文献あり

被覆の自己同型について

122

被覆の自己同型

　この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。

　以下、 $X$ を局所連結位相空間（任意の $x \in X$ は連結部分集合からなる基本近傍系を持つ）、 $Y$ を位相空間とします。また、群 $G$ の $Y$ への作用による軌道を $G (y) (y \in Y)$ と書くことにします。

$(1)$ 自己同型写像
　 $(Y, p)$ を $X$ 上の空間とする。被覆についての定義 1 の「3. $X$ 上同型」において、特に $Y_{1} = Y_{2} = Y, p_{1} = p_{2} = p$ のとき、 $X$ 上 $(Y, p)$ から $(Y, p)$ への同型写像を $X$ 上 $(Y, p)$ の自己同型写像という。すなわち $f : Y \to Y$ が $X$ 上 $(Y, p)$ の自己同型写像であるとは、 $f$ が同相写像でかつ $p = p \circ f$ を満たすことをいう。

$Y f p Y p ↻ X$

$(2)$ 自己同型群
　 $(Y, p)$ を $X$ 上の被覆とする。 $X$ 上 $(Y, p)$ の自己同型写像全体が写像の合成に関してなす群を $X$ 上 $(Y, p)$ の自己同型群といい、 $Aut (Y / X)$ と書く。簡単に 被覆 $Y / X$ の自己同型群ともいう。

　自己同型写像の定義より、任意の $x \in X$ に対して $Aut (Y / X)$ はファイバー $p^{- 1} (x)$ に作用する。

　 $(Y, p)$ を $X$ 上の被覆、 $x \in X$ とする。 $V$ を $x$ の被覆近傍、 ${U_{i}}_{i \in I}$ を $V$ のシートの族とする。このとき、任意の $σ \in Aut (Y / X)$ と任意の $i \in I$ に対して、 $p$ の $σ (U_{i})$ への制限は $σ (U_{i})$ から $V$ への同相写像である。

$◼$ 全単射
　 $p (σ (U_{i})) = p (U_{i}) = V$ より $p$ の $σ (U_{i})$ への制限は、 $σ (U_{i})$ から $V$ への全射である。また、任意の $u_{1}, u_{2} \in U_{i}$ に対して $p (σ (u_{1})) = p (σ (u_{2}))$ ならば、 $p (u_{1}) = p (u_{2})$ となり、 $p$ の $U_{i}$ への制限は単射であるから $u_{1} = u_{2}$ となる。
$◼$ 連続
　 $T$ を $V$ の任意の開集合とする。 $q$ を $p$ の $σ (U_{i})$ への制限とし、 $S := q^{- 1} (T)$ とおくと、 $S = p^{- 1} (T) \cap σ (U_{i})$ となる。よって $p$ の連続性より $S$ は $σ (U_{i})$ の開集合である。
$◼$ 開写像
　 $W$ を $σ (U_{i})$ の任意の開集合とする。 $W^{'} := σ^{- 1} (W)$ とおくと $p (W^{'}) \subset V$ は $V$ の開集合である。自己同型写像の定義より $p (W^{'}) = p (σ^{- 1} (W)) = p (W)$ であるから $p (W)$ は $V$ の開集合である。

　次の補題は参考文献 [1] Lemma 2.2.1 を参考にさせていただきました。

　 $(Y, p)$ を $X$ 上の被覆、 $Y$ を連結位相空間とする。このとき、 $σ \in Aut (Y / X)$ が固定点を持つならば $σ = {id}_{Y}$ である。

　補題 2 はこれを一般化した次の命題 3 からしたがいます。次の命題は参考文献 [1] Proposition 2.2.2 を参考にさせていただきました。

　 $(Y, p)$ を $X$ 上の被覆、 $Z$ を連結位相空間とし、連続写像 $f, g : Z \to Y$ は $p \circ f = p \circ g$ を満たすとする。このとき、 $f (z) = g (z)$ となるような $z \in Z$ が存在するならば、 $f = g$ である。

概略

　 $f (z) = g (z)$ となるような $z \in Z$ 全体の集合 $S$ は $Z$ の開かつ閉集合である。よって $Z$ の連結性から $Z = S$ となる。

詳細

　 $S := {z \in Z ∣ f (z) = g (z)}$ とおくと仮定より $S \neq \emptyset$ である。 $S$ が $Z$ の開かつ閉集合であることを示す。
$◼$ 開集合であること
　任意の $z \in S$ に対して $y := f (z) = g (z)$ とおく。 $V$ を $p (y)$ の被覆近傍、 ${U_{i}}_{i \in I}$ を $V$ に対するシートとする。 $y \in U_{i}$ とする。 $f, g$ は連続であるから $f (W) \subset U_{i}$ かつ $g (W) \subset U_{i}$ となるような $z$ の $Z$ における開近傍 $W$ が存在する。任意の $w \in W$ に対して $p (f (w)) = p (g (w))$ であり、 $p$ の $U_{i}$ への制限は同相写像であるから $f (w) = g (w)$ となる。よって $W \subset S$ となるから $S$ は $Z$ の開集合である。

$◼$ 閉集合であること
　 $Z = S$ ならば $S$ は $Z$ の閉集合である。 $Z \neq S$ とする。任意の $z^{'} \in Z ∖ S$ に対して $a := f (z^{'}), b := g (z^{'})$ とおく。 $T$ を $p (a) = p (b)$ の被覆近傍、 ${S_{j}}_{j \in J}$ を $T$ のシートとする。 $a \in S_{j}, b \in S_{k} (j \neq k)$ とする。 $f, g$ は連続であるから、 $f (P) \subset S_{j}$ となるような $z^{'}$ の $Z$ における開近傍 $P$ と、 $g (Q) \subset S_{k}$ となるような $z^{'}$ の $Z$ における開近傍 $Q$ が存在する。 $f (P \cap Q) \subset S_{j}$ かつ $g (P \cap Q) \subset S_{k}$ より、 $P \cap Q \subset Z ∖ S$ となる。よって $Z ∖ S$ は $Z$ の開集合である。

　 $X$ は初めに局所連結としたが、この命題 3 においてその仮定は不要である。局所連結性が必要なのは次の命題 4 であり、この局所連結性より自己同型群はシートの族に作用する。

　次の命題 4 によって $(Y, Y \to Y / Aut (Y / X))$ は $Y / Aut (Y / X)$ 上の被覆になります。この命題は参考文献 [1] Proposition 2.2.3 を参考にさせていただきました。

　 $(Y, p)$ を $X$ 上の被覆、 $Y$ を連結位相空間とする。このとき $Aut (Y / X)$ の $Y$ への作用は $even$ である。

概略

　シートの族 ${U_{i}}_{i \in I}$ と $σ_{1}, σ_{2} \in Aut (Y / X)$ に対して $σ_{1} \neq σ_{2}$ ならば、補題 2 より $σ_{1} (U_{i}) \cap σ_{2} (U_{i}) = \emptyset$ である。

詳細

　任意の $y \in Y$ に対して $V$ を $p (y)$ の連結な被覆近傍、 ${U_{i}}_{i \in I}$ を $V$ のシートの族とする。 $y$ を含むシートを $U_{i}$ とする。任意の $σ \in Aut (Y / X)$ に対して $p (σ (U_{i})) = V$ より $σ (U_{i}) \subset ⋃_{i \in I} U_{i}$ となる。
　各 $j \in I$ に対して $W_{j} := σ (U_{i}) \cap U_{j}$ とおき、 $I^{'} := {j \in I ∣ W_{j} \neq \emptyset}$ とおくと、 $p (W_{j})$ は $X$ の開集合であり
$V = ⋃_{j \in I^{'}} p (W_{j}), p (W_{j}) \cap p (W_{k}) = \emptyset (j, k \in I^{'}, j \neq k)$ となるから、 $V$ の連結性よりただ一つの $j \in I^{'}$ が存在して $V = p (W_{j})$ となる。よって $σ (U_{i}) \supset U_{j}$ である。一方、任意の $k \in I, k \neq j$ に対して $W_{k} = \emptyset$ であるから $σ (U_{i}) \subset U_{j}$ となる。したがって $σ (U_{i}) = U_{j}$ である。
　もし $σ \neq {id}_{Y}$ ならば、補題 2 より $i \neq j$ となる。よって、任意の $σ_{1}, σ_{2} \in Aut (Y / X)$ に対して $σ_{1} \neq σ_{2}$ ならば $σ_{1} (U_{i}) \cap σ_{2} (U_{i}) = \emptyset$ となる。

　次の命題はこの逆が成り立つことを主張します。 $p_{G} : Y \to Y / G$ を標準全射とします。この命題は参考文献 [1] Proposition 2.2.4 を参考にさせていただきました。

　位相群 $G$ が連結位相空間 $Y$ に連続かつ $even$ に作用しているとする。このとき、 $Y / G$ 上の被覆 $(Y, p_{G})$ の自己同型群 $Aut (Y / (Y / G))$ は $G$ と群同型である。

概略

　 $G$ の作用は $G$ から $Aut (Y / (Y / G))$ への群同型写像を誘導する。

詳細

　 $g \in G$ に対して $φ_{g} : Y \to Y, y \to g y$ と定義すると、 $φ_{g}$ は作用の連続性より連続写像であり $φ_{g}^{- 1}$ は $φ_{g}$ の逆写像である。よって $φ_{g}$ は同相写像である。また、 $y$ と $g y$ は同じ $G$ 軌道に含まれるから $p_{G} (g y) = p_{G} (y)$ となる。よって $φ_{g} \in Aut (Y / (Y / G))$ である。このことから単射群準同型写像
$φ : G \to Aut (Y / (Y / G)), g \mapsto φ_{g}$ が定まる。
　 $φ$ が全射であることを示す。任意の $σ \in Aut (Y / (Y / G))$ をとる。任意の $y \in Y$ に対して $p_{G} (σ (y)) = p_{G} (y)$ であるから $σ (y) \in G (y)$ となる。よって $σ (y) = g y$ となるような $g \in G$ が存在する。したがって補題 2 より $σ = φ_{g}$ となる。

　被覆の群作用についての命題 1 や上記命題 5 では、 $Y$ に「連続に」作用する「位相」群を考えた。なぜならば位相群の各元 $g$ から同相写像 $Y \to Y, y \mapsto g y$ が生じるからである。その結果、商位相空間上の被覆を得ることができた。
　一方 $σ \in Aut (Y / X)$ は既に $Y$ から $Y$ への同相写像であるから、 $\overset{―}{p} : Y \to Y / Aut (Y / X)$ とすると、同様に $(Y, \overset{―}{p})$ は $Y / Aut (Y / X)$ 上の被覆となる。

Note

　 $(Y, p)$ を $X$ 上の被覆、 $G := Aut (Y / X)$ とする。 $p$ は次のように標準全射 $p_{G}$ と $p$ が引き起こす連続写像 ${\overset{―}{p}}_{G}$ に分解する：

$Y p_{G} p Y / G {\overset{―}{p}}_{G} ↻ X$

　上記の ${\overset{―}{p}}_{G}$ は次のような写像である：
${\overset{―}{p}}_{G} : Y / G \to X, G (y) \mapsto p (y)$
　 $G (y) = G (y^{'})$ ならば $σ (y) = y^{'}$ となるような $σ \in G$ が存在する。よって $p (y) = p (σ (y)) = p (y^{'})$ となるから ${\overset{―}{p}}_{G}$ は $well-defined$ である。 ${\overset{―}{p}}_{G}$ の連続性であるが、 $W$ を $X$ の開集合とすると ${\overset{―}{p}}_{G} \circ p_{G} = p$ より $p_{G}^{- 1} ({\overset{―}{p}}_{G}^{- 1} (W)) = p^{- 1} (W)$ となることからしたがう。さらに $U$ を $Y / G$ の開集合とすると $p (p_{G}^{- 1} (U)) = {\overset{―}{p}}_{G} (p_{G} (p_{G}^{- 1} (U))) = {\overset{―}{p}}_{G} (U)$ となるから ${\overset{―}{p}}_{G}$ は開写像である。