三角関数の無限積を拡張した以下のような関数について考えました。
追記:間違いを訂正しました
複素関数は2次元の静電場を表すことを知り、いろいろな電荷分布における電場を考えました。位置
という関数で表され、複数の電荷が作る電場は
と表せます。ここで
対数の中を
になります。ここで
を考えます。
より
これを描画すると以下のようになります。
並んだ電荷が作る電場
複素関数が多価のときもプログラムの関数は一つの主値を返すよう作られているので、別の分岐の関数を手動で求めて足さないといけません。
定数倍はノーカンなので
逆関数は
正負が交互に並んだ場合
ここまでくると、格子状にならんだ電荷が作る電場を知りたくなります。ここで冒頭の式がでてくるわけです。
まず
格子
まず以下の式
を得ます。
であることをふまえ
となります。今度は
これから同様の計算をし
この2つの式はかける順番を変えただけで同じはずですが、これらの関数には縦横の"向き"が違っています。そもそも縦横対称の格子なのに向きが生じる時点でおかしいです。実際
とすると
"正解"を知るため
似たようなケースは例えば以下の級数でも起こります。
これは以下のように足し方を変えると違う値になります。
今回もx方向とy方向で均等に掛けないために違いが生まれたようです。
なるべく均等にかけるため下図のように4つをまとめて掛けたらどうなるでしょうか
4つづつまとめる
の形の項をすべてかけると
という形になります。ここで
これに
また
前と同じ形になりました。はじめ計算ミスをしていて違うことをしているつもりでしたが、結局同じことをしていました。失礼しました。
均等に二重カウントする
上図の同じ色のラインをまとめてかけていくと、すべての点で二重カウントされることがわかります。この計算は結果的にさきほどの
よって
これを描画すると以下のようになりました。
ルートを取ったので正負が逆になっているところがありますが、正しく分岐をとれば
はかける順番により以下のような違う関数に近づく
周期的な電位分布
ここで
ここで
コーシー・リーマンの方程式
です。なので
同じことを言ってるのがポアソンの方程式で、電荷がある点だけ
となります。後に考えたことですが、
この式に
部分和をプロットしてみると以下のようになります。
これに対応する複素関数はあるのかということなのですが、
いろいろ関連分野について調べたところ、楕円関数がこれに関係あることがわかりました。複素平面で格子の周期性をもつ関数を楕円関数とよぶそうです。(これのことだったのか!!!)
今回得た2つの関数はテータ関数
まずテータ関数
とします。すると
となるようです。そして
としたときのヴァイエルシュトラスの
となります。そして
だそうです。ここらへんは後に勉強しようと思います。
格子電荷の電場に対応する正解の複素関数はヴァイエルシュトラスの
すきまに負電荷が挟まってる!!!
現実の結晶とかはこうなっているので、数学のほうが現実に詳しいってことでしょうか?驚きです。
ありがとうございました。