デデキント・マクニール完備化

• $(\Rightarrow)$：$z\in\lower{\{x\}}$を任意に取ると，$z\le x\le y$より$z\in\lower{\{y\}}$が成り立つ．
• $(\Leftarrow)$：反射律より$x\in\lower{\{x\}}\subset\lower{\{y\}}$となるから$x\le y$である．

1. $a\in A$を任意に取る．このとき任意の$u\in\upper{A}$に対して$a\le u$が成り立つから，$a$は$\upper{A}$の下界であり$a\in\dmcl{A}$を得る．同様に，任意の$l\in\lower{A}$に対して$l\le a$が成り立つから，$a$は$\lower{A}$の上界であり$a\in A^{\mathrm{lu}}$も成り立つ．
2. $u\in\upper{B}$と$a\in A$を任意に取ると，$A\subset B$より$a\in B$だから$a\le u$が成り立ち，$u\in\upper{A}$を得る．$\lower{A}\supset\lower{B}$も同様に示せる．
3. (2)より$\upper{A}\supset\upper{B}$が成り立つから，再び(2)を使えば$\dmcl{A}\subset\dmcl{B}$を得る．$A^{\mathrm{lu}}\subset B^{\mathrm{lu}}$も同様に示せる．
4. (1)より$A\subset \dmcl{A}$が成り立つから，(2)より$\upper{A}\supset A^{\mathrm{ulu}}$である．また，(1)より$\upper{A}\subset A^{\mathrm{ulu}}$でもある．$A^{\mathrm{lul}}=\lower{A}$も同様に示せる．

$S$の任意の部分集合$A$に対して，下記2点より$\sup_{S}(\lower{A})$が$A$の下限となる．

• $\sup_{S}(\lower{A})=\min(A^{\mathrm{lu}})$と$A^{\mathrm{lu}}\supset A$より，$\sup_{S}(\lower{A})$は$A$の下界である．
• $A$の下界$x\in S$を任意に取ると，$x\in\lower{A}$より$x\le \sup_{S}(\lower{A})$が成り立つ．

$x,y\in S$が$\iota(x)=\iota(y)$を満たすとき，反射律より$\iota(x)\le\iota(y)$かつ$\iota(x)\ge\iota(y)$が成り立つ．すると$\iota$が順序を反映することから$x\le y$かつ$x\ge y$となり，反対称律より$x=y$を得る．

0. 条件1より$x\le x^{\ast}$だから，条件2より$x^{\ast}\le x^{\ast\ast}$となる．これと条件3を合わせればよい．
1. 任意の$x\in\pushout{\operatorname{Cl}}(L)$に対して，$x=y^{\ast}$を満たす$y\in L$を取れば$x^{\ast}=y^{\ast\ast}=y^{\ast}=x$となる．逆の包含は明らか．
2. まず上限について，任意の$x\in S$に対して
   $$ x\le\sup\nolimits_L(S)\le\sup\nolimits_L(S)^{\ast}$$
   が成り立つから，$\sup\nolimits_L(S)^{\ast}$は$S$の上界である．また$S$の上界$u\in\pushout{\operatorname{Cl}}(L)$を任意に取ると，$\sup_L(S)\le u$より
   $$ \sup\nolimits_L(S)^{\ast}\le u^{\ast}=u$$
   が成り立つから，$\sup\nolimits_L(S)^{\ast}$は$S$の上界の最小元であり$\sup_{\pushout{\operatorname{Cl}}(L)}(S)=\sup_{L}(S)^{\ast}$を得る．
   下限については，$\inf_{L}(S)\in\pushout{\operatorname{Cl}}(L)$であることを示せばよい．任意の$x\in S$に対して，$\inf_{L}(S)\le x$より$\inf_{L}(S)^{\ast}\le x^{\ast}=x$が成り立つ（$x\in S\subset\pushout{\operatorname{Cl}}(L)$に注意）．よって$\inf_{L}(S)^{\ast}$は$L$における$S$の下界だから$\inf_{L}(S)^{\ast}\le \inf_{L}(S)$を得る．

前命題から従う．

1. 既に示した通り$\lower{\{x\}}=\{x\}^{\mathrm{lul}}$が成り立つから，$\iota(x)=\dmcl{\iota(x)}$である．
2. 既に示した通り，$x,y\in S$について$x\le y$であることと$\lower{\{x\}}\subset\lower{\{y\}}$であることは同値である．

写像$j':\dm{S}\ni A\mapsto \sup_{L}(\pushout{j}(A))\in L$が所望の性質を満たすことを確認する．まず任意の$x\in S$に対して，下記2点より$j(x)=(j'\circ \iota)(x)$が成り立つ．

• 任意の$y\in\iota(x)$に対して$y\le x$より$j(y)\le j(x)$が成り立つから，$j(x)$は$\pushout{j}(\iota(x))$の上界である．
• 反射律$x\in\iota(x)$より$j(x)\in\pushout{j}(\iota(x))$であることを踏まえると，$\pushout{j}(\iota(x))$の任意の上界$u\in L$に対して$j(x)\le u$が成り立つ．

また，下記2点より$j'$は順序埋め込みである．

• $A,B\in\dm{S}$が$A\subset B$を満たすとき，$\pushout{j}(A)\subset\pushout{j}(B)$より$j'(A)\le j'(B)$である．
• $A,B\in\dm{S}$が$j'(A)\le j'(B)$を満たすとし，$a\in A$と$u\in\upper{B}$を任意に取る．このとき$j$の単調増加性より$j(u)$は$\pushout{j}(B)$の上界となるので
  $$ j(a)\le \sup\nolimits_{L}(\pushout{j}(A))=j'(A)\le j'(B) =\inf\nolimits_{L}(\upper{\pushout{j}(B)})\le j(u)$$
  より$a\le u$が成り立ち，$a\in \dmcl{B}=B$である．

次の2式を示せば十分．

• $A\subset\bigcup\pushout{\iota}(A)\subset\dmcl{A}$.

  $a\in A$のとき，反射律より$a\in\iota(a)$が成り立つから$$ a\in \bigcup\{\iota(a')\mid a'\in A\}=\bigcup\pushout{\iota}(A)$$である．また$x\in\bigcup\pushout{\iota}(A)$のとき，$x\in\iota(a)$を満たす$a\in A$が存在する．このとき任意の$u\in\upper{A}$に対して$x\le a\le u$が成り立つから，$x\in\dmcl{A}$となる．

• $A\subset\bigcap \pushout{\iota}(\upper{A})\subset\dmcl{A}$.

  $a\in A$のとき，任意の$u\in\upper{A}$に対して$a\le u$より$a\in\iota(u)$が成り立つから
  $$ a\in \bigcap\{\iota(u)\mid u\in\upper{A}\}=\bigcap\pushout{\iota}(\upper{A})$$
  である．また$x\in\bigcap\pushout{\iota}(\upper{A})$のとき，任意の$u\in\upper{A}$に対して$x\in\iota(u)$より$x\le u$が成り立つから，$x\in\dmcl{A}$となる．

$\mathbb{N}$の部分集合$A$に対して，次のことが成り立つ．

• $A$が上に有界である場合：$\upper{A}$の最小元$n$が存在して$\dmcl{A}=\{0,1,\ldots,n\}$が成り立つ．
• $A$が上に有界でない場合：$\dmcl{A}=\lower{\emptyset}=\mathbb{N}$が成り立つ．

したがって$\dm{\mathbb{N}}=\{\{0,1,\ldots,n\}\mid n\in\mathbb{N}\}\cup\{\mathbb{N}\}$である．すると，次の写像$j:\mathbb{N}\cup\{\infty\}\to\dm{\mathbb{N}}$は明らかに順序同型である．
$$ j(n):=\begin{cases}\{0,1,\ldots,n\} & (n\in\mathbb{N}),\\\mathbb{N} & (n=\infty).\end{cases}$$

順序埋め込み$\iota:\mathbb{Q}\ni x\mapsto(-\infty,x]\cap\mathbb{Q}\in\dm{\mathbb{Q}}$と包含写像$j:\mathbb{Q}\to\overline{\mathbb{R}}$に対して，$j=j'\circ\iota$を満たす順序埋め込み$j':\dm{Q}\to\overline{\mathbb{R}}$が存在し，この$j'$の全射性が次のように示せる．

• $y\in\mathbb{R}$を任意に取り，$A:=(-\infty,y]\cap\mathbb{Q}$とおく．このとき$\mathbb{Q}$の稠密性より
  $$ \dmcl{A}=\lower{([y,\infty)\cap\mathbb{Q})}=(-\infty,y]\cap\mathbb{Q}=A$$
  が成り立つから，$A\in\dm{\mathbb{Q}}$であり拡大実数$j'(A)\in\overline{\mathbb{R}}$を考えることができる．$y=j'(A)$を示すため$\varepsilon\in(0,\infty)$を任意に取ると，$y-\varepsilon< x_{-}\le y\le x_{+}< y+\varepsilon$を満たす有理数$x_{-},x_{+}\in\mathbb{Q}$が存在し，$j'$が順序埋め込みであることから
  $$ y-\varepsilon< x_{-}=j'((-\infty,x_{-}]\cap\mathbb{Q})\le j'(A)\le j'((-\infty,x_{+}]\cap\mathbb{Q})=x_{+}< y+\varepsilon$$
  が成り立つ．よって$\varepsilon$の任意性より$y=j'(A)$を得る．
• $\dmcl{\emptyset}=\lower{\mathbb{Q}}=\emptyset$より$\emptyset\in\dm{\mathbb{Q}}$であることに注意すると，拡大実数$j'(\emptyset)\in\overline{\mathbb{R}}$を考えることができる．ところで$j'$は順序埋め込みだから，任意の有理数$x\in\mathbb{Q}$に対して
  $$ x=j(x)=j'((-\infty,x]\cap\mathbb{Q})\ge j'(\emptyset)$$
  が成り立ち，$j'(\emptyset)=-\infty$を得る．同様にして$j'(\mathbb{Q})=\infty$も成り立つ．