Baileyの4F3和公式のq類似
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で, Chuによる${}_4F_3$の変換公式の系としてBaileyによる${}_4F_3$の和公式
\begin{align}
\F43{-n,e+n,\frac c2,\frac{c+1}2}{c+1,\frac e2,\frac{e+1}2}1&=\frac{(e-c)_n}{(e)_n}
\end{align}
を示した. 今回はその$q$類似を示す.
非負整数$n$に対して
\begin{align}
\Q43{q^{-2n},e^2q^{2n},c,cq}{c^2q^2,e,eq}{q^2;q^2}&=\frac{c^n(-q,e/c;q)_n}{(-cq,e;q)_n}
\end{align}
が成り立つ.
Verma-Jainによるnearly-poisedの変換公式
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(a^2,-aq,b^2,c^2;q^2)_k}{(q^2,-a,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_k}\frac{(-aq/w,q^{-n};q)_k}{(w,-aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{awq^{n+2}}{b^2c^2}\right)^k\\
&=\frac{(-aq,w/a;q)_n}{(-q,w;q)_n}\Q54{a^2q^2/b^2c^2,a,aq,a^2q^2/w^2,q^{-2n}}{a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,aq^{1-n}/w,aq^{2-n}/w}{q^2;q^2}
\end{align}
において, $b=1$とすると左辺は1となり,
\begin{align}
\Q43{a,aq,a^2q^2/w^2,q^{-2n}}{a^2q^2,aq^{1-n}/w,aq^{2-n}/w}{q^2;q^2}&=\frac{(-q,w;q)_n}{(-aq,w/a;q)_n}
\end{align}
を得る. ここで, $w\mapsto aq^{1-n}/w$とすると,
\begin{align}
\Q43{a,aq,w^2q^{2n},q^{-2n}}{a^2q^2,w,wq}{q^2;q^2}&=\frac{(-q,aq^{1-n}/w;q)_n}{(-aq,q^{1-n}/w;q)_n}\\
&=\frac{a^n(-q,w/a;q)_n}{(-aq,w;q)_n}
\end{align}
となる. $a\mapsto c, w\mapsto e$として定理を得る.
このように, Baileyの変換公式に関しては$q$類似が良い感じに存在したわけであるが, その一般化である Chuによる${}_4F_3$の変換公式 の$q$類似はまだ知られていないと思われる.
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ではBaileyの公式の類似であるCarlitzによる公式
\begin{align}
\F43{-n,e-1+n,\frac c2,\frac{c+1}2}{c,\frac e2,\frac{e+1}2}1&=\frac{e+n-1}{e+2n-1}\frac{(e-c)_n}{(e)_n}
\end{align}
も導出したが, その$q$類似は
\begin{align}
\Q43{q^{-2n},e^2q^{2n-2},c,cq}{c^2,e,eq}{q^2,q^2}&=\frac{c^n(-q,e/c;q)_n}{(-c,e;q)_n}\frac{1-eq^{n-1}}{1-eq^{2n-1}}
\end{align}
という形で成り立っているようである. これはDLMFに書かれていたのでその存在を知ったのだが, 同じようにVerma-Jainの公式から示すことができるのかどうかはすぐには分からないかもしれない.
