集合 ➃

Def.

Prop & Proof

集合の等号を示すため、$A\cup A\subseteq A$と$A\subseteq A\cup A$を示す。

1. $A\cup A\subseteq A$を示す。
   任意の$x\in U$を取る。$x\in A\cup A$を仮定する。
   和集合の定義より
   $$ x\in A\cup A\ \Leftrightarrow\ (x\in A\lor x\in A) $$
   であるから、$x\in A\lor x\in A$が成り立つ。
   命題論理より$(P\lor P)\Leftrightarrow P$が成り立つから、$x\in A$が従う。
   よって任意の$x\in U$について$(x\in A\cup A\Rightarrow x\in A)$が成り立つ。従って$A\cup A\subseteq A$である。
   $ $
2. $A\subseteq A\cup A$を示す。
   任意の$x\in U$を取る。$x\in A$を仮定する。
   このとき命題論理より$(P\lor P)\Leftrightarrow P$であるから$x\in A\lor x\in A$が成り立つ。
   従って和集合の定義より$x\in A\cup A$が従う。
   よって任意の$x\in U$について$(x\in A\Rightarrow x\in A\cup A)$が成り立つ。従って$A\subseteq A\cup A$である。
   $ $

-以上より$A\cup A\subseteq A$かつ$A\subseteq A\cup A$であるから$A\cup A=A$が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の等号を示すため、$A\cap A\subseteq A$と$A\subseteq A\cap A$を示す。

1. $A\cap A\subseteq A$を示す。
   任意の$x\in U$を取る。$x\in A\cap A$を仮定する。
   共通部分の定義より
   $$ x\in A\cap A\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\in A) $$
   であるから、$x\in A\land x\in A$が成り立つ。従って$x\in A$が従う。
   よって任意の$x\in U$について$(x\in A\cap A\Rightarrow x\in A)$が成り立つ。従って$A\cap A\subseteq A$である。
   $ $
2. $A\subseteq A\cap A$を示す。
   任意の$x\in U$を取る。$x\in A$を仮定する。
   このとき$x\in A\land x\in A$が成り立つ。従って共通部分の定義より$x\in A\cap A$が従う。
   よって任意の$x\in U$について$(x\in A\Rightarrow x\in A\cap A)$が成り立つ。従って$A\subseteq A\cap A$である。
   $ $

-以上より$A\cap A\subseteq A$かつ$A\subseteq A\cap A$であるから$A\cap A=A$が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の等号の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ x\in B\cup A $$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとる。和集合の定義より
$$ x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor\ x\in B) $$
が成り立つ。命題論理の交換律より、
$$ (x\in A\ \lor\ x\in B)\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \lor\ x\in A) $$
である。一方で、和集合の定義より
$$ x\in B\cup A\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \lor\ x\in A) $$
が成り立つ。以上より
$$ x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ x\in B\cup A $$
が任意の$x\in U$について成り立つので、集合の等号の定義より
$$ A\cup B = B\cup A $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の等号の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ x\in B\cap A $$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとる。共通部分の定義より
$$ x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B) $$
が成り立つ。命題論理の交換律より
$$ (x\in A\ \land\ x\in B)\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \land\ x\in A) $$
である。一方で、共通部分の定義より
$$ x\in B\cap A\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \land\ x\in A) $$
が成り立つ。以上より
$$ x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ x\in B\cap A $$
が任意の$x\in U$について成り立つので、集合の等号の定義より
$$ A\cap B = B\cap A $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の等号の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in (A\cup B)\cap A\ \Leftrightarrow\ x\in A $$
を示せばよい。
任意の$x\in U$をとる。

1. $x\in (A\cup B)\cap A\Rightarrow x\in A$を示す。
   $x\in (A\cup B)\cap A$を仮定する。
   共通部分の定義より
   $$ x\in (A\cup B)\cap A\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cup B\land x\in A) $$
   であるから、$x\in A$が従う。
   $ $
2. $x\in A\Rightarrow x\in (A\cup B)\cap A$を示す。
   $x\in A$を仮定する。
   命題論理(選言導入)より$x\in A\lor x\in B$が成り立つので、和集合の定義より$x\in A\cup B$が従う。
   したがって$x\in A\cup B$かつ$x\in A$が成り立つから、共通部分の定義より$x\in (A\cup B)\cap A$が従う。

-以上より、任意の$x\in U$について
$$ x\in (A\cup B)\cap A\ \Leftrightarrow\ x\in A $$
が成り立つ。従って集合の等号の定義より
$$ (A\cup B)\cap A=A $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の等号の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in (A\cap B)\cup A\ \Leftrightarrow\ x\in A $$
を示せばよい。
任意の$x\in U$をとる。

1. $x\in (A\cap B)\cup A\Rightarrow x\in A$を示す。
   $x\in (A\cap B)\cup A$を仮定する。
   和集合の定義より
   $$ x\in (A\cap B)\cup A\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cap B\lor x\in A) $$
   であるから、$x\in A\cap B$または$x\in A$が成り立つ。
   $x\in A\cap B$の場合は、共通部分の定義より$x\in A$が従う。
   $x\in A$の場合は明らかに$x\in A$である。
   よっていずれの場合も$x\in A$が成り立つ。
   $ $
2. $x\in A\Rightarrow x\in (A\cap B)\cup A$を示す。
   $x\in A$を仮定する。
   命題論理(選言導入)より$x\in A\cap B\lor x\in A$が成り立つ。
   従って和集合の定義より$x\in (A\cap B)\cup A$が従う。

-以上より、任意の$x\in U$について
$$ x\in (A\cap B)\cup A\ \Leftrightarrow\ x\in A $$
が成り立つ。従って集合の等号の定義より
$$ (A\cap B)\cup A=A $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

1. $A\cap B=A$ を仮定する。
   任意の $x\in A$ をとる。仮定より $A=A\cap B$ だから $x\in A\cap B$ である。
   共通部分の定義より $x\in B$ が従う。よって任意の $x\in A$ について $x\in B$ であるから $A\subseteq B$ が成り立つ。
   $ $
2. 逆に $A\subseteq B$ を仮定する。
   まず $A\cap B\subseteq A$ を示す。任意の $x\in A\cap B$ をとると、共通部分の定義より $x\in A$ である。
   よって $A\cap B\subseteq A$ が成り立つ。
   $ $
   次に $A\subseteq A\cap B$ を示す。任意の $x\in A$ をとる。仮定 $A\subseteq B$ より $x\in B$ である。
   従って $x\in A$ かつ $x\in B$ なので $x\in A\cap B$。よって $A\subseteq A\cap B$ である。
   $ $
   以上より $A\cap B\subseteq A$ かつ $A\subseteq A\cap B$ だから $A\cap B=A$。

-従って $A\cap B=A$ であるための必要十分条件は $A\subseteq B$ である。
$$ \Box$$

1. 集合の等号の定義より、$A\subseteq B$ かつ $B\subseteq A$ を示せばよい。
   $A\cup B=A\cap B$ を仮定する。
   任意の $x\in A$ をとると、$x\in A\cup B$ である。仮定より $A\cup B=A\cap B$ だから $x\in A\cap B$ となる。
   従って $x\in B$ である。よって $A\subseteq B$ である。
   同様に、任意の $x\in B$ をとると $x\in A\cup B$、仮定より $A\cup B=A\cap B$ だから $x\in A\cap B$ となる。
   従って $x\in A$ である。よって $B\subseteq A$ である。
   $ $
   以上より $A\subseteq B$ かつ $B\subseteq A$ であるから集合の相等より $A=B$ を得る。
   $$ \Box$$
2. 集合の等号の定義より、$A\subseteq B$ かつ $B\subseteq A$ を示せばよい。
   $A\cap C=B\cap C$ かつ $A\cup C=B\cup C$ を仮定する。
   $ $
   まず $A\subseteq B$ を示す。任意の $x\in A$ をとる。
   (i) もし $x\in C$ ならば、$x\in A\cap C$ である。仮定 $A\cap C=B\cap C$ より $x\in B\cap C$ である。
   従って $x\in B$ を得る。
   (ii) もし $x\notin C$ ならば、$x\in A$ なので $x\in A\cup C$ である。仮定 $A\cup C=B\cup C$ より $x\in B\cup C$ である。
   しかも $x\notin C$ だから、$x\in B\cup C$ であるためには $x\in B$ でなければならない。
   $ $
   (i)(ii)より任意の $x\in A$ について $x\in B$ が成り立つ。よって $A\subseteq B$ が成り立つ。
   $ $
   次に $B\subseteq A$ を示す。任意の $x\in B$ を取る。
   (i) もし $x\in C$ ならば、$x\in B$ かつ $x\in C$ であるから $x\in B\cap C$ である。
   仮定 $A\cap C=B\cap C$ より $x\in A\cap C$ が従う。従って $x\in A$ である。
   (ii) もし $x\notin C$ ならば、$x\in B$ であるから $x\in B\cup C$ である。
   仮定 $A\cup C=B\cup C$ より $x\in A\cup C$ が従う。
   ところが $x\notin C$ なので、$x\in A\cup C$ であるためには $x\in A$ でなければならない。
   従って $x\in A$ である。
   $ $
   (i)(ii)より任意の $x\in B$ について $x\in A$ が成り立つ。よって $B\subseteq A$ が成り立つ。

-従って $A\subseteq B$ かつ $B\subseteq A$ より $A=B$。
$$ \Box$$