cover、像、順像

$(\Longrightarrow)$ $[(N;n)]$が$f$を許容するとき、次が成り立つ。
許容と引き戻しの普遍性

引き戻しはmonicを引き戻すので、$f^*n$はmonic。かつ、$f^*n$は分裂epicであるから、$f^*n$は同型射。

したがって$\theta = (f^*n)^{-1}$であり、同型$(A;1_A) \simeq (f^*N;f^*n)$が成り立つ。

$(\Longleftarrow)$ $(A;1_A) \simeq (f^*N;f^*n)$のとき、$f^*n$は同型射であるから、引き戻し四角形の等式より$f = n \circ (l \circ (f^*n)^{-1})$が成り立ち、$[(N;n)]$は$f$を許容する。

イコライザを持つ圏にて、$f \colon A \to B$を任意のcoverとする。任意の$x,y \colon B \to C$を取り、$x \circ f = y \circ f$と仮定する。

これで$x = y$を導くことができれば$f$はepicの定義を満たす。

$x,y$のイコライザを取り、$(E;e)$とする。仮定より$x \circ f = y \circ f$であるから、イコライザの普遍性より、ある$\overline f \colon A \to E$が一意的に存在して、$f = e \circ \overline f$が成立する。

$f$はcoverと仮定したので、定義より$e$は同型射でなければならない。(イコライザの射影は常にmonicであることに注意。)

そして$x \circ e = y \circ e$が成り立つから、$e$の逆射を前に合成して、$x = y$が従う。よって$f$はepicの定義を満たす。
イコライザがcoverを分解

$g = m \circ g'$と任意に分解し、$m$はmonicと仮定する。このとき両辺で前に$f$を合成して、$g \circ f = m \circ g' \circ f$が成立。

仮定より$g \circ f$はcoverであるから、$m$は同型射でなければならない。よって$g$はcoverの定義を満たす。
$g$の分解が$g \circ f$の分解を招く

$(\Longrightarrow)$ $f \colon A \to B$はmonicかつcoverであるとする。$f = f \circ 1_A$という分解を考えると、$f$はmonicであるから、coverの定義より$f$は同型射でなければならない。

$(\Longleftarrow)$ $f \colon A \to B$は同型射であると仮定する。このとき$f$はmonicである。実際、任意の$x,y$に対し$f \circ x = f \circ y$ならば、後ろから逆射を合成して$x = y$が従う。

$f$がcoverであることを示す。$f = m \circ f'$と任意に分解し、$m \colon M \to B$はmonicであると仮定する。

このとき、$m \circ f' \circ f^{-1} \circ m = f \circ f^{-1} \circ m = m = m \circ 1_M$で$m$はmonicと仮定したから、$f' \circ f^{-1} \circ m = 1_M$が成り立つ。

また$f^{-1} \circ m \circ f' = 1_A$であるから、$f^{-1} \circ m$は$f'$の逆射であり、したがって$f'$は同型射。よって$m = f \circ f'^{-1}$より、$m$も同型射。(同型射の合成は再び同型射になる。)

よって$f$はcoverの定義を満たす。

$f \colon A \to B,g \colon B \to C$をそれぞれcoverとする。

合成した射$g \circ f \colon A \to C$について、これを任意に$g \circ f = m \circ h$と分解し、$m \colon M \to C$はmonicと仮定する。この$m$が同型射であることが導かれれば、$g \circ f$はcoverの定義を満たすことになる。

$m,g$の引き戻し$(P;l,r)$を取ると、普遍性より次の図式が成り立つ。

引き戻しはmonicを引き戻すことから、$r$はmonicである。よって$f = r \circ \theta$と分解されるから、coverの定義より$r$は同型射でなければならない。

よって$g = m \circ (l \circ r^{-1})$と分解されるから、coverの定義より$m$は同型射であることが従う。

以上より、$g \circ f$はcoverの定義を満たす。

$(c;C)$を$f,g \colon A \to B$の余イコライザとする。$c$がcoverであることを示す。

$c = m \circ c'$と任意に分解し、$m \colon D \to C$はmonicだと仮定する。$m$が同型射であることを導けば良い。

$c \circ f = c \circ g$より、$m \circ c' \circ f = m \circ c' \circ g$であり、$m$はmonicと仮定したから$c' \circ f = c' \circ g$が従う。

よって余イコライザの普遍性より、ある$\overline{c'} \colon C \to D$で$c' = \overline{c'} \circ c$を満たすものが存在する。
正則epicはcover

一番右の図式にて、$c = 1_C \circ c = m \circ c' = m \circ \overline{c'} \circ c$であり、$c$はepicだから$1_C = m \circ \overline{c'}$が成り立つ。leftcancelより$m$はmonicかつcoverであるから、moniccoverより$m$は同型射。

したがって$c$はcoverの定義を満たす。

$\overline f$を$\overline f = m \circ f'$と分解し、$m \colon M \to I$はmonicとする。この$m$が同型射となることを示す。
像分解の分解

このとき$f = (i \circ m) \circ f'$であるから、$f$は部分対象$[(M;i \circ m)] \in \mathrm{Sub}(B)$に許容される。

像の最小性より、$[(I;i)] \subseteq [(M;i \circ m)]$、則ちある$\theta \colon I \to M$で$i = i \circ 1_I = i \circ m \circ \theta$を満たすものが存在する。

$i$はmonicであったから、$1_I = m \circ \theta$が成立。$1_I$はcoverだから、leftcancelより$m$はcover。よって$m$はmonicかつcoverとなり、moniccoverより$m$は同型射。

以上より、$\overline f$はcoverの定義を満たす。

$f$が像を持つと仮定し、表示として$(I;i)$を取る。つまり、ある$\overline f$で$f = i \circ \overline f$を満たすものが存在する。

いま$[(M;m)]$は$f$を許容するから、像の最小性より、ある$\theta \colon I \to M$で$i = m \circ \theta$を満たすものが存在する。

すると$f = m \circ f' = m \circ \theta \circ \overline f$が成り立ち、$m$がmonicであるから、$f' = \theta \circ \overline f$が従う。

$f'$はcoverと仮定したから、$\theta$は同型射でなければならない。よって$(M;m) \simeq (I;i)$より、$(M;m)$は$f$の像を表示している。

次の図が成り立つ。
順像は1-tableの同型を保つ

ただし図中の$\eta \colon fM \to fM'$は、$f \circ m$の像の最小性にしたがって得られたmonicである。

さて、$\theta$は同型射であるから、$\eta \circ (\overline{f \circ m} \circ \theta^{-1}) = \overline{f \circ m'}$が成り立つ。

$\overline{f \circ m'}$はcoverであるから、leftcancelより、$\eta$はcover、つまりmonicかつcoverとなり、したがって$\eta$は同型射である。

$n = n' \circ \eta$より、$(fM;n) \simeq (fM';n')$。よって$f \circ m$の像は$f \circ m'$の像と一致するから、順像は部分対象系の間の写像として正しく定義される。

$m \colon M \to A,m' \colon M' \to A$をそれぞれ$A$に向かう任意のmonicとし、$(M;m) \sqsubseteq (M';m')$（$\mathrm{iff}\ [(M;m)] \subseteq [(M';m')]$）が成り立つとする。

つまりある$\theta \colon M \to M'$が存在して、$m = m' \circ \theta$を満たすものとする。

次の図が成り立つ。
順像は包含関係を保つ

$f \circ m = n' \circ (\overline{f \circ m'} \circ \theta)$より、$[(fM';n')]$は$f \circ m$を許容する。

よって像の最小性より、$[(fM;n)] \subseteq [(fM';n')]$が従う。則ち、順像は包含順序を保存することが示された。

ここでいう随伴とは、順序の圏の間の関手（順序関係付きクラスの間の順序保存写像）に関する随伴である。

$(\Longrightarrow)$

圏が像を持つと仮定して、任意に射$f \colon A \to B$を取り、$A,B$それぞれの部分対象$[(M;m)] \in \mathrm{Sub}(A),[(N;n)] \in \mathrm{Sub}(B)$を任意に取り、$f \circ m$の像の表示を$(fM;m')$とする。

$[(fM;m')] \subseteq [(N;n)]$と仮定して、$[(M;m)] \subseteq [(f^*N;f^*n)]$を導こう。

仮定から次が成り立つ。
逆像とpasting lemmaのタッグ

引き戻しのpasting lemmaより、図中の$(f^*(fM);\lambda,f^*n \circ l^*\eta)$は$m',f$の引き戻しである。

この引き戻しの普遍性より、ある$\theta \colon M \to f^*(fM)$が一意的に存在して、しかも$m = (f^*n \circ l^*\eta) \circ \theta$で$m$はmonicだから$\theta$もmonicである。

結合律より$m = f^*n \circ (l^*\eta \circ \theta)$であるから、$[(M;m)] \subseteq [(f^*N;f^*n)]$が従う。

次に$[(M;m)] \subseteq [(f^*N;f^*n)]$と仮定する。このときある$\theta \colon M \to f^*N$で$m = f^*n \circ \theta$を満たす射が存在して、以下が成り立つ。
逆像との包含と引き戻しの普遍性

$f \circ m = n \circ (l \circ \theta)$が成り立ち、$n$はmonicであるから、$[(N;n)]$は$f \circ m$を許容する。

したがって像の最小性より、$[(fM;m')] \subseteq [(N;n)]$が従う。

ここまでのことから、圏が像を持つならば、順像は逆像の左随伴になることが示された。

$(\Longleftarrow)$

任意の$f \colon A \to B$に対して、$f$の逆像は左随伴を持つと仮定する。

このとき、$f$が像を持つことを示そう。pullbackallowanceより、引き戻しを持つ圏では、$[(N;n)] \in \mathrm{Sub}(B)$が$f$を許容することは、$[(f^*N;f^*n)] = [(A;1_A)]$と同値である。

$f$の逆像の左随伴による$[(A;1_A)]$の値を$[(I_A;\varepsilon)]$と書くことにする。

このとき$f$を許容する任意の$[(N;n)] \in \mathrm{Sub}(B)$に対し、随伴の定義より

$$ [(A;1_A)] \subseteq [(f^*N;f^*n)] = [(A;1_A)] \quad \mathrm{iff} \quad [(I_A;\varepsilon)] \subseteq [(N;n)] $$

が成り立つ。そして随伴より

$$ [(I_A;\varepsilon)] \subseteq [(I_A;\varepsilon)] \quad \mathrm{iff} \quad [(A;1_A)] \subseteq [(f^*I_A;f^*\varepsilon)] $$

が成り立つから、$\varepsilon \colon I_A \to B,f$の引き戻しを考えると次が成立。
像の表示の引き戻し

よって$[(I_A;\varepsilon)]$は、$f$を許容する$B$の部分対象の最小元であることが言えた。以上より$f$は像を持つ。