文献あり

被覆のファイバーについて

被覆のファイバー

　この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。

　以下、$X$ を位相空間とします。位相空間 $X_1$ と $X_2$ が同相であることを $X_1\simeq X_2$ と書くことにします。

Note

　$X$ 上の被覆 $(Y,\ p)$ に対して、$x\in X$ の被覆近傍 $V$ と $V$ のシートの族 $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ を考える。被覆についての命題 1 では $I$ に離散位相を入れ、直積 $V\times I$ によって $V$ の自明な被覆を構成したが、$I$ はファイバー $F_x:=p^{-1}(x)$ と同相である。実際、
$$ I\to F_x,\ i\mapsto u_i$$
は同相写像である。ただし $u_i$ は $p^{-1}(x)\cap U_i$ のただ一つの点である。

　$X$ が連結である場合、ファイバーの濃度は一定になります。次の命題は参考文献 [1] Corollary 2.1.4 を参考にさせていただきました。

　$(Y,\ p)$ を $X$ 上の被覆、$X$ は連結とする。このとき、任意の $x,\ x' \in X$ に対して $p^{-1}(x)\simeq p^{-1}(x')$ である。

概略

　$X$ 上の 2 点に対しファイバーが同相という同値関係を入れ、$X$ を互いに素な開集合の和集合に分解する。

詳細

　$x\in X$ に対して $F_x:=p^{-1}(x)$ とおく。
　$x,\ x' \in X$ に対して 2 項関係 $x\sim x'$ を $F_x\simeq F_x'$ と定義する。この同値関係に関する $x\in X$ の同値類を $C_x$ とすると、$X$ の連結性により $X=C_x$ となり主張がしたがう。そこで $C_x$ が開集合であることを示す。
　任意の $z\in C_x$ をとる。$(Y,\ p)$ は $X$ 上の被覆であるから、$z$ の被覆近傍 $V$ と $V$ のシートの族 $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ が存在する。$V\subset C_x$ を示す。任意の $v\in V$ に対して
$$ F_v\to F_z,\ u_i\mapsto u_i'$$
は同相写像である。ただし $u_i$ は $p^{-1}(x)\cap U_i$ のただ一つの点、$u_i'$ は $p^{-1}(z)\cap U_i$ のただ一つの点である。よって $v\sim z$ より $v\in C_x$ となる。したがって $V\subset C_x$ となるから $C_x$ は $X$ の開集合である。