：
   $$ \xymatrix{ {} & {\tilde{X}} \ar[ld]_{\text{proj.}} \ar[dd]^{\tilde{\pi}} \\ {H\backslash \tilde{X}} \ar@{.>}[rd]_{\tilde{\pi}_{H}}& {} \\ {} & {X.} }$$
2. $\tilde{\pi} \colon \tilde{X} \to X$の中間連結被覆空間$\tilde{X} \xrightarrow{\pi_{\tilde{X}\to Y}} Y \xrightarrow{\pi_{Y}} X$（の同型類）に対して，
   $$ \Aut(\tilde{X} \xrightarrow{\pi_{\tilde{X}\to Y}} Y) = \{f \in G\mid \pi_{\tilde{X}\to Y} \circ f = \pi_{\tilde{X}\to Y}\} < G$$
   が定まる．
3. 以上により，Galois接続が定まる：
   $$ \xymatrix{ {} && {} & {H \backslash \tilde{X}} \ar@{.>}[ld]_{\exists} \ar[dd]^{\tilde{\pi}_{H}} \\ {H \subset \Aut(\tilde{X}\to Y)} & {\iff} & {Y} \ar[rd]_{\pi_{Y}}& {} \\ {} && {} & {X} }$$
4. $\tilde{X} \xrightarrow{\tilde{\pi}} X \xrightarrow{\id_{X}} X$（の同型類）がGalois閉集合であるとき，すなわち$G \backslash \tilde{X} \approx X$が成り立つとき，$\tilde{X} \xrightarrow{\tilde{\pi}} X$をGalois被覆という．
5. $\tilde{X} \xrightarrow{\tilde{\pi}}X$がGalois被覆であるとき，上述のGalois接続は全単射
   $$ \mathcal{S}(G) \cong \{\text{中間連結被覆の同型類}\}$$
   を与える．

$(X,\leq)$を順序集合とする．2項関係$\leq \subset X \times X$から定まるGalois接続$\gamma \colon \mathcal{P}(X) \rightleftarrows \mathcal{P}(X) \colon \delta$について，
$$ \gamma(p) = \{y \in X \mid \forall x \in p,\ x \leq y\} \subset X$$
は$p \subset X$の上界全体のなす部分集合であり，
$$ \delta(q) = \{x \in X \mid \forall y \in q,\ x \leq y\} \subset X$$
は$q \subset X$の下界全体のなす部分集合である．閉包作用素$\delta \circ \gamma$による不動点集合
$$ \{p \in \mathcal{P}(X) \mid \delta \circ \gamma(p) = p\}$$
を$(X,\leq)$のDedekind–MacNeille完備化という．

$k$を体，$V$を$k$線型空間とし，$\omega \colon V \times V \to k$を対称双線型写像とする．2項関係
$$ \{(u,v) \in V \times V \mid \omega(u,v) = 0\} \subset V \times V$$
から定まるGalois接続$\gamma \colon \mathcal{P}(V) \rightleftarrows \mathcal{P}(V) \colon \delta$について，
$$ \gamma(p) = \{v \in V \mid \forall u \in p,\ \omega(u,v) = 0\} = p^{\perp}$$
は$p \subset V$の$\omega$直交補空間であり，$\omega$の対称性より$\gamma = \delta$が成り立つ．$\gamma^{2}$は閉包作用素なので$p \subset (p^{\perp})^{\perp}$が成り立ち，したがって
$$ \mathrm{Span}(p) \subset (p^{\perp})^{\perp}$$
が成り立つ．

$k$を体とし$V$を$k$線型空間とする．2項関係
$$ \{(f,v) \in V^{*} \times V \mid f(v) = 0\} \subset V^{*} \times V$$
から定まるGalois接続$\gamma \colon \mathcal{P}(V^{*}) \rightleftarrows \mathcal{P}(V) \colon \delta$について，
$$ \gamma(p) = \{v \in V \mid \forall f \in p,\ f(v) = 0\}$$
は$p \subset V^{*}$の零化空間であり，
$$ \delta(q) = \{f \in V^{*} \mid \forall v \in q,\ f(v) = 0\}$$
は$q \subset V$の零化空間である．

$\mathbb{K}$を体とし$n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$とする．2項関係
$$ \{(f,x) \in \mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}] \times \mathbb{K}^{n} \mid f(x) = 0\}$$
から定まるGalois接続$\gamma \colon \mathcal{P}(\mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}]) \rightleftarrows \mathcal{P}(\mathbb{K}^{n}) \colon \delta$について，
$$ \gamma(p) = \{x \in \mathbb{K}^{n} \mid \forall f \in p,\ f(x) = 0\} = \mathcal{V}(p)$$
は$p \subset \mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}]$の共通零点集合（一名代数的集合）であり，
$$ \delta(q) = \{f \in \mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}] \mid \forall x \in q,\ f(x) = 0\} = \mathcal{I}(q)$$
は$q \subset \mathbb{K}^{n}$上で消える多項式のなすイデアルである．

• $x \in \mathbb{K}^{n}$に対して
  $$ \mathfrak{m}_{x} := \{f \in \mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}] \mid f(x) = 0\}$$
  とおくと，これは$\mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}]$の（極大）イデアルである．そこで$p \subset \mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}]$で生成されるイデアルを$\langle p \rangle$と書くことにすると，
  $$ x \in \gamma(p) \iff p \subset \mathfrak{m}_{x} \iff \langle p \rangle \subset \mathfrak{m}_{x} \iff x \in \gamma(\langle p \rangle)$$
  より$\gamma(p) = \gamma(\langle p \rangle)$が成り立つ．
• （コ）ドメインの制限によって得られるGalois接続
  $$ \gamma' \colon \mathrm{Ideal}(\mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}]) \rightleftarrows \mathrm{AlgSet}(\mathbb{K}^{n}) \colon \delta'$$
  について，$\gamma'$は全射なので$\delta'$は単射であり$\gamma'\circ\delta' = \id$が成り立つ．

根基

イデアル$I \subset \mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}]$に対して
$$ \delta(\gamma(I)) = \bigcap_{x \in \gamma(I)} \mathfrak{m}_{x} \supset \sqrt{I}:= \{f \in \mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}] \mid \exists \ell \in \mathbb{N}_{>0},\ f^{\ell} \in I\}$$
が成り立つ．$\mathbb{K}$が代数的閉体であるとき$\delta(\gamma(I)) = \sqrt{I}$が成り立つ（Hilbertの零点定理）．

Zariski位相

$\mathrm{AlgSet}(\mathbb{K}^{n}) = \gamma(\mathrm{Ideal}(\mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}]))$は閉集合系の公理を満たす：

1. $\mathbb{K}^{n} = \gamma(0),\ \varnothing = \gamma(1)$.
2. $\bigcap_{j} \gamma(I_{j}) = \gamma(\bigcup_{j}I_{j}) = \gamma(\langle \bigcup_{j}I_{j} \rangle)$.
3. $II' \subset I, I'$より$\gamma(I) \cup \gamma(I') \subset \gamma(II')$が成り立つ．逆に$x \in \gamma(II')\smallsetminus\gamma(I)$とすると，$f \in I$であって$f(x)\neq 0$なるものが存在するので，任意の$f' \in I'$に対して，
   $$ 0 =(ff')(x) = f(x)f'(x)$$
   より$f'(x)=0$を得，したがって$x \in \gamma(I')$が成り立つ．

閉集合系$\mathrm{AlgSet}(\mathbb{K}^{n})$から定まる位相をZariski位相という．部分集合$q \subset \mathbb{K}^{n}$に対してZariski位相による閉包を$\bar{q}$で表わす：
$$ \bar{q} := \bigcap \{\gamma(I) \mid I \in \mathrm{Ideal}(\mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}]),\ q \subset \gamma(I)\}.$$
[1] $q \subset \gamma(\delta(q))$および$\delta(q) \in \mathrm{Ideal}(\mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}])$より$\bar{q} \subset \gamma(\delta(q))$が成り立つ．
[2] 任意の$I \in \mathrm{Ideal}(\mathbb{K}[t_{1},\ldots,t_{n}])$に対して
$$ q \subset \gamma(I)\implies \gamma(\delta(q)) \subset \gamma(\delta(\gamma(I))) = \gamma(I)$$
が成り立つので，$\gamma(\delta(q)) \subset \bar{q}$を得る．

したがって閉包作用素$\gamma \circ \delta$について
$$ \gamma(\delta(q)) = \bar{q}$$
が成り立つ．

$X$を“モノ”の集まり，$Y$を“コト”の集まりとする．2項関係
$$ \{(x,y) \in X \times Y \mid \text{$x$は$y$である}\} \subset X \times Y$$
から定まるGalois接続$\gamma \colon \mathcal{P}(X) \rightleftarrows \mathcal{P}(Y) \colon \delta$について，
$$ \gamma(p) = \{y \in Y \mid \forall x \in p,\ \text{$x$は$y$である}\}$$
の元は$p \subset X$に属するすべての元が満たす性質（“内包”）であり，
$$ \delta(q) = \{x \in X \mid \forall y \in q,\ \text{$x$は$y$である}\}$$
の元は$q \subset Y$に属するすべての性質を満たすモノ（“外延”）である．Galois対応$(\gamma_{\delta},\delta_{\gamma})$によってうつりあうGalois閉集合からなる組$c:= (p,q)$を（形式）概念といい，$p$を$c$の外延，$q$を$c$の内包という．

Galois随伴$\lambda \colon P \rightleftarrows Q \colon \rho$に対して，$\rho \circ \lambda \colon P \to P$は閉包作用素であり，$\lambda \circ \rho \colon Q \to Q$は開核作用素である．さらに
$$ P^{\rho \circ \lambda} = \rho(Q),\ Q^{\lambda \circ \rho} = \lambda(P)$$
が成り立つ．$\rho\circ\lambda$閉集合（resp. $\lambda\circ\rho$開集合）を$(\lambda,\rho)$に関するGalois閉集合（resp. Galois開集合）という．

$X$を集合とし$A \subset X$とする．写像$\beta \colon \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$を
$$ \beta(q):= q \smallsetminus A$$
で定める．このとき
$$ q \smallsetminus A \subset q' \iff q \smallsetminus A \subset q' \smallsetminus A$$
が成り立つので，$\beta$は開核作用素である．また$\beta(\mathcal{P}(X)) = \mathcal{P}(X\smallsetminus A)$が成り立つ．

$\lambda \colon P \rightleftarrows Q \colon \rho,\,\lambda' \colon Q \rightleftarrows R \colon \rho'$がGalois随伴ならば，合成$\lambda' \circ \lambda \colon P \rightleftarrows R \colon \rho \circ \rho'$もGalois随伴である．実際
$$ \lambda'(\lambda(p)) \leq_{R} r \iff \lambda(p) \leq_{Q} \rho'(r) \iff p \leq_{P} \rho(\rho'(r))$$
が成り立つ．

$\alpha \colon P \to P$を閉包作用素とする．このとき，任意の$(p,p') \in P \times \alpha(P)$に対して
$$ \alpha(p) \leq p' \iff p \leq p'$$
が成り立つので，$\alpha \colon P \rightleftarrows \alpha(P) \colon \mathrm{incl}$はGalois随伴である．

$\beta \colon Q \to Q$を開核作用素とする．このとき，任意の$(q,q') \in \beta(Q) \times Q$に対して
$$ q \leq q' \iff q \leq \beta(q')$$
が成り立つので，$\mathrm{incl} \colon \beta(Q) \rightleftarrows Q \colon \beta$はGalois随伴である．

天井函数$\lceil \cdot \rceil \colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$について
$$ \lceil x \rceil \leq n \iff x \leq n$$
が成り立つ．したがって$(\lceil \cdot \rceil,\id_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{R}})$はGalois随伴である．また，床函数$\lfloor \cdot \rfloor \colon \mathbb{R} \to \mathbb{Z}$について
$$ n \leq y \iff n \leq \lfloor y \rfloor$$
が成り立つ．したがって$(\id_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{R}},\lfloor \cdot \rfloor)$はGalois随伴である．よってこれらの合成$\lceil \cdot \rceil \colon \mathbb{R} \rightleftarrows \mathbb{R} \colon \lfloor \cdot \rfloor$はGalois随伴であるから，
$$ \lceil x \rceil \leq y \iff x \leq \lfloor y \rfloor$$
が成り立つ．

$f \colon X \to Y$を写像とする．2項関係
$$ F:= \{(x,y) \in X \times Y \mid f(x) = y\} \subset X \times Y$$
から定まるGalois随伴$\lambda \colon \mathcal{P}(X) \rightleftarrows \mathcal{P}(Y) \colon \rho$について，
$$ \lambda(p) = \{y \in Y \mid \exists x \in p,\ y \in F(x)\} = \{y \in Y \mid \exists x \in p,\ f(x) =y\} =: f^{\rightarrow}(p)$$
は$p \subset X$の$f$による順像であり，
$$ \rho(q) = \{x \in X \mid F(x) \subset q\} = \{x \in X \mid f(x) \in q\} =: f^{\leftarrow}(q)$$
は$q \subset Y$の$f$による逆像である．したがって
$$ f^{\rightarrow}(p) \subset q \iff p \subset f^{\leftarrow}(q)$$
が成り立つ．また，

• $p \subset f^{\leftarrow}(f^{\rightarrow}(p))$;
• $f^{\rightarrow}(f^{\leftarrow}(q)) \subset q$;
• $f^{\rightarrow}(\bigcup_{i} p_{i}) = \bigcup_{i} f^{\rightarrow}(p_{i})$;
• $f^{\leftarrow}(\bigcap_{i} q_{i}) = \bigcap_{i} f^{\leftarrow}(q_{i})$;

などが成り立つ．

$G$を群，$N \triangleleft G$をその正規部分群とし，$\pi \colon G \to G/N$を射影とする．順像・逆像のGalois随伴を部分群に制限することでGalois随伴$\pi^{\rightarrow} \colon \mathcal{S}(G) \rightleftarrows \mathcal{S}(G/N) \colon \pi^{\leftarrow}$を得る．射影$\pi$は全射なので$\pi^{\rightarrow}$は全射であり，したがって$\pi^{\leftarrow}$は単射で$\pi^{\rightarrow} \circ \pi^{\leftarrow} = \id$が成り立つ．ここで
$$ \mathcal{S}_{N}(G) := \{H \in \mathcal{S}(G) \mid N \subset H\}$$
とおくと$\mathcal{S}_{N}(G) = \pi^{\leftarrow}(\mathcal{S}(G/N))$が成り立つことがわかるので，Galois対応
$$ \pi^{\rightarrow}_{\pi^{\leftarrow}} \colon \mathcal{S}_{N}(G) \rightleftarrows \mathcal{S}(G/N) \colon \pi^{\leftarrow}_{\pi^{\rightarrow}}$$
を得る．

$f \colon X \to Y$を写像とする．2項関係
$$ F:= \{(y,x) \in Y \times X \mid y = f(x)\} \subset Y \times X$$
から定まるGalois随伴$\lambda \colon \mathcal{P}(Y) \rightleftarrows \mathcal{P}(X) \colon \rho$について，
$$ \lambda(p) = \{x \in X \mid \exists y \in p,\ x \in F(y)\} = \{x \in X \mid f(x) \in p\} = f^{\leftarrow}(p)$$
は$p \subset Y$の$f$による逆像であり，
$$ \rho(q) = \{y \in Y \mid F(y) \subset q\} = \{y \in Y \mid f^{\leftarrow}(\{y\}) \subset q\} =: f_{!}(q)$$
を$q \subset X$の$f$による余順像という．したがって
$$ f^{\leftarrow}(p) \subset q \iff p \subset f_{!}(q)$$
が成り立つ．また，

• $p \subset f_{!}(f^{\leftarrow}(p))$;
• $f^{\leftarrow}(f_{!}(q)) \subset q$;
• $f^{\leftarrow}(\bigcup_{i} p_{i}) = \bigcup_{i}f^{\leftarrow}(p_{i})$;
• $f_{!}(\bigcap_{i} q_{i}) = \bigcap_{i} f_{!}(q_{i})$;

などが成り立つ．

$X$を集合とし$A \subset X$とする．包含写像$\id_{X\smallsetminus A}^{X}$に上述の議論を適用して得られるGalois随伴$\mathcal{P}(X) \rightleftarrows \mathcal{P}(X)$は，
$$ p \cap (X\smallsetminus A) \subset q \iff p \subset (X\smallsetminus(X\smallsetminus A)) \cup q,$$
すなわち
$$ p \smallsetminus A \subset q \iff p \subset A \cup q.$$
と書ける．

$(X,\mathcal{O})$を位相空間とし，その閉集合系を$\mathcal{C}$とおく．このとき任意の$(A,C) \in \mathcal{P}(X) \times \mathcal{C}$に対して
$$ \cl_{\mathcal{O}}(A) \subset C \iff A \subset C$$
が成り立つので，$\cl_{\mathcal{O}} \colon \mathcal{P}(X) \rightleftarrows \mathcal{C} \colon \mathrm{incl}$はGalois随伴である．また，任意の$(U,A) \in \mathcal{O} \times \mathcal{P}(X)$に対して
$$ U \subset A \iff U \subset \Int_{\mathcal{O}}(A)$$
が成り立つので，$\mathrm{incl} \colon \mathcal{O} \rightleftarrows \mathcal{P}(X) \colon \Int_{\mathcal{O}}$はGalois随伴である．よってこれらの合成$\cl_{\mathcal{O}} \colon \mathcal{O} \rightleftarrows \mathcal{C} \colon \Int_{\mathcal{O}}$もGalois随伴である：
$$ \cl_{\mathcal{O}}(U) \subset C \iff U \subset \Int_{\mathcal{O}}(C).$$
閉包作用素$\Int_{\mathcal{O}} \circ \cl_{\mathcal{O}} \colon \mathcal{O} \to \mathcal{O}$に関するGalois閉集合を正則開集合といい，開核作用素$\cl_{\mathcal{O}} \circ \Int_{\mathcal{O}} \colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}$に関するGalois開集合を正則閉集合という．

$X,Y$を集合とし$f \colon X \to Y$を写像とする．また，
$$ \mathrm{Open}(Y):= \{\mathcal{O}_{Y} \subset \mathcal{P}(Y) \mid \text{topology on $Y$}\},\ \mathrm{Open}(X):= \{\mathcal{O}_{X} \subset \mathcal{P}(X) \mid \text{topology on $X$}\}$$
とおく．このとき写像$\lambda \colon \mathrm{Open}(Y) \rightleftarrows \mathrm{Open}(X) \colon \rho$をそれぞれ
$$ \lambda(\mathcal{O}_{Y}) := \{f^{\leftarrow}(V) \in \mathcal{P}(X) \mid V \in \mathcal{O}_{Y}\}$$
および
$$ \rho(\mathcal{O}_{X}) := \{V \in \mathcal{P}(Y) \mid f^{\leftarrow}(V) \in \mathcal{O}_{X}\}$$
で定めると，
$$ \lambda(\mathcal{O}_{Y}) \subset \mathcal{O}_{X} \iff \forall V \in \mathcal{O}_{Y},\ f^{\leftarrow}(V) \in \mathcal{O}_{X} \iff \mathcal{O}_{Y} \subset \rho(\mathcal{O}_{X})$$
が成り立つので，$(\lambda,\rho)$はGalois随伴である．ところで
$$ f \colon (X,\mathcal{O}_{X}) \to (Y,\mathcal{O}_{Y}):\text{continuous} \stackrel{\text{def}}{\iff} \lambda(\mathcal{O}_{Y}) \subset \mathcal{O}_{X}$$
であったから，次のことがわかる：

• $(Y,\mathcal{O}(Y))$を位相空間としたとき，$f \colon (X,\mathcal{O}_{X}) \to (Y,\mathcal{O}(Y))$が連続となる，すなわち
  $$ \lambda(\mathcal{O}(Y)) \subset \mathcal{O}_{X}$$
  が成り立つような$X$の位相のうち最小のものが$\lambda(\mathcal{O}(Y))$である．
• $(X,\mathcal{O}(X))$を位相空間としたとき，$f \colon (X,\mathcal{O}(X)) \to (Y,\mathcal{O}_{Y})$が連続となる，すなわち
  $$ \mathcal{O}_{Y} \subset \rho(\mathcal{O}(X))$$
  が成り立つような$Y$の位相のうち最大のものが$\rho(\mathcal{O}(X))$である．

$X$を集合とする．

基底

$\mathcal{B} \subset \mathcal{P}(X)$を$X$の被覆とする．任意の$B,B' \in \mathcal{B}$と任意の$x \in B \cap B'$とに対して，$B'' \in\mathcal{B}$であって
$$ x \in B'' \subset B \cap B'$$
を満たすものが存在するとき，$\mathcal{B}$を$X$上の基底という．$X$上の基底全体のなす集合を$\mathrm{Base}(X)$で表わす．

フィルター

$\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(X)$について，

1. $\varnothing \notin \mathcal{F}$;
2. $X \in \mathcal{F}$;
3. $F,F' \in \mathcal{F} \implies F \cap F' \in \mathcal{F}$;
4. $F \in \mathcal{F},\ F \subset G \implies G \in \mathcal{F}$;

が成り立つとき，$\mathcal{F}$を$X$上のフィルターという．$X$上のフィルター全体のなす集合を$\mathrm{Fil}(X)$で表わす．

写像集合$\mathrm{Fil}(X)^{X}$に
$$ u \leq v :\iff \forall x \in X,\ u(x) \subset v(x)$$
により順序を定める．

写像$\lambda \colon \mathrm{Base}(X) \rightarrow \mathrm{Fil}(X)^{X}$の定義

$\mathcal{B} \in \mathrm{Base}(X)$とする．各$x \in X$に対して
$$ \mathcal{F}_{x} := \{F \subset X \mid \exists B \in \mathcal{B},\ x \in B \subset F\}$$
とおくと，これは$X$上のフィルターである．実際，

1. 任意の$F \in \mathcal{F}_{x}$に対して$x \in \prescript{\exists}{}B_{\in\mathcal{B}} \subset F$より$F \neq \varnothing$が成り立つ．
2. $\mathcal{B}$は$X$の被覆なので，$x \in B \subset X$なる$B \in \mathcal{B}$が存在する．よって$X \in \mathcal{F}_{x}$を得る．
3. $F,F' \in \mathcal{F}_{x}$とする．このとき，$B,B' \in \mathcal{B}$であって
   $$ x \in B \subset F,\ x \in B' \subset F'$$
   を満たすものが存在する．したがって$B'' \in \mathcal{B}$であって
   $$ x \in B'' \subset B \cap B' \subset F \cap F'$$
   を満たすものが存在するので，$F \cap F' \in \mathcal{F}_{x}$が成り立つ．
4. $F \in \mathcal{F}_{x}, F \subset G \implies G \in \mathcal{F}_{x}$も明らか．

そこで写像$\lambda \colon \mathrm{Base}(X) \to \mathrm{Fil}(X)^{X}$を
$$ \lambda(\mathcal{B}) := (\mathcal{F}_{x})_{x \in X}$$
で定める．とくに任意の$F \in \mathcal{F}_{x}$に対して$x \in F$が成り立つことに注意する．

写像$\mathrm{Base}(X) \leftarrow \mathrm{Fil}(X)^{X} \colon \rho$の定義

$u \in \mathrm{Fil}(X)^{X}$とする．このとき
$$ \mathcal{B}_{u} := \{B \subset X \mid \forall x \in B,\ B \in u(x)\}$$
とおくと，これは$X$上の基底である．実際，

1. 任意の$x \in X$に対して$X \in u(x)$が成り立つので，$X \in \mathcal{B}_{u}$を得る．とくに$\mathcal{B}_{u}$は$X$の被覆である．
2. $B,B' \in \mathcal{B}_{u}, x \in B \cap B'$とする．$B'' := B \cap B'$とおく．このとき任意の$y \in B''$に対して，$B,B' \in u(y)$より$B'' = B \cap B' \in u(y)$を得るので，
   $$ B'' \in \mathcal{B}_{u},\ x \in B'' \subset B \cap B'$$
   が成り立つ．

そこで写像$\rho \colon \mathrm{Fil}(X)^{X} \to \mathrm{Base}(X)$を
$$ \rho(u) := \mathcal{B}_{u}$$
で定める．

$\lambda \colon \mathrm{Base}(X) \rightleftarrows \mathrm{Fil}(X)^{X} \colon \rho$がGalois随伴であること

1. $\lambda(\mathcal{B}) \leq u$とする．このとき任意の$B \in \mathcal{B}$に対して，
   $$ \forall x \in B,\ B \in \lambda(\mathcal{B})(x) \subset u(x)$$
   が成り立つので，$B \in \rho(u)$を得る．よって$\mathcal{B} \subset \rho(u)$が成り立つ．
2. $\mathcal{B} \subset \rho(u)$とする．$x \in X$とする．このとき任意の$F \in \lambda(\mathcal{B})(x)$に対して，$x \in B \subset F$なる$B \in \mathcal{B} \subset \rho(u)$を取ると
   $$ B \in u(x),\ B \subset F$$
   より$F \in u(x)$を得る．よって$\lambda(\mathcal{B}) \leq u$が成り立つ．

Galois閉集合は何か

$\mathcal{B} \in \mathrm{Base}(X)$とする．このとき$\rho(\lambda(\mathcal{B}))$は開集合系の公理を満たす：

1. $X \in \rho(\lambda(\mathcal{B}))$は既に見た．また$\varnothing \in \rho(\lambda(\mathcal{B}))$も明らか．
2. $U,V \in \rho(\lambda(\mathcal{B}))$とする．このとき任意の$x \in U \cap V$に対して$U,V \in \lambda(\mathcal{B})(x)$より$U \cap V \in \lambda(\mathcal{B})(x)$が成り立つので，$U \cap V \in \rho(\lambda(\mathcal{B}))$を得る．
3. $\mathcal{U} \subset \rho(\lambda(\mathcal{B}))$とする．このとき，任意の$x \in \bigcup \mathcal{U}$に対して，$x \in U$なる$U \in \mathcal{U}$を取ると
   $$ U \in \lambda(\mathcal{B})(x),\ U \subset \bigcup\mathcal{U}$$
   より$\bigcup \mathcal{U} \in \lambda(\mathcal{B})(x)$が成り立つので，$\bigcup\mathcal{U} \in \rho(\lambda(\mathcal{B}))$を得る．

そこで$\rho(\lambda(\mathcal{B}))$を基底$\mathcal{B}$によって生成される位相という．これは$\mathcal{B}$を含む最小の位相である：

1. $\rho\circ\lambda$は閉包作用素なので$\mathcal{B} \subset \rho(\lambda(\mathcal{B}))$が成り立つ．
2. $\mathcal{O} \in \mathrm{Open}(X) \subset \mathrm{Base}(X)$とする．このとき任意の$U \in \rho(\lambda(\mathcal{O}))$に対して，
   $$ \forall x \in U,\ U \in \lambda(\mathcal{O})(x)$$
   すなわち
   $$ \forall x \in U,\ \exists V \in \mathcal{O},\ x \in V \subset U$$
   が成り立つので，$U \in \mathcal{O}$を得る．したがって$\mathcal{O} = \rho(\lambda(\mathcal{O}))$が成り立つ．よって
   $$ \mathcal{B} \subset \mathcal{O} \in \mathrm{Open}(X) \implies \rho(\lambda(\mathcal{B})) \subset \mathcal{O}$$
   が成り立つ．

以上より，$\mathrm{Base}(X)^{\rho \circ \lambda} = \mathrm{Open}(X)$および
$$ \rho(\lambda(\mathcal{B})) = \bigcap \{\mathcal{O} \in \mathrm{Open}(X) \mid \mathcal{B} \subset \mathcal{O}\}$$
が成り立つことがわかった．

また，$(X,\mathcal{O})$を位相空間とすると，$\mathcal{B} \subset \mathcal{O}$なる基底$\mathcal{B} \in \mathrm{Base}(X)$に対して
\begin{align} \mathcal{O} = \rho(\lambda(\mathcal{B})) &\iff \mathcal{O} \subset \rho(\lambda(\mathcal{B}))\\ &\iff \forall U \in \mathcal{O},\ U \in \rho(\lambda(\mathcal{B}))\\ &\iff \forall U \in \mathcal{O},\ \forall x \in U,\ U \in \lambda(\mathcal{B})(x)\\ &\iff \forall U \in \mathcal{O},\ \forall x \in U,\ \exists B \in \mathcal{B},\ x \in B \subset U \end{align}
が成り立つ．この最下段の条件を満たす$\mathcal{B} \subset \mathcal{O}$を$(X,\mathcal{O})$の開基という．ところで開基は基底である．実際，

1. 任意の$x \in X \in \mathcal{O}$に対して$x \in \prescript{\exists}{}B_{\in\mathcal{B}} \subset X$より$\mathcal{B}$は$X$の被覆である．
2. $B,B' \in \mathcal{B}, x \in B \cap B'$とすると，$B \cap B' \in \mathcal{O}$より，$B'' \in \mathcal{B}$であって$x \in B'' \subset B \cap B'$を満たすものが存在する．

したがって位相空間$(X,\mathcal{O})$の開基$\mathcal{B} \subset \mathcal{O}$に対しては常に$\mathcal{O} = \rho(\lambda(\mathcal{B}))$が成り立つ．

• 任意の$\mathcal{S} \subset \mathcal{P}(X)$に対して
  $$ \bar{\mathcal{S}} := \left\{\bigcap_{i\in I}S_{i} \;\middle|\ I\colon\text{finite},\ S_{i} \in \mathcal{S}\right\}$$
  は$\mathcal{S}$を含む$X$上の基底である．そこで$\rho(\lambda(\bar{\mathcal{S}}))$を$\mathcal{S}$によって生成される位相という．
• 位相空間$(X,\mathcal{O})$に対して，$\mathcal{S} \subset \mathcal{O}$であって$\bar{\mathcal{S}}$が開基となるようなものを$(X,\mathcal{O})$の準開基という．とくに開基は準開基である．

Galois開集合は何か

$u \in \mathrm{Fil}(X)^{X}$とする．このとき$\lambda(\rho(u))$は近傍系族の公理を満たす．実際，$x \in X$に対して$\mathcal{N}(x) := \lambda(\rho(u))(x)$とおくと，$X \in \mathcal{N}(x) \neq \varnothing$であり，

1. $\forall N \in \mathcal{N}(x),\ x \in N$は既に見た．
2. $\mathcal{N}(x) \in \mathrm{Fil}(X)$より
   $$ N,N' \in \mathcal{N}(x) \implies N \cap N' \in \mathcal{N}(x)$$
   が成り立つ．
3. $\mathcal{N}(x) \in \mathrm{Fil}(X)$より
   $$ N \in \mathcal{N}(x),\ N \subset M \implies M \in \mathcal{N}(x)$$
   が成り立つ．
4. $N \in \mathcal{N}(x)$とする．このとき$B \in \rho(u)$であって$x \in B \subset N$を満たすものが存在する．したがって任意の$b \in B$に対して，
   $$ B \in \rho(u),\ b \in B \subset N$$
   より，$N \in \mathcal{N}(b)$が成り立つ．また明らかに$B \in \mathcal{N}(x)$が成り立つ．

よって$\lambda(\rho(\mathrm{Fil}(X)^{X})) \subset \mathrm{Nbd}(X)$が成り立つが，実は逆の包含も成り立つ．実際，$\mathcal{N} \in \mathrm{Nbd}(X)$とすると，

1. 明らかに$\mathcal{N} \in \mathrm{Fil}(X)^{X}$であり，したがって$\lambda(\rho(\mathcal{N})) \leq \mathcal{N}$が成り立つ．
2. $x \in X$とする．$N \in \mathcal{N}(x)$とし，
   $$ B:= \{b \in X \mid N \in \mathcal{N}(b)\}$$
   とおく．$N \in \mathcal{N}(x)$より$x \in B$を得る．また，任意の$b \in B$に対して，$N \in \mathcal{N}(b)$より$b \in N$が成り立つので，$B \subset N$を得る．あとは$B \in \rho(\mathcal{N})$が示せれば，
   $$ B \in \rho(\mathcal{N}),\ x \in B \subset N$$
   より$N \in \lambda(\rho(\mathcal{N}))(x)$となるので，
   $$ \mathcal{N}(x) \subset \lambda(\rho(\mathcal{N}))(x)$$
   が成り立つ．そこで$b \in B$とする．このとき$B \in \mathcal{N}(b)$が成り立つことを示せばよい．ところで，いま$N \in \mathcal{N}(b)$より$N' \in \mathcal{N}(b)$であって
   $$ \forall y \in N',\ N \in \mathcal{N}(y)$$
   を満たすものが存在するので
   $$ N' \in \mathcal{N}(b),\ N' \subset B$$
   より$B \in \mathcal{N}(b)$が成り立つ．

したがって，Galois開集合とは$X$の近傍系族に他ならないことがわかった．

開集合系と近傍系族のGalois対応

以上より全単射
$$ \lambda_{\rho} \colon \mathrm{Open}(X) \rightleftarrows \mathrm{Nbd}(X) \colon \rho_{\lambda}$$
を得る：
\begin{align} \lambda_{\rho}(\mathcal{O})(x) &= \{N \subset X \mid \exists U \in \mathcal{O},\ x \in U \subset N\},\\ \rho_{\lambda}(\mathcal{N}) &= \{U \subset X \mid \forall x \in U,\ U \in \mathcal{N}(x)\}. \end{align}

ついでに基本近傍系について

$(X,\mathcal{O})$を位相空間とする．各$x \in X$に対して$\lambda(\mathcal{O})(x)$を$x \in X$の近傍フィルターといい，その元を$x \in X$の近傍という．また，$\mathcal{N}_{0} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))^{X}$であって

1. $\forall x \in X,\ \mathcal{N}_{0}(x) \subset \lambda(\mathcal{O})(x)$;
2. $\forall x \in X,\ \forall N \in \lambda(\mathcal{O})(x),\ \exists N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x),\ N_{0} \subset N$;

を満たすものを$(X,\mathcal{O})$の基本近傍系族という．たとえば$\lambda(\mathcal{O})$や
$$ x \mapsto \{U \in \mathcal{O}\mid x \in U\}$$
は$(X,\mathcal{O})$の基本近傍系族である．（したがって基本近傍系族は位相に対して（一般に）一意ではない．）

$X$を集合とし，$\mathcal{N}_{0} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))^{X}$とする．各$x \in X$に対して
$$ \overline{\mathcal{N}_{0}}(x) := \{N \subset X \mid \exists N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x),\ N_{0} \subset N\}$$
とおくことによって$\overline{\mathcal{N}_{0}} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))^{X}$を定める．$\overline{\mathcal{N}_{0}} \in \mathrm{Nbd}(X)$となるとき，$\mathcal{N}_{0}$を$X$上の近傍基族ということにし，近傍基族全体のなす集合を$\mathrm{Nbd}_{0}(X)$で表わす．明らかに，$\mathcal{N} \in \mathrm{Nbd}(X)$ならば$\overline{\mathcal{N}} = \mathcal{N}$であるから，$\mathrm{Nbd}(X) \subset \mathrm{Nbd}_{0}(X)$が成り立つ．

• 位相空間$(X,\mathcal{O})$の基本近傍系族$\mathcal{N}_{0}$に対して$\overline{\mathcal{N}_{0}} = \lambda(\mathcal{O}) \in \mathrm{Nbd}(X)$が成り立つことがわかるので，基本近傍系族は近傍基族である．
• 逆に，近傍基族$\mathcal{N}_{0}$から
  $$ \rho\left(\overline{\mathcal{N}_{0}}\right) = \{U \subset X \mid \forall x \in U,\ \exists N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x),\ N_{0} \subset U\}$$
  により位相が定まり，$\mathcal{N}_{0}$は位相空間$\left(X,\rho\left(\overline{\mathcal{N}_{0}}\right)\right)$の基本近傍系族である．

ところで近傍基族は以下の4条件で特徴づけられる：

1. $\forall x \in X,\ \mathcal{N}_{0}(x) \neq \varnothing$;
2. $\forall x \in X,\ \forall N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x),\ x \in N_{0}$;
3. $\forall x \in X,\ \forall N_{0},N_{0}' \in \mathcal{N}_{0}(x),\ \exists N_{0}'' \in \mathcal{N}_{0}(x),\ N_{0}'' \subset N_{0} \cap N_{0}'$;
4. $\forall x \in X,\ \forall N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x),\ \exists N_{0}' \in \mathcal{N}_{0}(x),\ \forall y \in N_{0}',\ \exists N_{0}'' \in \mathcal{N}_{0}(y),\ N_{0}'' \subset N_{0}$.

実際，

1. $\mathcal{N}_{0} \in \mathrm{Nbd}_{0}(X)$とし，$x \in X$とする．
   1. $X \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x)$に対して$N_{0} \subset X$なる$N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x)$が存在する．
   2. $\mathcal{N}_{0}(x) \subset \overline{\mathcal{N}_{0}}(x) \in \mathrm{Nbd}(X)$より，任意の$N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x)$に対して$x \in N_{0}$が成り立つ．
   3. $N_{0},N_{0}' \in \mathcal{N}_{0}(x)$とする．このとき$N_{0} \cap N_{0}' \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x)$より$N_{0}'' \in \mathcal{N}_{0}(x)$であって$N_{0}'' \subset N_{0} \cap N_{0}'$を満たすものが存在する．
   4. $N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x)$とする．このとき$N_{0} \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x)$に対して，$N \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x)$であって
      $$ \forall y \in N,\ N_{0} \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(y)$$
      を満たすものが存在する．そこで$N_{0}' \in \mathcal{N}_{0}(x)$であって$N_{0}' \subset N$を満たすものを取ると，任意の$y \in N_{0}'$に対して，$N_{0} \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(y)$より，$N_{0}'' \in \mathcal{N}_{0}(y)$であって$N_{0}'' \subset N_{0}$を満たすものが存在する．
2. 逆に$\mathcal{N}_{0}$が上の条件1.から4.を満たすとする．$x \in X$とする．$\mathcal{N}_{0}(x) \neq \varnothing$より$X \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x)$が成り立つ．
   1. 任意の$N \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x)$に対して，$x \in \prescript{\exists}{}{N_{0}}_{\in\mathcal{N}_{0}(x)} \subset N$が成り立つ．
   2. $N,N' \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x)$とすると，$N_{0},N_{0}' \in \mathcal{N}_{0}(x)$であって$N_{0} \subset N,\,N_{0}' \subset N'$を満たすものが存在する．よって$N_{0}'' \in \mathcal{N}_{0}(x)$であって
      $$ N_{0}'' \subset N_{0} \cap N_{0}' \subset N \cap N'$$
      を満たすものが存在するので，$N \cap N' \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x)$を得る．
   3. $N \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x), N \subset M \implies M \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x)$は明らか．
   4. $N \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x)$とし，$N_{0} \subset N$なる$N_{0} \in \mathcal{N}_{0}(x)$を取る．このとき$N_{0}' \in \mathcal{N}_{0}(x)$であって
      $$ \forall y \in N_{0}',\ \exists N_{0}'' \in \mathcal{N}_{0}(y),\ N_{0}'' \subset N_{0}$$
      を満たすものが存在する．そこで$N' := N_{0}' \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(x)$とおくと，任意の$y \in N'$に対して，$N_{0} \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(y)$が成り立つので，$N_{0} \subset N$と合わせて$N \in \overline{\mathcal{N}_{0}}(y)$を得る．

Galois随伴$(\id_{\mathbb{N}},\id_{\mathbb{N}})$に対応する分割が
$$ \{2n \mid n \in \mathbb{N}\},\ \{2m+1 \mid m \in \mathbb{N}\}$$
である．

$L:= \{n^{2} \mid n \in \mathbb{N}\}, R:= \mathbb{N} \smallsetminus L$とおくと$(L,R)$は$\mathbb{N}$の分割であるから，対応するGalois随伴$(\lambda,\rho)$が存在する．明らかに
$$ \lambda(n) = n^{2}-n$$
であり，
\begin{align} n^{2}-n \leq m = \left\lfloor m+\frac{3}{4} \right\rfloor &\iff n^{2}-n \leq m+\frac{3}{4}\\ &\iff \left(n-\frac{1}{2}\right)^{2} \leq m+1\\ &\iff n-\frac{1}{2} \leq \sqrt{m+1}\\ &\iff n \leq \left\lfloor \frac{1}{2} + \sqrt{m+1} \right\rfloor \end{align}
より，その右随伴$\rho$は
$$ \rho(m) = \left\lfloor \frac{1}{2} + \sqrt{m+1} \right\rfloor$$
で与えられる．よって非平方数全体$R$は
$$ R = \{\rho(m) + m+1 \mid m \in \mathbb{N}\} = \left\{ \left\lfloor \frac{1}{2} + \sqrt{m} \right\rfloor + m \,\middle|\ m \in \mathbb{N}_{>0}\right\}$$
で与えられる．

実数$r > 0$を固定する．このとき任意の$n,m \in \mathbb{N}$に対して
$$ \lceil rn \rceil \leq m \iff rn \leq m \iff n \leq r^{-1}m \iff n \leq \lfloor r^{-1}m \rfloor$$
が成り立つので，部分集合
$$ \{\lceil rn \rceil +n \mid n \in \mathbb{N}\} = \{\lceil (r+1)n \rceil \mid n \in \mathbb{N}\}$$
と
$$ \{\lfloor r^{-1}m \rfloor +m+1 \mid m \in \mathbb{N}\} = \{\lfloor (r^{-1}+1)m \rfloor +1 \mid m \in \mathbb{N}\}$$
とは$\mathbb{N}$の分割を与える．分割に現れる数列の“係数”の逆数和について
$$ \frac{1}{r+1} + \frac{1}{r^{-1}+1} = 1$$
が成り立つことに注意する．

逆に，正実数$r,s > 0$が
$$ \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1$$
を満たすとする．このとき
$$ r,s > 1,\ (r-1)(s-1) = 1$$
に注意すると，
\begin{align} \lceil rn \rceil -n \leq m &\iff \lceil rn \rceil \leq n+m\\ &\iff rn \leq n+m\\ &\iff (r-1)n \leq m\\ &\iff n \leq (s-1)m = (sm+1)-m-1\\ &\iff n \leq ( \lfloor sm \rfloor +1) -m-1 \end{align}
が成り立つことがわかる．よって，部分集合$\{\lceil rn \rceil \mid n \in \mathbb{N}\}$と$\{\lfloor sm \rfloor +1 \mid m \in \mathbb{N}\}$とは$\mathbb{N}$の分割を与える．

無理数$r > 0$を固定する．このとき任意の$n,m \in \mathbb{N}$に対して\begin{align} \lfloor rn \rfloor \leq m &\iff rn-1 < m\\ &\iff rn \leq m+1\\ &\iff n \leq r^{-1}(m+1)\\ &\iff n \leq \lfloor r^{-1}(m+1) \rfloor \end{align}
が成り立つ（2つ目の$\impliedby$において$r \notin \mathbb{Q}$が効いてくる）．よって，部分集合
$$ \{\lfloor rn \rfloor + n \mid n \in \mathbb{N}\}= \{\lfloor (r+1)n \rfloor \mid n \in \mathbb{N}\}$$
と
\begin{align} \{\lfloor r^{-1}(m+1) \rfloor + m+1 \mid m \in \mathbb{N}\} &= \{\lfloor (r^{-1}+1)(m+1) \rfloor \mid m \in \mathbb{N}\}\\ &= \{\lfloor (r^{-1}+1)m \rfloor \mid m \in \mathbb{N}_{>0}\} \end{align}
とは$\mathbb{N}$の分割を与える．やはり
$$ \frac{1}{r+1} + \frac{1}{r^{-1}+1} = 1$$
が成り立つ．

逆に，無理数$r,s > 0$が
$$ \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1$$
を満たすとする．このとき
$$ r,s > 1,\ (r-1)(s-1) = 1$$
に注意すると，
\begin{align} \lfloor rn \rfloor - n \leq m &\iff (rn-1) -n< m\\ &\iff (r-1)n \leq m+1\\ &\iff n \leq (s-1)(m+1) = s(m+1) -m-1\\ &\iff n \leq \lfloor s(m+1) \rfloor -m-1 \end{align}
が成り立つことがわかる．よって，部分集合$\{\lfloor rn \rfloor \mid n \in \mathbb{N}\}$と
$$ \{\lfloor s(m+1) \rfloor \mid m \in \mathbb{N}\} = \{\lfloor sm \rfloor \mid m \in \mathbb{N}_{>0}\}$$
とは$\mathbb{N}$の分割を与える．数列$(\lfloor rn \rfloor)_{n>0},\,(\lfloor sm \rfloor)_{m>0}$を（相補的な）Beatty数列という．

$N \in \mathbb{N}_{>0}$とする．
$$ \frac{1}{r}+\frac{1}{s} = 1,\ r-s = N$$
を$r>s>0$のもとで解くと
$$ (r,s) = \left(1+\frac{\sqrt{N^{2}+4}+N}{2}, 1 + \frac{\sqrt{N^{2}+4}-N}{2}\right) =: (r_{N},s_{N})$$
を得る．$\sqrt{N^{2}+4} \notin \mathbb{Q}$より$r_{N},s_{N} \notin \mathbb{Q}$であり，任意の$n \in \mathbb{N}_{>0}$に対して
$$ \lfloor r_{N}n \rfloor - \lfloor s_{N}n \rfloor = \lfloor (s_{N}+N)n \rfloor - \lfloor s_{N}n \rfloor = Nn$$
が成り立つ．

逆に，正の無理数$r>s>0$に対して
$$ \frac{1}{r}+\frac{1}{s} = 1$$
および
$$ \forall n \in \mathbb{N}_{>0},\ \lfloor rn \rfloor - \lfloor sn \rfloor = Nn$$
が成り立つならば，
$$ (rn-1)-sn < \lfloor rn \rfloor - \lfloor sn \rfloor = Nn < rn-(sn-1),$$
したがって
$$ -\frac{1}{n} < N-(r-s)<\frac{1}{n}$$
が成り立つので，$n\to\infty$として$N=r-s$を得る．よってそのような無理数の組は
$$ (r,s) = (r_{N},s_{N})$$
しかない．たとえば

• $(r_{1},s_{1}) = \qty(1+\frac{\sqrt{1+4}+1}{2},1+\frac{\sqrt{1+4}-1}{2}) = (\varphi+1,\varphi) = (\varphi^{2},\varphi)$;
• $(r_{2},s_{2}) = \qty(1+\frac{\sqrt{4+4}+2}{2},1+\frac{\sqrt{4+4}-2}{2})= \qty(\sqrt{2}+2,\sqrt{2})$.