集合 ➃
はじめに
こちら ① に、これまでに作成した数学ノートをシリーズとしてまとめています(※)。
※ 読み進める順番は、ページ下部（古い記事）から上部（新しい記事）へです。
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こちら ➁ に、証明を進めるうえでのポイントを随時まとめています。必要に応じて参照してください。
こちら ③ に、数学における基本用語を随時まとめています。必要に応じて参照してください。
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Def.
全体集合$U$を$1$つ固定し、$A,B\subseteq U$とする。このとき、$A$と$B$の和集合$A\cup B$を次で定義する。
$$
A\cup B:=\{x\in U\mid x\in A\ \lor\ x\in B\}
$$
任意の$x\in U$について
$$
x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor\ x\in B)
$$
が成り立つ。
全体集合$U$を$1$つ固定し、$A,B\subseteq U$とする。このとき、$A$と$B$の共通部分$A\cap B$を次で定義する。
$$
A\cap B:=\{x\in U\mid x\in A\ \land\ x\in B\}
$$
任意の$x\in U$について
$$
x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B)
$$
が成り立つ。
全体集合$U$を$1$つ固定し、$A,B\subseteq U$とする。$A$と$B$が互いに交わらないとは
$$
A\cap B=\varnothing
$$
が成り立つことをいう。このとき、$A$と$B$の非交和$A\sqcup B$を
$$
A\sqcup B:=A\cup B
$$
で定義する。
$A\cap B=\varnothing$のもとで、任意の$x\in U$について
$$
x\in A\sqcup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor\ x\in B)
$$
が成り立つ。また、$A\cap B=\varnothing$のもとで
$$
x\in A\ \land\ x\in B
$$
は起こらないので、要素$x$は高々$1$つの側にしか属さない。
Prop & Proof
集合$U$を全体集合とし、$A\subseteq U$とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cup A = A
$$
集合の等号を示すため、$A\cup A\subseteq A$と$A\subseteq A\cup A$を示す。
- $A\cup A\subseteq A$を示す。
任意の$x\in U$を取る。$x\in A\cup A$を仮定する。
和集合の定義より
$$ x\in A\cup A\ \Leftrightarrow\ (x\in A\lor x\in A) $$
であるから、$x\in A\lor x\in A$が成り立つ。
命題論理より$(P\lor P)\Leftrightarrow P$が成り立つから、$x\in A$が従う。
よって任意の$x\in U$について$(x\in A\cup A\Rightarrow x\in A)$が成り立つ。従って$A\cup A\subseteq A$である。
$ $ - $A\subseteq A\cup A$を示す。
任意の$x\in U$を取る。$x\in A$を仮定する。
このとき命題論理より$(P\lor P)\Leftrightarrow P$であるから$x\in A\lor x\in A$が成り立つ。
従って和集合の定義より$x\in A\cup A$が従う。
よって任意の$x\in U$について$(x\in A\Rightarrow x\in A\cup A)$が成り立つ。従って$A\subseteq A\cup A$である。
$ $
-以上より$A\cup A\subseteq A$かつ$A\subseteq A\cup A$であるから$A\cup A=A$が成り立つ。
$$ \Box$$
集合$U$を全体集合とし、$A\subseteq U$とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cap A = A
$$
集合の等号を示すため、$A\cap A\subseteq A$と$A\subseteq A\cap A$を示す。
- $A\cap A\subseteq A$を示す。
任意の$x\in U$を取る。$x\in A\cap A$を仮定する。
共通部分の定義より
$$ x\in A\cap A\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\in A) $$
であるから、$x\in A\land x\in A$が成り立つ。従って$x\in A$が従う。
よって任意の$x\in U$について$(x\in A\cap A\Rightarrow x\in A)$が成り立つ。従って$A\cap A\subseteq A$である。
$ $ - $A\subseteq A\cap A$を示す。
任意の$x\in U$を取る。$x\in A$を仮定する。
このとき$x\in A\land x\in A$が成り立つ。従って共通部分の定義より$x\in A\cap A$が従う。
よって任意の$x\in U$について$(x\in A\Rightarrow x\in A\cap A)$が成り立つ。従って$A\subseteq A\cap A$である。
$ $
-以上より$A\cap A\subseteq A$かつ$A\subseteq A\cap A$であるから$A\cap A=A$が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とし、$A,B\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cup B = B\cup A
$$
集合の等号の定義より、任意の$x\in U$について
$$
x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ x\in B\cup A
$$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとる。和集合の定義より
$$
x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor\ x\in B)
$$
が成り立つ。命題論理の交換律より、
$$
(x\in A\ \lor\ x\in B)\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \lor\ x\in A)
$$
である。一方で、和集合の定義より
$$
x\in B\cup A\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \lor\ x\in A)
$$
が成り立つ。以上より
$$
x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ x\in B\cup A
$$
が任意の$x\in U$について成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\cup B = B\cup A
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とし、$A,B\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cap B = B\cap A
$$
集合の等号の定義より、任意の$x\in U$について
$$
x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ x\in B\cap A
$$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとる。共通部分の定義より
$$
x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B)
$$
が成り立つ。命題論理の交換律より
$$
(x\in A\ \land\ x\in B)\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \land\ x\in A)
$$
である。一方で、共通部分の定義より
$$
x\in B\cap A\ \Leftrightarrow\ (x\in B\ \land\ x\in A)
$$
が成り立つ。以上より
$$
x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ x\in B\cap A
$$
が任意の$x\in U$について成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\cap B = B\cap A
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
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