文献あり

被覆のファイバーについて

被覆のファイバー

　この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。

　以下、 $X$ を位相空間とします。位相空間 $X_{1}$ と $X_{2}$ が同相であることを $X_{1} ≃ X_{2}$ と書くことにします。

Note

　 $X$ 上の被覆 $(Y, p)$ に対して、 $x \in X$ の被覆近傍 $V$ と $V$ のシートの族 ${U_{i}}_{i \in I}$ を考える。被覆についての命題 1 では $I$ に離散位相を入れ、直積 $V \times I$ によって $V$ の自明な被覆を構成したが、 $I$ はファイバー $F_{x} := p^{- 1} (x)$ と同相である。実際、
$I \to F_{x}, i \mapsto u_{i}$
は同相写像である。ただし $u_{i}$ は $p^{- 1} (x) \cap U_{i}$ のただ一つの点である。

　 $X$ が連結である場合、ファイバーの濃度は一定になります。次の命題は参考文献 [1] Corollary 2.1.4 を参考にさせていただきました。

　 $(Y, p)$ を $X$ 上の被覆、 $X$ は連結とする。このとき、任意の $x, x^{'} \in X$ に対して $p^{- 1} (x) ≃ p^{- 1} (x^{'})$ である。

概略

　 $X$ 上の 2 点に対しファイバーが同相という同値関係を入れ、 $X$ を互いに素な開集合の和集合に分解する。

詳細

　 $x \in X$ に対して $F_{x} := p^{- 1} (x)$ とおく。
　 $x, x^{'} \in X$ に対して 2 項関係 $x \sim x^{'}$ を $F_{x} ≃ F_{x}^{'}$ と定義する。この同値関係に関する $x \in X$ の同値類を $C_{x}$ とすると、 $X$ の連結性により $X = C_{x}$ となり主張がしたがう。そこで $C_{x}$ が開集合であることを示す。
　任意の $z \in C_{x}$ をとる。 $(Y, p)$ は $X$ 上の被覆であるから、 $z$ の被覆近傍 $V$ と $V$ のシートの族 ${U_{i}}_{i \in I}$ が存在する。 $V \subset C_{x}$ を示す。任意の $v \in V$ に対して
$F_{v} \to F_{z}, u_{i} \mapsto u_{i}^{'}$
は同相写像である。ただし $u_{i}$ は $p^{- 1} (x) \cap U_{i}$ のただ一つの点、 $u_{i}^{'}$ は $p^{- 1} (z) \cap U_{i}$ のただ一つの点である。よって $v \sim z$ より $v \in C_{x}$ となる。したがって $V \subset C_{x}$ となるから $C_{x}$ は $X$ の開集合である。