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大学数学基礎解説
文献あり

被覆のファイバーについて

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被覆のファイバー

 この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。

 以下、X を位相空間とします。位相空間 X1X2 が同相であることを X1X2 と書くことにします。

Note

 X 上の被覆 (Y, p) に対して、xX の被覆近傍 VV のシートの族 {Ui}iI を考える。 被覆について の命題 1 では I に離散位相を入れ、直積 V×I によって V の自明な被覆を構成したが、I はファイバー Fx:=p1(x) と同相である。実際、
IFx, iui
は同相写像である。ただし uip1(x)Ui のただ一つの点である。

 X が連結である場合、ファイバーの濃度は一定になります。次の命題は参考文献 [1] Corollary 2.1.4 を参考にさせていただきました。

 (Y, p)X 上の被覆、X は連結とする。このとき、任意の x, xX に対して p1(x)p1(x) である。

概略

 X 上の 2 点に対しファイバーが同相という同値関係を入れ、X を互いに素な開集合の和集合に分解する。

詳細

 xX に対して Fx:=p1(x) とおく。
 x, xX に対して 2 項関係 xxFxFx と定義する。この同値関係に関する xX の同値類を Cx とすると、X の連結性により X=Cx となり主張がしたがう。そこで Cx が開集合であることを示す。
 任意の zCx をとる。(Y, p)X 上の被覆であるから、z の被覆近傍 VV のシートの族 {Ui}iI が存在する。VCx を示す。任意の vV に対して
FvFz, uiui
は同相写像である。ただし uip1(x)Ui のただ一つの点、uip1(z)Ui のただ一つの点である。よって vz より vCx となる。したがって VCx となるから CxX の開集合である。

 この命題によって X が連結である場合、被覆近傍 V の自明な被覆 V×IIV ごとに考えるのではなく、X の 1 点を固定しておき、そのファイバーを I として採用すれば十分です。

参考文献

[1]
Tamás Szamuely, Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge University Press, 2009
投稿日:2023510
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pha
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初めまして!ファ♪です☺️ よろしくお願いします🤲🐹

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