被覆のファイバー
この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。
以下、 を位相空間とします。位相空間 と が同相であることを と書くことにします。
Note
上の被覆 に対して、 の被覆近傍 と のシートの族 を考える。
被覆について
の命題 1 では に離散位相を入れ、直積 によって の自明な被覆を構成したが、 はファイバー と同相である。実際、
は同相写像である。ただし は のただ一つの点である。
が連結である場合、ファイバーの濃度は一定になります。次の命題は参考文献 [1] Corollary 2.1.4 を参考にさせていただきました。
を 上の被覆、 は連結とする。このとき、任意の に対して である。
概略
上の 2 点に対しファイバーが同相という同値関係を入れ、 を互いに素な開集合の和集合に分解する。
詳細
に対して とおく。
に対して 2 項関係 を と定義する。この同値関係に関する の同値類を とすると、 の連結性により となり主張がしたがう。そこで が開集合であることを示す。
任意の をとる。 は 上の被覆であるから、 の被覆近傍 と のシートの族 が存在する。 を示す。任意の に対して
は同相写像である。ただし は のただ一つの点、 は のただ一つの点である。よって より となる。したがって となるから は の開集合である。
この命題によって が連結である場合、被覆近傍 の自明な被覆 の を ごとに考えるのではなく、 の 1 点を固定しておき、そのファイバーを として採用すれば十分です。