超幾何関数の積2
左辺の項が2つに分かれるタイプの結果として, 以下の公式がある.
\begin{align} \F11{a}{b}{x}\F11{1+a-b}{2-b}{-x}&=\F23{a+\frac{1-b}2,\frac{b+1}2-a}{\frac 12,\frac{b+1}2,\frac{3-b}{2}}{\frac{x^2}4}\\ &\qquad +\frac{(2a-b)(1-b)}{b(2-b)}x\F23{1+a-\frac b2,1+\frac b2-a}{1+\frac b2,2-\frac b2,\frac 32}{\frac{x^2}4} \end{align}
\begin{align}
&\F11{a}{b}{x}\F11{1+a-b}{2-b}{-x}\\
&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(a)_k}{k!(b)_k}\frac{(1+a-b)_{n-k}}{(n-k)!(2-b)_{n-k}}(-1)^{n-k}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-b)_n}{n!(2-b)_n}(-x)^n\F32{b-n-1,a,-n}{b-a-n,b}1
\end{align}
ここで, Dixonの和公式より,
\begin{align}
\F32{a,b,-n}{1+a-b,1+a+n}1&=\frac{\left(1+a,1+\frac a2-b\right)_n}{\left(1+\frac a2,1+a-b\right)_n}
\end{align}
であるから, $a\mapsto b-n-1, b\mapsto a$として,
\begin{align}
\F32{b-n-1,a,-n}{b-a-n,b}1&=\frac{\left(b-n,\frac {b-n+1}2-a\right)_n}{\left(\frac{b-n+1}2,b-a-n\right)_n}\\
&=\frac{\left(1-b,\frac {b-n+1}2-a\right)_n}{\left(\frac{b-n+1}2,1+a-b\right)_n}
\end{align}
$n=2k$のとき,
\begin{align}
\frac{\left(1-b,\frac {b-n+1}2-a\right)_n}{n!\left(\frac{b-n+1}2,2-b\right)_n}&=\frac{\left(1-b,\frac {b+1}2-a-k\right)_{2k}}{\left(1,\frac{b+1}2-k,2-b\right)_{2k}}\\
&=\frac{\left(\frac {b+1}2-a,\frac{1-b}2+a\right)_{k}}{4^k\left(1,\frac 12,\frac{b+1}2,\frac{3-b}2\right)_{k}}
\end{align}
$n=2k+1$のとき,
\begin{align}
\frac{\left(1-b,\frac {b-n+1}2-a\right)_n}{n!\left(\frac{b-n+1}2,2-b\right)_n}&=\frac{\left(1-b,\frac {b}2-a-k\right)_{2k+1}}{\left(1,\frac{b}2-k,2-b\right)_{2k+1}}\\
&=\frac{(1-b)(b-2a)}{b(2-b)}\frac{(2-b)_{2k}\left(\frac b2-a-k,\frac b2-a+1\right)_k}{\left(2,3-b\right)_{2k}\left(\frac b2-k,\frac b2+1\right)_k}\\
&=\frac{(1-b)(b-2a)}{b(2-b)}\frac{\left(1+a-\frac b2,\frac b2-a+1\right)_k}{4^k\left(1,\frac 32,2-\frac b2,\frac b2+1\right)_k}
\end{align}
となるから, 定理を得る.
上の等式は, 微分方程式を用いることによってより見通しの良い証明を得ることもできる.
$x\mapsto \frac xa$として, $a\to\infty$とすると以下の系を得る.
\begin{align} \F01{-}{b}{x}\F01{-}{2-b}{-x}&=\F03{-}{\frac 12,\frac{b+1}2,\frac{3-b}2}{-\frac{x^2}4}\\ &\qquad+\frac{2(1-b)}{b(2-b)}x\F03{-}{\frac 32,1+\frac b2,2-\frac b2}{-\frac{x^2}4} \end{align}
収束半径が$0$の級数
以下の定理に現れる級数は収束半径が$0$であるが, 形式的べき級数の間の等式として成立する.
\begin{align} \F20{a,b}{-}{x}\F20{a,b}{-}{-x}&=\F41{a,b,\frac{a+b}2,\frac{a+b+1}2}{a+b}{4x^2} \end{align}
左辺は奇数次の項がないので,
\begin{align}
\F20{a,b}{-}{x}\F20{a,b}{-}{-x}&=\sum_{0\leq n}x^{2n}\sum_{k=0}^{2n}\frac{(a,b)_k}{k!}\frac{(a,b)_{2n-k}}{(2n-k)!}(-1)^k\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_{2n}}{(2n)!}x^{2n}\F32{-2n,a,b}{1-2n-a,1-2n-b}1
\end{align}
ここで, Dixonの恒等式より,
\begin{align}
\F32{-2n,a,b}{1-2n-a,1-2n-b}1&=(-1)^n\frac{\Gamma(1-2n-a)\Gamma(1-2n-b)\Gamma(1-n-a-b)}{\Gamma(1-n-a)\Gamma(1-n-b)\Gamma(1-2n-a-b)}\frac{(2n)!}{n!}\\
&=\frac{(a,b)_n(a+b,1)_{2n}}{(a,b)_{2n}(a+b,1)_n}
\end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.
\begin{align} \F20{a,1-a}{-}{x}\F20{b,1-b}{-}{-x}&=\F41{\frac{1+a-b}2,\frac{1-a+b}2,\frac{a+b}2,\frac{2-a-b}2}{\frac 12}{4x^2}\\ &\qquad -(a-b)(a+b-1)x\F41{\frac{2+a-b}2,\frac{2-a+b}2,\frac{a+b+1}2,\frac{3-a-b}2}{\frac 32}{4x^2} \end{align}
\begin{align}
\F20{a,1-a}{-}{x}\F20{b,1-b}{-}{-x}&=\sum_{0\leq n}(-x)^n\sum_{k=0}^n\frac{(a,1-a)_k}{k!}\frac{(b,1-b)_{n-k}}{(n-k)!}(-1)^k\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(b,1-b)_n}{n!}(-x)^n\F32{a,1-a,-n}{1-n-b,b-n}1
\end{align}
ここで,
Whippleの和公式
より,
\begin{align}
\F32{a,1-a,-n}{1-n-b,b-n}{1}&=2^{2n+1}\pi\frac{\Gamma(1-n-b)\Gamma(b-n)}{\Gamma\left(\frac{1-n-b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{b-n+a}2\right)\Gamma\left(\frac{2-n-b-a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b-n-a}2\right)}
\end{align}
である. $n=2k$のとき,
\begin{align}
&2^{2n+1}\pi\frac{\Gamma(1-n-b)\Gamma(b-n)}{\Gamma\left(\frac{1-n-b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{b-n+a}2\right)\Gamma\left(\frac{2-n-b-a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b-n-a}2\right)}\\
&=2^{4k+1}\pi\frac{\Gamma(1-2k-b)\Gamma(b-2k)}{\Gamma\left(\frac{1-b+a}2-k\right)\Gamma\left(\frac{b+a}2-k\right)\Gamma\left(\frac{2-b-a}2-k\right)\Gamma\left(\frac{1+b-a}2-k\right)}\\
&=2^{4k+1}\pi\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(b)}{\Gamma\left(\frac{1-b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{2-b-a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b-a}2\right)}\frac{(1-b,b)_{-2k}}{\left(\frac{1-b+a}2,\frac{b+a}2,\frac{2-b-a}2,\frac{1+b-a}2\right)_{-k}}\\
&=2^{4k}\frac{\left(\frac{1-b+a}2,\frac{b+a}2,\frac{2-b-a}2,\frac{1+b-a}2\right)_{k}}{(1-b,b)_{2k}}
\end{align}
$n=2k+1$のとき,
\begin{align}
&2^{2n+1}\pi\frac{\Gamma(1-n-b)\Gamma(b-n)}{\Gamma\left(\frac{1-n-b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{b-n+a}2\right)\Gamma\left(\frac{2-n-b-a}2\right)\Gamma\left(\frac{1+b-n-a}2\right)}\\
&=2^{4k+3}\pi\frac{\Gamma(-2k-b)\Gamma(b-2k-1)}{\Gamma\left(\frac{-b+a}2-k\right)\Gamma\left(\frac{b+a-1}2-k\right)\Gamma\left(\frac{1-b-a}2-k\right)\Gamma\left(\frac{b-a}2-k\right)}\\
&=(a+b+1)(a-b)2^{4k+1}\pi\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(b)}{\Gamma\left(\frac{2-b+a}2\right)\Gamma\left(\frac{b+a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{1-b-a}2\right)\Gamma\left(\frac{b-a}2\right)}\frac{\left(\frac{2-a+b}2,\frac{3-a-b}2,\frac{1+a+b}2,\frac{2+a-b}2\right)_{k}}{(1-b,b)_{2k+1}}\\
&=(a+b+1)(a-b)2^{4k}\frac{\left(\frac{2-a+b}2,\frac{3-a-b}2,\frac{1+a+b}2,\frac{2+a-b}2\right)_{k}}{(1-b,b)_{2k+1}}\\
\end{align}
となるので, これらを代入して定理を得る.
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