チェビシェフ定数とフェケテ定数

　以下簡単のため$M=t_n(E)$とし、$|T_n(z)|=M$を満たすような点$z\in E$が$m\leq n$個しか存在しないとする。
　いまそのような点を$z_1,z_2,\ldots,z_m$とし、$m-1$次多項式$p$を
$$p(z_j)=T_n(z_j)\qquad(j=1,2,\ldots,m)$$
によって定め、$z_j$の近傍$U_j\subset E$を
$$\Re(T_n(z)\ol{p(z)})> M^2/2\qquad(z\in U_j)$$
を満たすように取り$E'=E\setminus\bigcup^m_{j=1}U_j$とおく。
　このとき十分小さい実数$\e>0$に対し
$$f=T_n-\e p$$
とおくと
\begin{align} (z\in U_j)\qquad|f(z)|^2 &=|T_n(z)|^2-2\e\Re(T_n(z)\ol{p(z)})+\e^2|p(z)|^2e\\ &< M^2-\e M^2+\e^2\|p\|_E^2\\ &< M^2\\ (z\in E')\qquad|f(z)|&\leq\|T\|_{E'}+\e\|p\|_E< M \end{align}

と評価できる、つまり$\|f\|_E< M$が成り立つのに対し、$f$は$n$次モニック多項式であるので$M=t_n(E)$の最小性に矛盾。よって主張を得る。

存在性

　Lagrangeの補間公式なり $\C$-線形空間のノルムの同値性 なりからある定数$C>0$が存在して
\begin{align} &|z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0|\leq M\\ \Rightarrow{}& |a_0|,|a_1|,\ldots,|a_{n-1}|\leq CM \end{align}
が成り立つので、$\C^n$から$\R_{>0}$への写像
$$(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1})\mapsto\max_{z\in E}|z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0|$$
は適当な有界集合上で最小値を取ることがわかる。

一意性

　$n$次Chebyshev多項式$f,g$に対し
$$h=\frac{f+g}2$$
とおいたとき
$$|h(z)|\leq\frac{|f(z)|+|g(z)|}2\leq t_n(E)$$
が成り立つので$h$もChebyshev多項式となる。
　いま上の補題からある$n+1$個の点$z_0,z_1,\ldots,z_n$で
$$|h(z_j)|=t_n(E)$$
が成り立ち、特に上の不等式の等号成立条件からこれらの点において
$$f(z_j)=g(z_j)$$
が成り立つことになる。よって$f,g$は$n$次多項式であったことに注意すると$f=g$を得る。

$$\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}n\leq\inf_n\frac{a_n}n$$
が成り立つことを示せばよい。
　いま$m$を固定し自然数$n$に対し
$$n=qm+r\qquad(0\leq r< m-1)$$
なる整数$q,r$を取ると
$$a_n\leq qa_m+a_r$$
が成り立つので、この両辺を$n$で割って$n\to\infty$とすることで
$$\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}n\leq\frac{a_m}m$$
がわかり、$m$は任意であったことに注意すると所望の不等式を得る。

　$n$次Chebyshev多項式を$T_n$とおいたとき
$$t_{n+m}(E)\leq\|T_nT_m\|_E\leq\|T_n\|_E\|T_m\|_E=t_n(E)t_m(E)$$
が成り立つ、つまり$\log t_n(E)$は劣加法性を満たすのでFeketeの補題より主張を得る。

　$z_1,z_2,\ldots,z_n$を$n$次のFekete点とすると、$k=1,2,\ldots,n$に対し
\begin{align} d_n(E) &=\prod_{1\leq i< j\leq n}|z_i-z_j|\\ &=\prod_{\substack{1\leq i< j\leq n\\i,j\neq k}}|z_i-z_j|\prod_{j\neq k}|z_k-z_j|\\ &\leq d_{n-1}(E)\prod_{j\neq k}|z_k-z_j| \end{align}
が成り立つのでこれを$k=1,2,\ldots,n$について掛け合わせることで
$$d_n(E)^n\leq d_{n-1}(E)^nd_n(E)^2$$
つまり
$$d_n(E)^{2/n(n-1)}\leq d_{n-1}(E)^{2/(n-1)(n-2)}$$
を得る。

　上での議論から
$$\tau(E)=\inf_n t_n(E)^{1/n},\quad\d(E)=\inf_nd_n(E)^{2/n(n-1)}$$
が成り立つことに注意するとわかる。

　明らか。

一つ目の不等号について

　$z_1,z_2,\ldots,z_n$を$n$次のFekete点とし
$$F(z)=\prod^n_{j=1}(z-z_k)$$
に対し$|F(\z)|=\|F\|_E$なる点$\z\in E$を取ると
$$t_n(E)d_n(E)\leq\|F\|_E\,d_n(E) =\prod_{1\leq j\leq n}|\z-z_j|\prod_{1\leq i< j\leq n}|z_i-z_j| \leq d_{n+1}(E)$$
を得る。

二つ目の不等号について

　$z_1,z_2,\ldots,z_{n+1}$を$n+1$次のFekete点、$T_n$を$n$次のChebyshev多項式とする。
　このときVandermonde行列式の公式から
$$d_{n+1}(E) =|\det\begin{pmatrix} 1&z_1&z_1^2&\cdots&z_1^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&z_{n+1}&z_{n+1}^2&\cdots&z_{n+1}^n \end{pmatrix}|$$
と表せ、これに適当な基本変形を施すことで
$$d_{n+1}(E) =|\det\begin{pmatrix} 1&z_1&\cdots&z_1^{n-1}&T_n(z_1)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 1&z_{n+1}&\cdots&z_{n+1}^{n-1}&T_n(z_{n+1}) \end{pmatrix}|$$
が成り立つ。またこの第$n+1$列に関する各余因子もまたVandermonde行列式となることに注意すると
$$d_{n+1}(E)\leq\sum^{n+1}_{i=1}|T_n(z_i)|d_n(E)\leq(n+1)t_n(E)d_n(E)$$
を得る。

　上の不等式を$n=1,2,3,\ldots$について掛け合わせることで
$$t_1(E)t_2(E)\cdots t_n(E)\leq d_{n+1}(E)\leq(n+1)!\c t_1(E)t_2(E)\cdots t_n(E)$$
が成り立ち、また Stolz-Cesàroの定理 などから
$$\lim_{n\to\infty}\frac2{n(n+1)}\sum^n_{k=1}k\c\frac{\log t_k(E)}k =\lim_{n\to\infty}\frac{\log t_k(E)}n=\log\tau(E)$$
が成り立つことに注意すると
$$\lim_{n\to\infty}\frac2{n(n+1)}\log d_{n+1}(E)=\log\d(E)=\log\tau(E)$$
を得る。

　$n$次Chebyshev多項式$T_n(x)$について$\|\Re T_n\|_E\leq\|T_n\|_E$より$T_n$は実数係数でなければならないことに注意する。
　いま
$$f(x)=2^{1-n}\cos(n\arccos x)$$
について$\|T_n\|_E<\|f\|_E=2^{1-n}$が成り立つとすると
$$g=f-T_n$$
は$f$の極値点$x_j=\cos\frac{\pi j}{n}$において
\begin{align} (j:\mathrm{even})\qquad g(x_j)&\geq 2^{1-n}-\|T_n\|_E>0\\ (j:\mathrm{odd})\qquad g(x_j)&\leq -2^{1-n}+\|T_n\|_E<0 \end{align}
を満たすので$g$は
$$x_{j+1}< x< x_j\qquad(j=0,1,2,\ldots,n-1)$$
において零点を持つことがわかる。
　特に$g$は少なくとも$n$個の零点を持つ$n-1$次多項式、つまり$g=0$となって矛盾。よって$\|T_n\|_E=\|f\|_E$でなければならず、Chebyshev多項式の一意性より主張を得る。

　上の定理より$t_n([-1,1])=2^{1-n}$つまり$\tau([-1,1])=1/2$と求まるので
$$\tau([a,b])=\tau\l(\frac{b-a}2[-1,1]+\frac{a+b}2\r)=\frac{b-a}4$$
を得る。

　$n$次のFekete点を
$$\a_1<\a_2<\cdots<\a_n$$
とおいたとき、簡単な議論から$\a_1=-1,\a_n=1$がわかり、またその他の点は$E$の内部にあることから
$$V(\x)=\prod_{1\leq i,j\leq n}(x_i-x_j)$$
という$n$変数関数はFekete点において
$$\frac{\partial V}{\partial x_j}(\aa)=0\qquad(j=2,3,\ldots,n-1)$$
を満たさなければならないことがわかる。
　いま
$$F(x)=\prod^n_{j=1}(x-a_j)$$
とおくと
$$\frac{\partial_jV(\aa)}{V(\aa)}=\frac{F''(\a_j)}{F'(\a_j)}=\sum^n_{\substack{i=1\\i\neq j}}\frac1{\a_j-\a_i}$$
が成り立つことから$F$は
$$F''(\a_j)=0\qquad(j=2,3,\ldots,n-1)$$
を満たす、特に$F''$の最高次の係数に注意すると
$$(x^2-1)F''(x)=n(n-1)F(x)$$
という微分方程式を満たすことがわかる。そしてこれとLegendreの微分方程式
$$\frac{d}{dx}\l((1-x^2)\frac{dP_{n-1}}{dx}\r)+n(n-1)P_{n-1}=0$$
とを比較することで$F(x)$は$(x^2-1)P'_{n-1}(x)$の定数倍に等しいことがわかる。