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大学数学基礎解説
文献あり

被覆のファイバーについて

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被覆のファイバー

 この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。

 以下、$X$ を位相空間とします。位相空間 $X_1$$X_2$ が同相であることを $X_1\simeq X_2$ と書くことにします。

Note

 $X$ 上の被覆 $(Y,\ p)$ に対して、$x\in X$ の被覆近傍 $V$$V$ のシートの族 $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ を考える。 被覆について の命題 1 では $I$ に離散位相を入れ、直積 $V\times I$ によって $V$ の自明な被覆を構成したが、$I$ はファイバー $F_x:=p^{-1}(x)$ と同相である。実際、
$$ I\to F_x,\ i\mapsto u_i$$
は同相写像である。ただし $u_i$$p^{-1}(x)\cap U_i$ のただ一つの点である。

 $X$ が連結である場合、ファイバーの濃度は一定になります。次の命題は参考文献 [1] Corollary 2.1.4 を参考にさせていただきました。

 $(Y,\ p)$$X$ 上の被覆、$X$ は連結とする。このとき、任意の $x,\ x' \in X$ に対して $p^{-1}(x)\simeq p^{-1}(x')$ である。

概略

 $X$ 上の 2 点に対しファイバーが同相という同値関係を入れ、$X$ を互いに素な開集合の和集合に分解する。

詳細

 $x\in X$ に対して $F_x:=p^{-1}(x)$ とおく。
 $x,\ x' \in X$ に対して 2 項関係 $x\sim x'$$F_x\simeq F_x'$ と定義する。この同値関係に関する $x\in X$ の同値類を $C_x$ とすると、$X$ の連結性により $X=C_x$ となり主張がしたがう。そこで $C_x$ が開集合であることを示す。
 任意の $z\in C_x$ をとる。$(Y,\ p)$$X$ 上の被覆であるから、$z$ の被覆近傍 $V$$V$ のシートの族 $\lbrace U_i\rbrace_{i\in I}$ が存在する。$V\subset C_x$ を示す。任意の $v\in V$ に対して
$$ F_v\to F_z,\ u_i\mapsto u_i'$$
は同相写像である。ただし $u_i$$p^{-1}(x)\cap U_i$ のただ一つの点、$u_i'$$p^{-1}(z)\cap U_i$ のただ一つの点である。よって $v\sim z$ より $v\in C_x$ となる。したがって $V\subset C_x$ となるから $C_x$$X$ の開集合である。

 この命題によって $X$ が連結である場合、被覆近傍 $V$ の自明な被覆 $V\times I$$I$$V$ ごとに考えるのではなく、$X$ の 1 点を固定しておき、そのファイバーを $I$ として採用すれば十分です。

参考文献

[1]
Tamás Szamuely, Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge University Press, 2009
投稿日:2023510

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投稿者

pha
25
4009
初めまして!ファ♪です☺️ よろしくお願いします🤲🐹

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