大学数学基礎解説

ノルムとはただの距離。距離以外の構造を持たない

ノルム空間,距離空間

ノルムとは、単なるベクトル空間上の平行移動不変で絶対同次な距離でしかないことを示す。$\mathbb{K}$を絶対値付き体とする。

ノルムベクトル空間

$\mathbb{K}$-ベクトル空間$V$上のノルムとは、写像$\|\cdot\|:V\rightarrow\mathbb{R}_0^+$で

絶対同次性

各$x\in V$と$\alpha\in\mathbb{K}$に対して
$ \|\alpha\triangleright x\|=|\alpha|\cdot\|x\|$

劣加法性

各$x,y\in V$に対して
$\|x+_V y\|\leq \|x\|+\|y\|$

独立性

各$x\in V$に対して
$\|x\|=0$ならば$x=0_V$

を満たすもののこと。ペア$(V,\|\cdot\|)$を$\mathbb{K}$-ノルムベクトル空間、または単にノルムベクトル空間、ノルム空間という。

ちなみに、上の定義で独立性を満たすとは限らないものをセミノルムと呼ぶ。絶対同次性から、０のノルムは０であることが言える。

$(V,\|\cdot\|)$をノルムベクトル空間とする。このとき次が成り立つ。

進次郎

$\|0_V\|=0$

$$\|0_V\|=\|0\triangleright 0_V\|=|0|\cdot\|0_V\|=0$$

ノルムとはただの距離である

$\mathbb{K}$-ベクトル空間$V$上のノルムは、次の(I),(II)の条件を満たす$V$上の距離$d:V\times V\rightarrow\mathbb{R}_0^{+}$と一対一対応する。

(I) 絶対同次性

各$x,y\in V$と$\alpha\in\mathbb{K}$に対して

$d(\alpha\triangleright x,\alpha\triangleright y)=|\alpha|\cdot d(x,y)$

(II) 平行移動不変性

各$x,y,r\in V$に対して

$d(x+_Vr,y+_Vr)=d(x,y)$

その一対一対応は
\begin{array}{ccrl} \phi:\;\set{\|\cdot\|:\textsf{ノルム}} &\longrightarrow& \set{d:\textsf{距離}}\cap\textsf{(I)}\cap\textsf{(II)};& \\ \|\cdot\| & \longmapsto & \phi(\|\cdot\|):\;V\times V\;\;\longrightarrow& \mathbb{R}_0^+;\\&&(x,y)\;\;\;\longmapsto&\|x-y\|; \end{array}
\begin{array}{ccrl} \tau:\;\set{d:\textsf{距離}}\cap\textsf{(I)}\cap\textsf{(II)} &\longrightarrow& \set{\|\cdot\|:\textsf{ノルム}};& \\ d & \longmapsto & \tau(d):\,V\;\longrightarrow& \mathbb{R}_0^+;\\&&x\,\;\longmapsto&d(x,0_V); \end{array}

で与えられる。

$\phi(||\cdot||)$が条件(I),(II)を満たす距離になること

今、$\phi(\|\cdot\|)\coloneqq\|\cdot-\cdot\|$と定義している。距離になることは自明。ノルムの絶対同次性より\begin{eqnarray} \|\alpha\triangleright x-\alpha\triangleright y\|&=&\|\alpha\triangleright(x-y)\|\\&=&|\alpha|\cdot\|x-y\|\end{eqnarray}なので(I)はＯＫ。$\|(x+r)-(y+r)\|=\|x-y\|$なので(II)もＯＫ。

$\tau(d)$がノルムになること

今、$\tau(d)\coloneqq d(\cdot,0_V)$と定義している。正の実数値をとることは自明。(I)より\begin{eqnarray} d(\alpha\triangleright x,0_V)&=&d(\alpha\triangleright x,\alpha\triangleright 0_V)\\&=&|\alpha|\cdot d(x,0_V)\end{eqnarray}なので、絶対同次性はＯＫ。三角不等式と(II)より\begin{eqnarray} d(x+y,0_V) &\leq& d(x+y,y)+d(y,0_V)\\ &=& d(x+y-y,y-y)+d(y,0_V)\\ &=& d(x,0_V)+d(y,0_V) \end{eqnarray}なので、劣加法性もＯＫ。独立性は距離の非退化性より従う。

$\tau\circ\phi=\text{id}_{\set{\|\cdot\|:\textsf{ノルム}}}$であること

各$x\in V$に対して$\|x-0_V\|=\|x\|$を言えばいいが、自明。

$\phi\circ\tau=\text{id}_{\set{d:\textsf{距離}}\cap\textsf{(I)}\cap\textsf{(II)}}$であること

各$x,y\in V$に対して$d(x-y,0_V)=d(x,y)$を言えばいいが、(II)より自明。

ところで、距離は二項関係の族として関係代数的に定義できる。
↓　↓　↓　↓
（距離空間を二項関係で定義する）
↑　↑　↑　↑

このとき、関係代数系としての標準的な準同型写像は非拡大写像となる。以上の話から、ノルム空間の"自然な"準同型写像は非拡大線形写像となる。

非拡大線形写像

$(V,\|\cdot\|_V),(W,\|\cdot\|_W)$をノルムベクトル空間とする。$f:V\rightarrow W$が非拡大線型写像であるとは、線形写像であり、

非拡大

各$x\in V$に対して
$\|f(x)\|_W\leq \|x\|_V$

を満たすこと。

命題２の同一視の下で、上の定義の非拡大線形写像は、距離空間としての非拡大写像のうち線形なものに一致する。