Nearly-poised 4F3の変換公式のq類似
$a,d$のいずれかが$0$以下の整数のとき, Whippleによる
Nearly-poised${}_4F_3$の変換公式
は
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c,d)_n}{n!(1+a-b,1+a-d,w)_n}&=\frac{\Gamma(w)\Gamma(w-a-d)}{\Gamma(w-a)\Gamma(w-d)}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-b-c,1+a-w,d)_n(a)_{2n}}{n!(1+a-b,1+a-c)_n(1+a+d-w)_{2n}}
\end{align}
と表される. 今回はその$q$類似を示す. まず, 補題を用意する. これはGaussの超幾何定理の$q$類似となっている.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a^2,-aq^2;q^2)_n}{(q^2,-a;q^2)_n}\frac{(-aq/e,f;q)_n}{(e,-aq/f;q)_n}\left(\frac {e}{af}\right)^n&=\frac{(-aq,-q/f,e/a,e/f;q)_{\infty}}{(-q,-aq/f,e,e/af;q)_{\infty}} \end{align}
Rogersの${}_6\phi_5$和公式
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,-aq^2;q^2)_n}{(q^2,-a;q^2)_n}\frac{(-aq/e,f;q)_n}{(e,-aq/f;q)_n}\left(\frac {e}{af}\right)^n\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{1-a^2q^{2n}}{1-a}\frac{(-a,a,-aq/e,f;q)_n}{(q,-q,e,-aq/f;q)_n}\left(\frac{e}{af}\right)^n\\
&=\frac{(-aq,-q/f,e/a,e/f;q)_{\infty}}{(-q,-aq/f,e,e/af;q)_{\infty}}
\end{align}
である.
以下はWhippleによる Nearly-poised${}_4F_3$の変換公式 の$q$類似であり, Verma-Jainによって1983年に示された.
$a$または$d$がある$0$以上の整数$N$で$q^{-N}$と書けるとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,-aq^2,b^2,c^2;q^2)_n}{(q^2,-a,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_n}\frac{(-aq/w,d;q)_n}{(w,-aq/d;q)_n}\left(\frac{awq^2}{b^2c^2d}\right)^n\\
&=\frac{(-aq,-q/d,w/a,w/d;q)_{\infty}}{(-q,-aq/d,w,w/ad;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a^2q^2/b^2c^2,a,aq,d^2,a^2q^2/w^2;q^2)_n}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,adq/w,adq^2/w;q^2)_n}q^{2n}
\end{align}
が成り立つ.
$q$-Saalschützの和公式
により,
\begin{align}
\frac{(b^2,c^2;q^2)_n}{(a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^{2n}&=\sum_{0\leq k}\frac{(a^2q^2/b^2c^2,a^2q^{2n},q^{-2n};q^2)_k}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_k}q^{2k}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,-aq^2;q^2)_n}{(q^2,-a;q^2)_n}\frac{(-aq/w,d;q)_n}{(w,-aq/d;q)_n}\left(\frac{w}{ad}\right)^n\sum_{0\leq k}\frac{(a^2q^2/b^2c^2,a^2q^{2n},q^{-2n};q^2)_k}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_k}q^{2k}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a^2q^2/b^2c^2;q^2)_k}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_k}(-1)^kq^{k^2+k}\sum_{0\leq n}\frac{(-aq^2;q^2)_n}{(-a;q^2)_n}\frac{(-aq/w,d;q)_n(a^2;q^2)_{n+k}}{(w,-aq/d;q)_n(q^2;q^2)_{n-k}}\left(\frac{w}{adq^{2k}}\right)^n\\
\end{align}
ここで, 補題1より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-aq^2;q^2)_n}{(-a;q^2)_n}\frac{(-aq/w,d;q)_n(a^2;q^2)_{n+k}}{(w,-aq/d;q)_n(q^2;q^2)_{n-k}}\left(\frac{w}{adq^{2k}}\right)^n\\
&=\frac{(-aq^2;q^2)_k(a^2;q^2)_{2k}(-aq/w,d;q)_k}{(-a^2;q^2)_k(w,-aq/d;q)_k}\left(\frac{w}{adq^{2k}}\right)^k\\
&\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(-aq^{2k+2},a^2q^{4k};q^2)_{n}}{(-aq^{2k},q^2;q^2)_{n}}\frac{(-aq^{k+1}/w,dq^k;q)_n}{(wq^k,-aq^{k+1}/d;q)_n}\left(\frac{w}{adq^{2k}}\right)^n\\
&=\frac{(-aq^2;q^2)_k(a^2;q^2)_{2k}(-aq/w,d;q)_k}{(-a;q^2)_k(w,-aq/d;q)_k}\left(\frac{w}{adq^{2k}}\right)^k\\
&\cdot\frac{(-aq^{2k+1},-q^{1-k}/d,wq^{-k}/a,w/d;q)_{\infty}}{(-q,-aq^{k+1}/d,wq^k,wq^{-2k}/ad)_{\infty}}\\
&=\frac{(-aq^2;q^2)_k(a^2;q^2)_{2k}(-aq/w,d;q)_k}{(-a;q^2)_k(w,-aq/d;q)_k}\left(\frac{w}{adq^{2k}}\right)^k\\
&\cdot\frac{(-aq/d,w;q)_k(w/ad;q)_{-2k}}{(-aq;q)_{2k}(-q/d,w/a;q)_{-k}}\frac{(-aq,-q/d,w/a,w/d;q)_{\infty}}{(-q,-aq/d,w,w/ad)_{\infty}}\\
&=\frac{(-aq^2;q^2)_k(a^2;q^2)_{2k}(-aq/w,d;q)_k}{(-a;q^2)_k}\left(\frac{w}{adq^{2k}}\right)^k\\
&\cdot\frac{(-d,aq/w;q)_k}{(-aq;q)_{2k}(adq/w;q)_{2k}}\left(-\frac{adq^{k+1}}{w}\right)^k\frac{(-aq,-q/d,w/a,w/d;q)_{\infty}}{(-q,-aq/d,w,w/ad)_{\infty}}\\
&=\frac{(-aq,-q/d,w/a,w/d;q)_{\infty}}{(-q,-aq/d,w,w/ad)_{\infty}}\frac{(a;q)_{2k}(d^2,a^2q^2/w^2;q^2)_k}{(adq/w;q)_{2k}}(-1)^kq^{k-k^2}
\end{align}
だから,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(a^2q^2/b^2c^2;q^2)_k}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_k}(-1)^kq^{k^2+k}\sum_{0\leq n}\frac{(-aq^2;q^2)_n}{(-a;q^2)_n}\frac{(-aq/w,d;q)_n(a^2;q^2)_{n+k}}{(w,-aq/d;q)_n(q^2;q^2)_{n-k}}\left(\frac{w}{adq^{2k}}\right)^n\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a^2q^2/b^2c^2;q^2)_k}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_k}(-1)^kq^{k^2+k}\\
&\cdot\frac{(-aq,-q/d,w/a,w/d;q)_{\infty}}{(-q,-aq/d,w,w/ad)_{\infty}}\frac{(a;q)_{2k}(d^2,a^2q^2/w^2;q^2)_k}{(adq/w;q)_{2k}}(-1)^kq^{k-k^2}\\
&=\frac{(-aq,-q/d,w/a,w/d;q)_{\infty}}{(-q,-aq/d,w,w/ad)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(a^2q^2/b^2c^2,a,aq,d^2,a^2q^2/w^2;q^2)_k}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,adq/w,adq^2/w;q^2)_k}q^{2k}\\
\end{align}
となって定理を得る.
特に$d=q^{-N}$とすると, 以下を得る.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a^2,-aq^2,b^2,c^2;q^2)_n}{(q^2,-a,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2;q^2)_n}\frac{(-aq/w,q^{-N};q)_n}{(w,-aq^{N+1};q)_n}\left(\frac{awq^{N+2}}{b^2c^2}\right)^n\\
&=\frac{(-aq,w/a;q)_N}{(-q,w;q)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(a^2q^2/b^2c^2,a,aq,q^{-2N},a^2q^2/w^2;q^2)_n}{(q^2,a^2q^2/b^2,a^2q^2/c^2,aq^{1-N}/w,aq^{2-N}/w;q^2)_n}q^{2n}
\end{align}
が成り立つ.
