大学数学基礎解説

級数bot IIの級数を示す

級数,微分方程式

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級数 $bot II$ の級数を示す

どうも、らららです。
今回は級数 $bot II$ のこの級数を示していきます。( ツイート )

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} - 2 \log^{2} 2$

見た瞬間これポリログっぽいなぁって思いました。

ちなみにこの級数はΙδέαさんのこちらの記事で多重ゼータ値を用いて証明されています。
今回は別の方法で解いていきます。

解いていきます。

解くために使う補題を示していきます。

中央二項係数の母関数

$\sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{2 n}{n}) x^{n} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}$

証明

超幾何級数を用いて示す

\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{2 n}{n}) x^{n} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{2^{2 n} (n!)^{2}} (4 x)^{n} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\frac{1}{2}, 1)}_{n}}{(1)_{n} n!} (4 x)^{n} \\ =_{2} F_{1} [\begin{matrix} \frac{1}{2}, 1 \\ 1 \end{matrix}; 4 x] \end{aligned}

ここで、超幾何級数の変換を召喚して

_{2} F_{1} [\begin{matrix} a, a + \frac{1}{a} \\ 2 a \end{matrix}; z] = \frac{1}{\sqrt{1 - z}} {(\frac{2}{1 + \sqrt{1 - z}})}^{2 a - 1}

a = \frac{1}{2}, z = 4 x

とすれば題意を得る。
(この超幾何級数の変換はNKSさんのこちらの PDF で示されている)
また、後の証明では

x \to \frac{x}{4}

として

n = 1

からの形にして

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} x^{n} = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} - 1

を用いる。

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} n} = 2 \log 2$

証明

\int_{0}^{1} x^{n - 1} d x = \frac{1}{n}

に注意して

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} n} & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} \int_{0}^{1} x^{n - 1} d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} x^{n} d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} (\frac{1}{\sqrt{1 - x}} - 1) d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{1 - \sqrt{1 - x}}{x \sqrt{1 - x}} d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (1 - x)} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1 - x}{1 - x^{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{d x}{x + 1} \\ = 2 \log 2 \end{aligned}

てことで証明していく😤

$f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} n^{2}} x^{n}$
$f^{'} (x) = \frac{1}{x} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} n} x^{n}$
$\begin{aligned} f^{″} (x) & = - \frac{1}{x^{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} n} x^{n} + \frac{1}{x^{2}} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} x^{n} \\ = - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (x) + \frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{\sqrt{1 - x}} - 1) \end{aligned}$
あとは微分方程式を解いて
$f (x) = C_{1} + C_{2} \log x + 2 {Li}_{2} (\frac{1 - \sqrt{1 - x}}{2}) - \log^{2} (1 + \sqrt{1 - x}) - 2 \log 2 \log (1 - \sqrt{1 - x})$
$f^{'} (x) = \frac{C_{2}}{x} - \frac{2 \log (1 + \sqrt{1 - x})}{x}$
$f^{'} (1) = 2 \log 2$ より $C_{2} = 2 \log 2$
$f^{'} (x) = \frac{2 \log 2}{x} - \frac{2 \log (1 + \sqrt{1 - x})}{x}$
$\begin{aligned} f (x) & = C_{1} + 2 \log 2 \log x + 2 {Li}_{2} (\frac{1 - \sqrt{1 - x}}{2}) - \log^{2} (1 + \sqrt{1 - x}) - 2 \log 2 \log (1 - \sqrt{1 - x}) \\ = C_{1} + 2 \log 2 (\log x - \log (1 - \sqrt{1 - x})) + 2 {Li}_{2} (\frac{1 - \sqrt{1 - x}}{2}) - \log^{2} (1 + \sqrt{1 - x}) \end{aligned}$
両辺を $x \to 0$ で極限をとる
$\begin{aligned} lim_{x \to 0} (\log x - \log (1 - \sqrt{1 - x})) & = lim_{x \to 0} \log (\frac{x}{1 - \sqrt{1 - x}}) \\ = lim_{x \to 0} \log (1 + \sqrt{1 - x}) \\ = \log 2 \end{aligned}$
$lim_{x \to 0} f (x) = 0$ より $C_{1} = - \log^{2} 2$
$f (x) = - \log^{2} 2 + 2 \log 2 (\log x - \log (1 - \sqrt{1 - x})) + 2 {Li}_{2} (\frac{1 - \sqrt{1 - x}}{2}) - \log^{2} (1 + \sqrt{1 - x})$
${Li}_{2} (\frac{1}{2}) = \frac{π^{2}}{12} - \frac{\log^{2} 2}{2}$ を用いて
$f (1) = \frac{π^{2}}{6} - 2 \log^{2} 2$
よって、題意は示された。