二項関係 ⑦

前半に用いる関係を共通部分にした場合、左辺から右辺への包含は成り立つ。
すなわち、
$$ S\circ(R_1\cap R_2)\subseteq(S\circ R_1)\cap(S\circ R_2) $$
である。
しかし、一般には逆向き
$$ (S\circ R_1)\cap(S\circ R_2)\subseteq S\circ(R_1\cap R_2) $$
は成り立たない。
理由は、$(S\circ R_1)\cap(S\circ R_2)$ に属するためには、$S\circ R_1$ を作る中間元と $S\circ R_2$ を作る中間元が別々でもよいからである。
一方、
$$ S\circ(R_1\cap R_2) $$
に属するためには、同じ中間元 $b\in B$ に対して、
$$ (a,b)\in R_1\cap R_2 $$
が成り立つ必要がある。
すなわち、同じ中間元で
$$ (a,b)\in R_1\land (a,b)\in R_2 $$
を満たす必要がある。
したがって、共通部分の場合は和集合の場合と異なり、一般には等号は成り立たず、包含だけが成り立つ。

一般には、
$$ (S\circ R_1)\cap(S\circ R_2)\subseteq S\circ(R_1\cap R_2) $$
は成り立たない。
反例を与える。集合 $A,B,C$ を
$$ A:=\{1\},\qquad B:=\{2,3\},\qquad C:=\{4\} $$
とし、二項関係 $R_1,R_2\subseteq A\times B,\ S\subseteq B\times C$ を
$$ R_1:=\{(1,2)\} $$
$$ R_2:=\{(1,3)\} $$
$$ S:=\{(2,4),(3,4)\} $$
で定める。

1. まず、
   $$ R_1\cap R_2=\varnothing $$
   である。
   したがって、
   $$ S\circ(R_1\cap R_2)=S\circ\varnothing=\varnothing $$
   である。
   $ $
2. 次に、$S\circ R_1$ を考える。
   $$ (1,2)\in R_1 $$
   かつ
   $$ (2,4)\in S $$
   であるから、合成関係の定義より、
   $$ (1,4)\in S\circ R_1 $$
   である。
   $ $
3. また、$S\circ R_2$ を考える。
   $$ (1,3)\in R_2 $$
   かつ
   $$ (3,4)\in S $$
   であるから、合成関係の定義より、
   $$ (1,4)\in S\circ R_2 $$
   である。

-したがって、
$$ (1,4)\in(S\circ R_1)\cap(S\circ R_2) $$
である。
一方で、
$$ S\circ(R_1\cap R_2)=\varnothing $$
であるから、
$$ (1,4)\notin S\circ(R_1\cap R_2) $$
である。
よって、
$$ (1,4)\in(S\circ R_1)\cap(S\circ R_2) $$
であるが、
$$ (1,4)\notin S\circ(R_1\cap R_2) $$
である。
したがって、
$$ (S\circ R_1)\cap(S\circ R_2)\subseteq S\circ(R_1\cap R_2) $$
は成り立たない。
ゆえに、逆向きの包含は一般には成り立たない。

後半に用いる関係を共通部分にした場合、左辺から右辺への包含は成り立つ。
すなわち、
$$ (S_1\cap S_2)\circ R\subseteq(S_1\circ R)\cap(S_2\circ R) $$
である。
しかし、一般には逆向き
$$ (S_1\circ R)\cap(S_2\circ R)\subseteq(S_1\cap S_2)\circ R $$
は成り立たない。
理由は、$(S_1\circ R)\cap(S_2\circ R)$ に属するためには、$S_1\circ R$ を作る中間元と $S_2\circ R$ を作る中間元が別々でもよいからである。
一方、
$$ (S_1\cap S_2)\circ R $$
に属するためには、同じ中間元 $b\in B$ に対して、
$$ (b,c)\in S_1\cap S_2 $$
が成り立つ必要がある。
すなわち、同じ中間元で
$$ (b,c)\in S_1\land (b,c)\in S_2 $$
を満たす必要がある。
したがって、共通部分の場合は和集合の場合と異なり、一般には等号は成り立たず、包含だけが成り立つ。

一般には、
$$ (S_1\circ R)\cap(S_2\circ R)\subseteq(S_1\cap S_2)\circ R $$
は成り立たない。
反例を与える。集合 $A,B,C$ を
$$ A:=\{1\},\qquad B:=\{2,3\},\qquad C:=\{4\} $$
とし、二項関係 $R\subseteq A\times B,\ S_1,S_2\subseteq B\times C$ を
$$ R:=\{(1,2),(1,3)\} $$
$$ S_1:=\{(2,4)\} $$
$$ S_2:=\{(3,4)\} $$
で定める。

1. まず、
   $$ S_1\cap S_2=\varnothing $$
   である。
   したがって、
   $$ (S_1\cap S_2)\circ R=\varnothing\circ R=\varnothing $$
   である。
   $ $
2. 次に、$S_1\circ R$ を考える。
   $$ (1,2)\in R $$
   かつ
   $$ (2,4)\in S_1 $$
   であるから、合成関係の定義より、
   $$ (1,4)\in S_1\circ R $$
   である。
   $ $
3. また、$S_2\circ R$ を考える。
   $$ (1,3)\in R $$
   かつ
   $$ (3,4)\in S_2 $$
   であるから、合成関係の定義より、
   $$ (1,4)\in S_2\circ R $$
   である。

-したがって、
$$ (1,4)\in(S_1\circ R)\cap(S_2\circ R) $$
である。
一方で、
$$ (S_1\cap S_2)\circ R=\varnothing $$
であるから、
$$ (1,4)\notin(S_1\cap S_2)\circ R $$
である。
よって、
$$ (1,4)\in(S_1\circ R)\cap(S_2\circ R) $$
であるが、
$$ (1,4)\notin(S_1\cap S_2)\circ R $$
である。
したがって、
$$ (S_1\circ R)\cap(S_2\circ R)\subseteq(S_1\cap S_2)\circ R $$
は成り立たない。
ゆえに、逆向きの包含は一般には成り立たない。

前半と後半の両方に用いる関係を共通部分にした場合、左辺から右辺への包含は成り立つ。
すなわち、
$$ (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) \subseteq (S_1\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) $$
である。
しかし、一般には逆向き
$$ (S_1\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) \subseteq (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) $$
は成り立たない。
右辺 $(S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2)$ に属するためには、同じ中間元 $b\in B$ によって、
$$ (a,b)\in R_1\cap R_2 $$
かつ
$$ (b,c)\in S_1\cap S_2 $$
が同時に成り立つ必要がある。
一方、左辺 $(S_1\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2)$ に属するためには、$S_1\circ R_1$ を作る中間元と $S_2\circ R_2$ を作る中間元が別々でもよい。
そのため、共通部分の場合は和集合の場合と異なり、一般には等号は成り立たず、包含だけが成り立つ。

一般には、
$$ (S_1\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) \subseteq (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) $$
は成り立たない。
反例を与える。集合 $A,B,C$ を
$$ A:=\{1\},\qquad B:=\{2,3\},\qquad C:=\{4\} $$
とし、二項関係 $R_1,R_2\subseteq A\times B,\ S_1,S_2\subseteq B\times C$ を
$$ R_1:=\{(1,2)\} $$
$$ R_2:=\{(1,3)\} $$
$$ S_1:=\{(2,4)\} $$
$$ S_2:=\{(3,4)\} $$
で定める。

1. まず、
   $$ R_1\cap R_2=\varnothing $$
   であり、また
   $$ S_1\cap S_2=\varnothing $$
   である。したがって、
   $$ (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2)=\varnothing $$
   である。
   $ $
2. 次に、$S_1\circ R_1$ を考える。
   $$ (1,2)\in R_1 $$
   かつ
   $$ (2,4)\in S_1 $$
   であるから、合成関係の定義より、
   $$ (1,4)\in S_1\circ R_1 $$
   である。
   $ $
3. また、$S_2\circ R_2$ を考える。
   $$ (1,3)\in R_2 $$
   かつ
   $$ (3,4)\in S_2 $$
   であるから、合成関係の定義より、
   $$ (1,4)\in S_2\circ R_2 $$
   である。

-したがって、
$$ (1,4)\in(S_1\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) $$
である。
一方で、
$$ (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2)=\varnothing $$
であるから、
$$ (1,4)\notin(S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) $$
である。
よって、
$$ (1,4)\in(S_1\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) $$
であるが、
$$ (1,4)\notin(S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) $$
である。
したがって、
$$ (S_1\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) \subseteq (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) $$
は成り立たない。
ゆえに、逆向きの包含は一般には成り立たない。

上の命題では、
$$ (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) \subseteq (S_1\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) $$
を示した。
これは、$(a,b)\in R_1\cap R_2$ かつ $(b,c)\in S_1\cap S_2$ であるとき、特に
$$ (a,b)\in R_1\land (b,c)\in S_1 $$
および
$$ (a,b)\in R_2\land (b,c)\in S_2 $$
が成り立つことを用いたものである。
しかし、$(a,b)\in R_1\cap R_2$ かつ $(b,c)\in S_1\cap S_2$ からは、さらに
$$ (a,b)\in R_1,\quad (a,b)\in R_2,\quad (b,c)\in S_1,\quad (b,c)\in S_2 $$
がすべて成り立つ。
したがって、同じ中間元 $b$ を用いて、
$$ S_1\circ R_1,\quad S_1\circ R_2,\quad S_2\circ R_1,\quad S_2\circ R_2 $$
のすべてに属することが分かる。
このため、上の命題はさらに強めることができ、次の命題が成り立つ。
$$ (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) \subseteq (S_1\circ R_1)\cap(S_1\circ R_2)\cap(S_2\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) $$

一方で、逆向きは一般には成り立たない。
なぜなら、
$$ (a,c)\in (S_1\circ R_1)\cap(S_1\circ R_2)\cap(S_2\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) $$
であるためには、それぞれの合成を実現する中間元が存在すればよいが、それらの中間元がすべて同じである必要はないからである。
つまり、$S_1\circ R_1$ を作る中間元、$S_1\circ R_2$ を作る中間元、$S_2\circ R_1$ を作る中間元、$S_2\circ R_2$ を作る中間元は、一般には別々であってよい。
しかし、
$$ (a,c)\in(S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) $$
であるためには、ある同じ $b\in B$ が存在して、
$$ (a,b)\in R_1\cap R_2 $$
かつ
$$ (b,c)\in S_1\cap S_2 $$
を同時に満たさなければならない。
したがって、共通部分を含む合成では、和集合の場合と異なり、一般には等号は成り立たず、包含だけが成り立つのである。

一般には、
$$ (S_1\circ R_1)\cap(S_1\circ R_2)\cap(S_2\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) \subseteq (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) $$
は成り立たない。反例を与える。
集合 $A,B,C$ を
$$ A:=\{1\},\qquad B:=\{2,3\},\qquad C:=\{4\} $$
とし、二項関係 $R_1,R_2\subseteq A\times B,\ S_1,S_2\subseteq B\times C$ を
$$ R_1:=\{(1,2),(1,3)\} $$
$$ R_2:=\{(1,2),(1,3)\} $$
$$ S_1:=\{(2,4)\} $$
$$ S_2:=\{(3,4)\} $$
で定める。
まず、
$$ R_1\cap R_2=\{(1,2),(1,3)\} $$
である。一方、
$$ S_1\cap S_2=\varnothing $$
である。したがって、
$$ (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2)=\varnothing $$
である。
次に、各合成を確認する。
$ $

1. $S_1\circ R_1$ について
   $$ (1,2)\in R_1 $$
   かつ
   $$ (2,4)\in S_1 $$
   であるから、合成関係の定義より、
   $$ (1,4)\in S_1\circ R_1 $$
   である。
   $ $
2. $S_1\circ R_2$ について
   $$ (1,2)\in R_2 $$
   かつ
   $$ (2,4)\in S_1 $$
   であるから、合成関係の定義より、
   $$ (1,4)\in S_1\circ R_2 $$
   である。
   $ $
3. $S_2\circ R_1$ について
   $$ (1,3)\in R_1 $$
   かつ
   $$ (3,4)\in S_2 $$
   であるから、合成関係の定義より、
   $$ (1,4)\in S_2\circ R_1 $$
   である。
   $ $
4. $S_2\circ R_2$ について
   $$ (1,3)\in R_2 $$
   かつ
   $$ (3,4)\in S_2 $$
   であるから、合成関係の定義より、
   $$ (1,4)\in S_2\circ R_2 $$
   である。

-以上より、
$$ (1,4)\in S_1\circ R_1 $$
かつ
$$ (1,4)\in S_1\circ R_2 $$
かつ
$$ (1,4)\in S_2\circ R_1 $$
かつ
$$ (1,4)\in S_2\circ R_2 $$
である。したがって、
$$ (1,4)\in (S_1\circ R_1)\cap(S_1\circ R_2)\cap(S_2\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) $$
である。
しかし、
$$ (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2)=\varnothing $$
であるから、
$$ (1,4)\notin(S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) $$
である。よって、
$$ (1,4)\in (S_1\circ R_1)\cap(S_1\circ R_2)\cap(S_2\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) $$
であるが、
$$ (1,4)\notin(S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) $$
である。したがって、
$$ (S_1\circ R_1)\cap(S_1\circ R_2)\cap(S_2\circ R_1)\cap(S_2\circ R_2) \subseteq (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) $$
は一般には成り立たない。

この反例では、$(1,4)$ は $S_1$ を使う合成では中間元 $2$ を通り、$S_2$ を使う合成では中間元 $3$ を通っている。
すなわち、
$$ (1,2)\in R_1\cap R_2,\quad (2,4)\in S_1 $$
かつ
$$ (1,3)\in R_1\cap R_2,\quad (3,4)\in S_2 $$
である。
しかし、同じ中間元 $b$ に対して
$$ (b,4)\in S_1\cap S_2 $$
を満たすものは存在しない。実際、
$$ S_1\cap S_2=\varnothing $$
である。
そのため、$(1,4)$ は $4$ つの合成関係すべてには属するが、
$$ (S_1\cap S_2)\circ(R_1\cap R_2) $$
には属さないのである。