ossaの証明を紹介したかったのですが,穴が埋められなかったので諦めました.
$X$を集合とする.稠密部分集合$D \subset [0,1]$で添字づけられた$X$の被覆$(X(r))_{r \in D}$について
$$
r < s \implies X(r) \subset X(s)$$
が成り立つとする.いま$X = \bigcup_{r} X(r)$より,任意の$x \in X$に対して
$$
\{r \in D \mid x \in X(r)\} \neq \varnothing$$
であるから,写像$F := F_{(X(r))_{r\in D}} \colon X \to [0,1]$を
$$
F(x) := \inf\{r \in D \mid x \in X(r)\}$$
で定めることができる.
$t \in [0,1]$とする.このとき次が成り立つ:
$X$を位相空間とし,その被覆$(X(r))_{r \in D}$が以下のいづれかを満たすとする:
このとき,写像
$$
F:= F_{(X(r))_{r\in D}} \colon X \to [0,1];\ x \mapsto \inf\{r \in D \mid x \in X(r)\}$$
は連続である.
$\tau([0,1])$の準開基の元の$F$による逆像が$X$の開集合であること,すなわち任意の$t \in [0,1]$に対して,
$$
F^{\leftarrow}([0,t[\,) \subset X$$
が開集合であること,および
$$
F^{\leftarrow}([0,t]) = X \smallsetminus F^{\leftarrow}(\,]t,1]) \subset X$$
が閉集合であることを示せばよい.
各$n \in \mathbb{N} = \mathbb{Z}_{\geq 0}$に対して
$$
D_{n} := \{r \in [0,1] \mid 2^{n}r \in \mathbb{N}\}$$
とおき,
$$
D := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} D_{n}$$
とおく.このとき$D \subset [0,1]$は可算稠密部分集合である.
$a,b \in [0,1],a< b,$とする.このとき$n \in \mathbb{N}$であって
$$
\frac{1}{2^{n}} < b-a$$
なるものが存在する.いま
$$
a \in [0,1[\, = \bigcup_{i=0}^{2^{n}-1} \left[\frac{i}{2^{n}}, \frac{i+1}{2^{n}}\right[$$
であるから,$i \in [2^{n}-1] := \{0,\ldots,2^{n}-1\}$であって
$$
a \in \left[\frac{i}{2^{n}},\frac{i+1}{2^{n}}\right[$$
を満たすものが存在する.よって$r := 2^{-n}(i+1) \in D$とおくと,
$$
a < r = \frac{i}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n}} \leq a + \frac{1}{2^{n}} < b$$
が成り立つ.
$$ D_{0} = \{0,1\} \subset D_{1} = \{0,\tfrac{1}{2},1\} \subset D_{2} = \{0,\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{4}, 1\}.$$
任意の$n \in \mathbb{N}$に対して
$$
D_{n+1} = D_{n} \sqcup \qty{\frac{2i+1}{2^{n+1}} \in [0,1] \,\middle|\, i \in [2^{n}-1]}$$
が成り立つ.実際,$\supset$は明らかであり,$r \in D_{n+1}\smallsetminus D_{n}$とすると,$2^{n+1}r \in \mathbb{N}$より$m \in \mathbb{N}$であって
$$
r = \frac{m}{2^{n+1}}$$
なるものが存在するが,$2^{n}r \notin \mathbb{N}$より$m \in [2^{n+1}]$は奇数である.
$X$を位相空間とする.このとき次は同値である:
$A := X \smallsetminus W$とおくと,$A,C \subset X$は互いに交わらない閉集合なので,$U \in \tau(A,X), V \in \tau(C,X)$であって$U \cap V = \varnothing$を満たすものが存在する.このとき
$$
V \subset X \smallsetminus U \in \tau^{c}(X)$$
より,
$$
\cl(V) \subset X \smallsetminus U \subset X \smallsetminus A = W$$
が成り立つ.
$N := \cl(V)$とおけば
$$
C \subset V \subset \I(N) \subset N \subset W$$
が成り立つ.
$W := X \smallsetminus A$とおくと,これは$C$の開近傍なので,$C$の閉近傍$N \subset X$であって$N \subset W$を満たすものが存在する.このとき,
$$
A = X \smallsetminus W \subset X \smallsetminus N$$
より,$U:= X \smallsetminus N \in \tau(X)$は$A$の開近傍であって$U \cap \I(N) = \varnothing$を満たす.
以下,$D = \bigcup_{n} D_{n} \subset [0,1]$はdyadicで定めたものとする.
$X$を正規空間,$A \subset X$をその閉集合とし,$f \colon A \to [0,1]$を連続写像とする.このとき,連続写像$\tilde{f} \colon X \to [0,1]$であって$\tilde{f}|A = f$を満たすものが存在する.
証明は こちら (Theorem 2.53(p. 32))にあるものを大いに参考にした.
各$r \in D$に対して
$$
U_{A}(r) := \{x \in A \mid f(x) < r\} \subset \{x \in A \mid f(x) \leq r\} =: A(r)$$
とおく.$A(r) \subset X$は閉集合であることに注意する.また,
$$
U(r) := (X\smallsetminus A) \cup U_{A}(r) = X \smallsetminus f^{\leftarrow}([r,1]) \in \tau(X)$$
とおくと,
$$
r < s \implies A(r) \subset U(s)$$
が成り立つ.最後に,
$$
\Delta := \{(r,s) \in D \times D \mid r < s\}$$
とおき,
$$
(r',s') < (r,s) :\iff (r' < r) \land (s' < s)$$
と定める.
$((r_{n},s_{n}))_{n \in \mathbb{N}}$を$\Delta$の元の数え上げとする.$X$の開集合族$(W(r,s))_{(r,s) \in \Delta}$であって
を満たすものを,次のようにして定める:
$X$の閉被覆$(X(r))_{r \in D}$を
$$
X(r) := \begin{cases}
\bigcap\{\cl(W(r,s)) \mid s \in D,\ r < s\} &, r < 1\\
X &, r = 1
\end{cases}$$
で定める.このとき
が成り立つ.
$r \in D$とする.
$$
A \cap X(1) = A = A(1)$$
であるから,$r < 1$としてよい.
以上より
$$
A \cap X(r) = A(r)$$
が成り立つ.
$(r,s) \in \Delta$とする.
$$
X(r) \subset X = \I(X(1))$$
であるから,$s < 1$としてよい.$D \subset [0,1]$の稠密性より,$s' \in D$であって$r < s' < s$なるものが存在する.このとき,$(r,s') < (s',s)$より,
$$
X(r) \subset \cl(W(r,s')) \subset W(s',s)$$
が成り立つ.一方,
$$
X(s) = \bigcap \{\cl(W(s,t)) \mid t \in D,\ s < t\}$$
であった.そこで$t \in D, s < t,$とすると,$(s',s) < (s,t)$より
$$
W(s',s) \subset \cl(W(s',s)) \subset W(s,t) \subset \cl(W(s,t))$$
が成り立つ.よって,
$$
W(s',s) \subset \bigcap\{\cl(W(s,t)) \mid t \in D,\ s < t\} = X(s)$$
となるので,
$$
X(r) \subset W(s',s) \subset \I(X(s))$$
が成り立つ.
写像$\tilde{f} \colon X \to [0,1]$を
$$
\tilde{f}(x) := F_{(X(r))_{r\in D}}(x) = \inf\{r \in D \mid x \in X(r)\}$$
で定めると,contiより,これは連続写像である.あとは$\tilde{f}|A = f$を示せばよい.そこで$x \in A$とする.
$h \colon [a,b] \to [0,1]$を同相写像とする.正規空間$X$の閉集合$A \subset X$上の連続写像$f \colon A \to [a,b]$に対して,$h \circ f \colon A \to [0,1]$の連続拡張を$g \colon X \to [0,1]$とおくと,$\tilde{f} := h^{-1} \circ g \colon X \to [a,b]$は$f$の連続拡張である.実際,$x \in A$とすると
$$
\tilde{f}(x) = h^{-1}(g(x)) = h^{-1}(h(f(x))) = f(x)$$
が成り立つ.
$X$を正規空間,$A_{0},A_{1} \subset X$を交わらない閉集合とする.このとき,連続写像$f \colon X \to [0,1]$であって
$$
f^{\rightarrow}(A_{0}) \subset \{0\},\ f^{\rightarrow}(A_{1}) \subset \{1\}$$
を満たすものが存在する.
写像$g \colon A_{0} \sqcup A_{1} \to [0,1]$を
$$
g(x) := \begin{cases}
0 &, x \in A_{0}\\
1 &, x \in A_{1}
\end{cases}$$
で定めると,これは連続であるから,tietzeより,連続写像$f \colon X \to [0,1]$であって$f|A_{0} \sqcup A_{1} = g$を満たすものが存在する.明らかに
$$
f^{\rightarrow}(A_{0}) \subset \{0\},\ f^{\rightarrow}(A_{1}) \subset \{1\}$$
が成り立つ.
$X$を正規空間,$A \subset X$をその閉集合とし,$f \colon A \to \mathbb{R}$を連続写像とする.このとき,連続写像$\tilde{f} \colon X \to \mathbb{R}$であって$\tilde{f}|A = f$を満たすものが存在する.
連続写像$\varphi \colon \mathbb{R} \rightleftarrows \,]-1,1[\, \colon \psi$を
$$
\varphi(r) := \frac{2}{\pi}\arctan(r);\ \psi(s) := \tan\qty(\frac{\pi s}{2})$$
で定めると,これらは互いの逆写像である.そこで
$$
f_{0} := \id_{]-1,1[}^{[-1,1]} \circ \varphi \circ f \colon A \to \mathbb{R} \approx \,]-1,1[\, \subset [-1,1]$$
とおくと,tietzeより,連続写像$\tilde{f_{0}} \colon X \to [-1,1]$であって$\tilde{f_{0}}|A = f_{0}$を満たすものが存在する.いま,
$$
A_{0} := \tilde{f_{0}}^{\leftarrow}(\{-1,1\}) \subset X$$
は$A$と交わらない閉集合であるから,urysohnより,連続写像$g \colon X \to [0,1]$であって
$$
g^{\rightarrow}(A_{0}) \subset \{0\},\ g^{\rightarrow}(A) \subset \{1\}$$
を満たすものが存在する.このとき,任意の$x \in X = A_{0} \cup (X \smallsetminus A_{0})$に対して
$$
\tilde{f_{0}}(x) g(x) \in \,]-1,1[$$
が成り立つので,連続写像$\tilde{f} \colon X \to \mathbb{R}$を
$$
\tilde{f}(x) := \psi(\tilde{f_{0}}(x)g(x))$$
で定めることができる.この$\tilde{f}$が$f$の連続拡張を与えている.実際,$x \in A$とすると,$g(x) = 1$より,
$$
\tilde{f}(x) = \psi(\tilde{f_{0}}(x)) = \psi(f_{0}(x)) = \psi(\varphi(f(x))) = f(x)$$
が成り立つ.
(Tietzeの拡張定理に依らない)よく見る証明もついでに書いておく.
開集合族$(X(r))_{r \in D}$であって
$$
r< s \implies A_{0} \subset X(r) \subset \cl(X(r)) \subset X(s) \subset X \smallsetminus A_{1}$$
を満たすものを,$r \in D_{n}$となる$n \in \mathbb{N}$に関して帰納的に定める:
改めて$X(1) := X$とおくと,$X$の開被覆$(X(r))_{r \in D}$はやはり
$$
r < s \implies \cl(X(r)) \subset X(s)$$
を満たすので,contiより,写像
$$
f := F_{(X(r))_{r\in D}} \colon X \to [0,1];\ x \mapsto \inf\{r \in D \mid x \in X(r)\}$$
は連続である.
ossaでは,次の補題を用いて閉被覆$(X(r))_{r \in D}$を構成している:
$X$を正規空間とし,$A,C \subset X$をその閉集合とする.さらに,$W \in \tau(C,X)$と$A \cap C$の閉近傍$N_{A \cap C} \subset A$が$N_{A \cap C} \subset A \cap W$を満たすとする.このとき,$C$の閉近傍$N_{C} \subset X$であって
$$
N_{C} \subset W,\ A \cap N_{C} = N_{A \cap C}$$
を満たすものが存在する.
$W \in \tau(C,X)$に対して,cl-nhdより,$C$の閉近傍$N_{1} \subset X$であって$N_{1} \subset W$を満たすものが存在する.ここで
$$
A' := \cl(A \smallsetminus N_{A \cap C}) = \cl(A \smallsetminus N_{A \cap C}) \cap A = \cl_{A}(A \smallsetminus N_{A \cap C})$$
とおくと,
$$
A' = \cl_{A}(A \smallsetminus N_{A \cap C}) = A \smallsetminus \I_{A}(N_{A \cap C}) \subset A \smallsetminus (A \cap C) = A \smallsetminus C$$
より,$A' \cap C = \varnothing$が成り立つ.したがって,$X \smallsetminus A' \in \tau(C,X)$に対して,cl-nhdより,$C$の閉近傍$N_{2} \subset X$であって$N_{2} \subset X \smallsetminus A'$を満たすものが存在する.この$N_{2}$について
$$
A \cap N_{2} \subset A \cap (X \smallsetminus A') = A \smallsetminus A' \subset N_{A \cap C}$$
が成り立つことに注意する.そこで$N_{0} := N_{1} \cap N_{2}$とおくと,
$$
C \subset \I(N_{1}) \cap \I(N_{2}) = \I(N_{1} \cap N_{2}) = \I(N_{0})$$
より$N_{0} \subset X$は$C$の閉近傍であり,
$$
N_{0} \subset N_{1} \subset W,$$
および
$$
A \cap N_{0} \subset A \cap N_{2} \subset N_{A \cap C}$$
が成り立つ.よって,
$$
N_{C} := N_{0} \cup N_{A \cap C}$$
とおくと,
$$
C \subset \I(N_{0}) \subset \I(N_{C})$$
より$N_{C} \subset X$は$C$の閉近傍であり,
$$
N_{C} \subset W \cup (A \cap W) \subset W,$$
および
$$
A \cap N_{C} = (A \cap N_{0}) \cup (A \cap N_{A \cap C}) = (A \cap N_{0}) \cup N_{A \cap C} = N_{A \cap C}$$
が成り立つ.
閉被覆$(X(r))_{r \in D}$を
を満たすように構成したい.$r \in D_{0}$に対しては
$$
X(0) := A(0),\ X(1) := X$$
とおけばよい.$r:= 2^{-(n+1)}(2i+1) \in D_{n+1} \smallsetminus D_{n}$とする.このとき
$$
C:= X\qty(\frac{i}{2^{n}}),\ W := \I\qty(X\qty(\frac{i+1}{2^{n}}))$$
とおくと,$C \subset X$は閉集合で$W \in \tau(C,X)$であり,
$$
A \cap C = A\qty(\frac{i}{2^{n}}) \subset U_{A}(r) \subset A(r)$$
より,$N_{A\cap C} := A(r)$は$A \cap C$の$A$における閉近傍である.ossaでは,ossa-lemより,$C$の閉近傍$N_{C} \subset X$であって
$$
N_{C} \subset W,\ A \cap N_{C} = N_{A\cap C}$$
を満たすものが存在するので,
$$
X(r) := N_{C}$$
とおけばよい,としている.ところが,ossa-lemを適用するために必要な条件
$$
N_{A \cap C} \subset A \cap W$$
が成り立つとは限らず,証明が回っていないように思う.
修正の要不要あるいは可否など,お気づきの点があればコメントしてくださると助かります.