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現代数学解説
文献あり

超幾何関数の積2

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{BQ}[5]{{}_{#1}\psi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{inv}[0]{\mathrm{inv}} \newcommand{maj}[0]{\mathrm{maj}} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

左辺の項が2つに分かれるタイプの結果として, 以下の公式がある.

Preece(1924)

\begin{align} \F11{a}{b}{x}\F11{1+a-b}{2-b}{-x}&=\F23{a+\frac{1-b}2,\frac{b+1}2-a}{\frac 12,\frac{b+1}2,\frac{3-b}{2}}{\frac{x^2}4}\\ &\qquad +\frac{(2a-b)(1-b)}{b(2-b)}x\F23{1+a-\frac b2,1+\frac b2-a}{1+\frac b2,2-\frac b2,\frac 32}{\frac{x^2}4} \end{align}

\begin{align} &\F11{a}{b}{x}\F11{1+a-b}{2-b}{-x}\\ &=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a)_k}{k!(b)_k}\frac{(1+a-b)_{n-k}}{(n-k)!(2-b)_{n-k}}(-1)^{n-k}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-b)_n}{n!(2-b)_n}(-x)^n\F32{b-n-1,a,-n}{b-a-n,b}1 \end{align}
ここで, Dixonの和公式より,
\begin{align} \F32{a,b,-n}{1+a-b,1+a+n}1&=\frac{\left(1+a,1+\frac a2-b\right)_n}{\left(1+\frac a2,1+a-b\right)_n} \end{align}
であるから, $a\mapsto b-n-1, b\mapsto a$として,
\begin{align} \F32{b-n-1,a,-n}{b-a-n,b}1&=\frac{\left(b-n,\frac {b-n+1}2-a\right)_n}{\left(\frac{b-n+1}2,b-a-n\right)_n}\\ &=\frac{\left(1-b,\frac {b-n+1}2-a\right)_n}{\left(\frac{b-n+1}2,1+a-b\right)_n} \end{align}
$n=2k$のとき,
\begin{align} \frac{\left(1-b,\frac {b-n+1}2-a\right)_n}{n!\left(\frac{b-n+1}2,2-b\right)_n}&=\frac{\left(1-b,\frac {b+1}2-a-k\right)_{2k}}{\left(1,\frac{b+1}2-k,2-b\right)_{2k}}\\ &=\frac{\left(\frac {b+1}2-a,\frac{1-b}2+a\right)_{k}}{4^k\left(1,\frac 12,\frac{b+1}2,\frac{3-b}2\right)_{k}} \end{align}
$n=2k+1$のとき,
\begin{align} \frac{\left(1-b,\frac {b-n+1}2-a\right)_n}{n!\left(\frac{b-n+1}2,2-b\right)_n}&=\frac{\left(1-b,\frac {b}2-a-k\right)_{2k+1}}{\left(1,\frac{b}2-k,2-b\right)_{2k+1}}\\ &=\frac{(1-b)(b-2a)}{b(2-b)}\frac{(2-b)_{2k}\left(\frac b2-a-k,\frac b2-a+1\right)_k}{\left(2,3-b\right)_{2k}\left(\frac b2-k,\frac b2+1\right)_k}\\ &=\frac{(1-b)(b-2a)}{b(2-b)}\frac{\left(1+a-\frac b2,\frac b2-a+1\right)_k}{4^k\left(1,\frac 32,2-\frac b2,\frac b2+1\right)_k} \end{align}
となるから, 定理を得る.

上の等式は, 微分方程式を用いることによってより見通しの良い証明を得ることもできる.

$x\mapsto \frac xa$として, $a\to\infty$とすると以下の系を得る.

\begin{align} \F01{-}{b}{x}\F01{-}{2-b}{-x}&=\F03{-}{\frac 12,\frac{b+1}2,\frac{3-b}2}{-\frac{x^2}4}\\ &\qquad+\frac{2(1-b)}{b(2-b)}x\F03{-}{\frac 32,1+\frac b2,2-\frac b2}{-\frac{x^2}4} \end{align}

収束半径が$0$の級数

以下の定理に現れる級数は収束半径が$0$であるが, 形式的べき級数の間の等式として成立する.

Bailey(1928)

\begin{align} \F20{a,b}{-}{x}\F20{a,b}{-}{-x}&=\F41{a,b,\frac{a+b}2,\frac{a+b+1}2}{a+b}{4x^2} \end{align}

左辺は奇数次の項がないので,
\begin{align} \F20{a,b}{-}{x}\F20{a,b}{-}{-x}&=\sum_{0\leq n}x^{2n}\sum_{k=0}^{2n}\frac{(a,b)_k}{k!}\frac{(a,b)_{2n-k}}{(2n-k)!}(-1)^k\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_{2n}}{(2n)!}x^{2n}\F32{-2n,a,b}{1-2n-a,1-2n-b}1 \end{align}
ここで, Dixonの恒等式より,
\begin{align} \F32{-2n,a,b}{1-2n-a,1-2n-b}1&=(-1)^n\frac{\Gamma(1-2n-a)\Gamma(1-2n-b)\Gamma(1-n-a-b)}{\Gamma(1-n-a)\Gamma(1-n-b)\Gamma(1-2n-a-b)}\frac{(2n)!}{n!}\\ &=\frac{(a,b)_n(a+b,1)_{2n}}{(a,b)_{2n}(a+b,1)_n} \end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.

Bailey(1928)

\begin{align} \F20{a,1-a}{-}{x}\F20{b,1-b}{-}{-x}&=\F41{\frac{1+a-b}2,\frac{1-a+b}2,\frac{a+b}2,\frac{2-a-b}2}{\frac 12}{4x^2}\\ &\qquad -(a-b)(a+b-1)x\F41{\frac{2+a-b}2,\frac{2-a+b}2,\frac{a+b+1}2,\frac{3-a-b}2}{\frac 32}{4x^2} \end{align}

\begin{align} \F20{a,1-a}{-}{x}\F20{b,1-b}{-}{-x}&=\sum_{0\leq n}(-x)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,1-a)_k}{k!}\frac{(b,1-b)_{n-k}}{(n-k)!}(-1)^k\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(b,1-b)_n}{n!}(-x)^n\F32{a,1-a,-n}{1-n-b,b-n}1 \end{align}
ここで, Whippleの和公式 より,
\begin{align} \F32{a,1-a,-n}{1-n-b,b-n}{1}&=2^{2n+1}\pi\frac{\Gamma(1-n-b)\Gamma(b-n)}{\Gamma\left(\frac{1-n-b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{b-n+a}2\right)\Gamma\left(\frac{2-n-b-a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b-n-a}2\right)} \end{align}
である. $n=2k$のとき,
\begin{align} &2^{2n+1}\pi\frac{\Gamma(1-n-b)\Gamma(b-n)}{\Gamma\left(\frac{1-n-b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{b-n+a}2\right)\Gamma\left(\frac{2-n-b-a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b-n-a}2\right)}\\ &=2^{4k+1}\pi\frac{\Gamma(1-2k-b)\Gamma(b-2k)}{\Gamma\left(\frac{1-b+a}2-k\right)\Gamma\left(\frac{b+a}2-k\right)\Gamma\left(\frac{2-b-a}2-k\right)\Gamma\left(\frac{1+b-a}2-k\right)}\\ &=2^{4k+1}\pi\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(b)}{\Gamma\left(\frac{1-b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{2-b-a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b-a}2\right)}\frac{(1-b,b)_{-2k}}{\left(\frac{1-b+a}2,\frac{b+a}2,\frac{2-b-a}2,\frac{1+b-a}2\right)_{-k}}\\ &=2^{4k}\frac{\left(\frac{1-b+a}2,\frac{b+a}2,\frac{2-b-a}2,\frac{1+b-a}2\right)_{k}}{(1-b,b)_{2k}} \end{align}
$n=2k+1$のとき,
\begin{align} &2^{2n+1}\pi\frac{\Gamma(1-n-b)\Gamma(b-n)}{\Gamma\left(\frac{1-n-b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{b-n+a}2\right)\Gamma\left(\frac{2-n-b-a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b-n-a}2\right)}\\ &=2^{4k+3}\pi\frac{\Gamma(-2k-b)\Gamma(b-2k-1)}{\Gamma\left(\frac{-b+a}2-k\right)\Gamma\left(\frac{b+a-1}2-k\right)\Gamma\left(\frac{1-b-a}2-k\right)\Gamma\left(\frac{b-a}2-k\right)}\\ &=(a+b+1)(a-b)2^{4k+1}\pi\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(b)}{\Gamma\left(\frac{2-b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{b+a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{1-b-a}2\right)\Gamma\left(\frac{b-a}2\right)}\frac{\left(\frac{2-a+b}2,\frac{3-a-b}2,\frac{1+a+b}2,\frac{2+a-b}2\right)_{k}}{(1-b,b)_{2k+1}}\\ &=(a+b+1)(a-b)2^{4k}\frac{\left(\frac{2-a+b}2,\frac{3-a-b}2,\frac{1+a+b}2,\frac{2+a-b}2\right)_{k}}{(1-b,b)_{2k+1}}\\ \end{align}
となるので, これらを代入して定理を得る.

参考文献

[1]
W. N. Bailey, Products of Generalized Hypergeometric Series, Proc. London Math. Soc. (2), 1928, 242-254
投稿日:47
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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