Tietzeの拡張定理

1. 写像$F$の定義より
   $$\begin{array}{rl}x\in \mathrm{LHS}& ⟺inf\{r\in D\mid x\in X(r)\}<t\\ & ⟺\mathrm{\exists }r\in D,x\in X(r),r<t\\ & ⟺x\in \mathrm{RHS}\end{array}$$
   が成り立つ．
2. 1. $x\in \mathrm{LHS}$とし，$s\in D,t<s$とする．このとき$F(x)<s$より，$r\in D$であって$x\in X(r),r<s$なるものが存在するので，
      $$x\in X(r)\subset X(s)$$
      が成り立つ．よって$x\in \mathrm{RHS}$を得る．
   2. $x\in \mathrm{RHS}$とする．もし$t<F(x)$であるとすると，$D\subset [0,1]$の稠密性より，$s\in D$であって$t<s<F(x)$なるものが存在する．このとき仮定より$x\in X(s)$であるが，
      $$F(x)\le s<F(x)$$
      となって不合理である．

$\tau ([0,1])$の準開基の元の$F$による逆像が$X$の開集合であること，すなわち任意の$t\in [0,1]$に対して，
$$F^{\leftarrow }([0,t[)\subset X$$
が開集合であること，および
$$F^{\leftarrow }([0,t])=X\setminus F^{\leftarrow }(]t,1])\subset X$$
が閉集合であることを示せばよい．

1. 1. 補題1より
      $$\begin{array}{rl}{F}^{\leftarrow }([0,t[)& =\{x\in X\mid F(x)<t\}\\ & =\bigcup \{X(r)\mid r\in D,r<t\}\subset X\end{array}$$
      は開集合である．
   2. まづ
      $$\bigcap \{X(s)\mid s\in D,t<s\}\subset \bigcap \{\mathrm{Cl}(X(r))\mid r\in D,t<r\}$$
      が成り立つことに注意する．逆に，$x\in \mathrm{RHS}$とし，$s\in D,t<s$とすると，$r\in D$であって$t<r<s$なるものが存在するので，
      $$x\in \mathrm{Cl}(X(r))\subset X(s)$$
      が成り立ち，したがって$x\in \mathrm{LHS}$を得る．よって補題1より，
      $$\begin{array}{rl}{F}^{\leftarrow }([0,t])& =\{x\in X\mid F(x)\le t\}\\ & =\bigcap \{X(s)\mid s\in D,t<s\}\\ & =\bigcap \{\mathrm{Cl}(X(r))\mid r\in D,t<r\}\subset X\end{array}$$
      は閉集合である．
2. 1. まづ
      $$\bigcup \{X(r)\mid r\in D,r<t\}\supset \bigcup \{\mathrm{Int}(X(s))\mid s\in D,s<t\}$$
      が成り立つことに注意する．逆に，$x\in \mathrm{LHS}$とすると，$r\in D,r<t$であって$x\in X(r)$なるものが存在するので，$s\in D$であって$r<s<t$なるものを取れば
      $$x\in X(r)\subset \mathrm{Int}(X(s))\subset \mathrm{RHS}$$
      が成り立つ．よって補題1より
      $$\begin{array}{rl}{F}^{\leftarrow }([0,t[)& =\{x\in X\mid F(x)<t\}\\ & =\bigcup \{X(r)\mid r\in D,r<t\}\\ & =\bigcup \{\mathrm{Int}(X(s))\mid s\in D,s<t\}\subset X\end{array}$$
      は開集合である．
   2. 補題1より
      $$\begin{array}{rl}{F}^{\leftarrow }([0,t])& =\{x\in X\mid F(x)\le t\}\\ & =\bigcap \{X(s)\mid s\in D,t<s\}\subset X\end{array}$$
      は閉集合である．

$a,b\in [0,1],a<b,$とする．このとき$n\in \mathbb{N}$であって
$$\frac{1}{2^n}<b-a$$
なるものが存在する．いま
$$a\in [0,1[=\bigcup _{i=0}^{2^n-1}[\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n}[$$
であるから，$i\in [2^n-1]:=\{0,\dots ,2^n-1\}$であって
$$a\in [\frac{i}{2^n},\frac{i+1}{2^n}[$$
を満たすものが存在する．よって$r:=(i+1)2^{-n}\in D$とおくと，
$$a<r=\frac{i}{2^n}+\frac{1}{2^n}\le a+\frac{1}{2^n}<b$$
が成り立つ．

(i)$⟹$(ii)

$A:=X\setminus W$とおくと，$A,C\subset X$は互いに交わらない閉集合なので，$U\in \tau (A,X),V\in \tau (C,X)$であって$U\cap V=\varnothing$を満たすものが存在する．このとき
$$V\subset X\setminus U\in {\tau }^c(X)$$
より，
$$\mathrm{Cl}(V)\subset X\setminus U\subset X\setminus A=W$$
が成り立つ．

(ii)$⟹$(iii)

$N:=\mathrm{Cl}(V)$とおけば
$$C\subset V\subset \mathrm{Int}(N)\subset N\subset W$$
が成り立つ．

(iii)$⟹$(i)

$W:=X\setminus A$とおくと，これは$C$の開近傍なので，$C$の閉近傍$N\subset X$であって$N\subset W$を満たすものが存在する．このとき，
$$A=X\setminus W\subset X\setminus N$$
より，$U:=X\setminus N\in \tau (X)$は$A$の開近傍であって$U\cap \mathrm{Int}(N)=\varnothing$を満たす．

Step. 0

各$r\in D$に対して
$$U_A(r):=\{x\in A\mid f(x)<r\}\subset \{x\in A\mid f(x)\le r\}=:A(r)$$
とおく．$A(r)\subset X$は閉集合であることに注意する．また，
$$U(r):=(X\setminus A)\cup U_A(r)=X\setminus f^{\leftarrow }([r,1])\in \tau (X)$$
とおくと，
$$r<s⟹A(r)\subset U(s)$$
が成り立つ．最後に，
$$\mathrm{\Delta }:=\{(r,s)\in D\times D\mid r<s\}$$
とおき，
$$(r^{\prime },s^{\prime })<(r,s):⟺(r^{\prime }<r)\wedge (s^{\prime }<s)$$
と定める．

Step. 1

$((r_n,s_n){)}_{n\in \mathbb{N}}$を$\mathrm{\Delta }$の元の数え上げとする．$X$の開集合族$(W(r,s){)}_{(r,s)\in \mathrm{\Delta }}$であって

1. $A(r)\subset W(r,s)\subset \mathrm{Cl}(W(r,s))\subset U(s)$;
2. $(r^{\prime },s^{\prime })<(r,s)⟹\mathrm{Cl}(W(r^{\prime },s^{\prime }))\subset W(r,s)$;

を満たすものを，次のようにして定める：

1. $A(r_0)\subset U(s_0)$に対して，補題4より，開集合$W(r_0,s_0)\in \tau (X)$であって
   $$A(r_0)\subset W(r_0,s_0)\subset \mathrm{Cl}(W(r_0,s_0))\subset U(s_0)$$
   を満たすものが存在する．
2. $(W(r_i,s_i){)}_{i\in [n]}$まで定まったとする．そこで
   $${\mathrm{\Delta }}_n:=\{(r_0,s_0),\dots ,(r_n,s_n)\}$$
   とおいて，閉集合$C_{n+1}\subset X$と開集合$O_{n+1}\subset X$を
   $$\begin{array}{rl}{C}_{n+1}& :=A(r_{n+1})\cup \bigcup \{\mathrm{Cl}(W(r^{\prime },s^{\prime }))\mid (r^{\prime },s^{\prime })\in {\mathrm{\Delta }}_n,(r^{\prime },s^{\prime })<(r_{n+1},s_{n+1})\},\\ O_{n+1}& :=U(s_{n+1})\cap \bigcap \{W(r,s)\mid (r,s)\in {\mathrm{\Delta }}_n,(r_{n+1},s_{n+1})<(r,s)\}\end{array}$$
   で定める．明らかに$A(r_{n+1})\subset U(s_{n+1})$であり，任意の$(r,s)\in {\mathrm{\Delta }}_n,(r_{n+1},s_{n+1})<(r,s),$に対して
   $$A(r_{n+1})\subset A(r)\subset W(r,s)$$
   が成り立つので，$A(r_{n+1})\subset O_{n+1}$を得る．また，$(r^{\prime },s^{\prime })\in {\mathrm{\Delta }}_n,(r^{\prime },s^{\prime })<(r_{n+1},s_{n+1}),$とすると，
   $$\mathrm{Cl}(W(r^{\prime },s^{\prime }))\subset U(s^{\prime })\subset U(s_{n+1})$$
   であり，任意の$(r,s)\in {\mathrm{\Delta }}_n,(r_{n+1},s_{n+1})<(r,s),$に対して，$(r^{\prime },s^{\prime })<(r,s)$より
   $$\mathrm{Cl}(W(r^{\prime },s^{\prime }))\subset W(r,s)$$
   が成り立つので，$\mathrm{Cl}(W(r^{\prime },s^{\prime }))\subset O_{n+1}$を得る．以上より
   $$C_{n+1}\subset O_{n+1}$$
   が成り立つので，補題4より，開集合$W(r_{n+1},s_{n+1})\in \tau (X)$であって
   $$C_{n+1}\subset W(r_{n+1},s_{n+1})\subset \mathrm{Cl}(W(r_{n+1},s_{n+1}))\subset O_{n+1}$$
   を満たすものが存在する．$C_{n+1},O_{n+1}$の定め方より，開集合族$(W(r_i,s_i){)}_{i\in [n+1]}$は明らかに所期の条件を満たす．

Step. 2

$X$の閉被覆$(X(r){)}_{r\in D}$を
$$X(r):=\{\begin{array}{ll}\bigcap \{\mathrm{Cl}(W(r,s))\mid s\in D,r<s\}& ,r<1\\ X& ,r=1\end{array}$$
で定める．このとき

1. $r<s⟹X(r)\subset \mathrm{Int}(X(s))$;
2. $A\cap X(r)=A(r)$;

が成り立つことを示す．

Step. 2-1

$(r,s)\in \mathrm{\Delta }$とする．
$$X(r)\subset X=\mathrm{Int}(X(1))$$
であるから，$s<1$としてよい．$D\subset [0,1]$の稠密性より，$s^{\prime }\in D$であって$r<s^{\prime }<s$なるものが存在する．このとき，$(r,s^{\prime })<(s^{\prime },s)$より，
$$X(r)\subset \mathrm{Cl}(W(r,s^{\prime }))\subset W(s^{\prime },s)$$
が成り立つ．一方，
$$X(s)=\bigcap \{\mathrm{Cl}(W(s,t))\mid t\in D,s<t\}$$
であった．そこで$t\in D,s<t,$とすると，$(s^{\prime },s)<(s,t)$より
$$W(s^{\prime },s)\subset \mathrm{Cl}(W(s^{\prime },s))\subset W(s,t)\subset \mathrm{Cl}(W(s,t))$$
が成り立つ．よって，
$$W(s^{\prime },s)\subset \bigcap \{\mathrm{Cl}(W(s,t))\mid t\in D,s<t\}=X(s)$$
となるので，
$$X(r)\subset W(s^{\prime },s)\subset \mathrm{Int}(X(s))$$
が成り立つ．

Step. 2-2

$r\in D$とする．
$$A\cap X(1)=A=A(1)$$
であるから，$r<1$としてよい．

1. 任意の$s\in D,r<s,$に対して
   $$A(r)\subset W(r,s)\subset \mathrm{Cl}(W(r,s))$$
   が成り立つので，
   $$A(r)\subset A\cap X(r)$$
   を得る．
2. 逆に，
   $$\begin{array}{rl}A\cap X(r)& \subset A\cap \bigcap \{U(s)\mid s\in D,r<s\}\\ & =\bigcap \{A\cap U(s)\mid s\in D,r<s\}\\ & =\bigcap \{U_A(s)\mid s\in D,r<s\}\\ & \supset A(r)\end{array}$$
   が成り立つが，$D\subset [0,1]$の稠密性より，
   $$\bigcap \{U_A(s)\mid s\in D,r<s\}\subset A(r)$$
   も成り立つ．

以上より
$$A\cap X(r)=A(r)$$
が成り立つ．

Step. 3

写像$\tilde{f}:X\to [0,1]$を
$$\tilde{f}(x):=F_{(X(r){)}_{r\in D}}(x)=inf\{r\in D\mid x\in X(r)\}$$
で定めると，補題2より，これは連続写像である．あとは$\tilde{f}|A=f$を示せばよい．そこで$x\in A$とする．

1. 任意の$r\in D,x\in X(r)$に対して，
   $$x\in A\cap X(r)=A(r)$$
   より，$f(x)\le r$となるので，
   $$f(x)\le \tilde{f}(x)$$
   が成り立つ．
2. もし$f(x)<\tilde{f}(x)$であるとすると，$D\subset [0,1]$の稠密性より，$r\in D$であって$f(x)<r<\tilde{f}(x)$なるものが存在するが，このとき
   $$x\in U_A(r)\subset A(r)=A\cap X(r)\subset X(r)$$
   より
   $$\tilde{f}(x)\le r<\tilde{f}(x)$$
   となり不合理である．

写像$g:A_0\bigsqcup A_1\to [0,1]$を
$$g(x):=\{\begin{array}{ll}0& ,x\in A_0\\ 1& ,x\in A_1\end{array}$$
で定めると，これは連続であるから，定理1より，連続写像$f:X\to [0,1]$であって$f|A_0\bigsqcup A_1=g$を満たすものが存在する．明らかに
$$f^{\to }(A_0)\subset \{0\},f^{\to }(A_1)\subset \{1\}$$
が成り立つ．

連続写像$\phi :\mathbb{R}\rightleftarrows ]-1,1[:\psi$を
$$\phi (r):=\frac{2}{\pi }\arctan \left(r\right);\psi (s):=\tan \left(\frac{\pi s}{2}\right)$$
で定めると，これらは互いの逆写像である．そこで
$$f_0:={\mathrm{id}}_{]-1,1[}^{[-1,1]}\circ \phi \circ f:A\to \mathbb{R}\approx ]-1,1[\subset [-1,1]$$
とおくと，定理1より，連続写像$\widetilde{f_0}:X\to [-1,1]$であって$\widetilde{f_0}|A=f_0$を満たすものが存在する．いま，
$$A_0:={\widetilde{f_0}}^{\leftarrow }(\{-1,1\})\subset X$$
は$A$と交わらない閉集合であるから，定理2より，連続写像$g:X\to [0,1]$であって
$$g^{\to }(A_0)\subset \{0\},g^{\to }(A)\subset \{1\}$$
を満たすものが存在する．このとき，任意の$x\in X=A_0\cup (X\setminus A_0)$に対して
$$\widetilde{f_0}(x)g(x)\in ]-1,1[$$
が成り立つので，連続写像$\tilde{f}:X\to \mathbb{R}$を
$$\tilde{f}(x):=\psi (\widetilde{f_0}(x)g(x))$$
で定めることができる．この$\tilde{f}$が$f$の連続拡張を与えている．実際，$x\in A$とすると，$g(x)=1$より，
$$\tilde{f}(x)=\psi (\widetilde{f_0}(x))=\psi (f_0(x))=\psi (\phi (f(x)))=f(x)$$
が成り立つ．

開集合族$(X(r){)}_{r\in D}$であって
$$r<s⟹A_0\subset X(r)\subset \mathrm{Cl}(X(r))\subset X(s)\subset X\setminus A_1$$
を満たすものを，$r\in D_n$となる$n\in \mathbb{N}$に関して帰納的に定める：

1. 閉集合$A_0\subset X$の開近傍$X\setminus A_1\in \tau (A_0,X)$に対して，補題4より，$V\in \tau (A_0,X)$であって
   $$\mathrm{Cl}(V)\subset X\setminus A_1$$
   を満たすものが存在する．そこで
   $$X(0):=V,X(1):=X\setminus A_1$$
   とおく．
2. $r:=(2i+1)2^{-(n+1)}\in D_{n+1}\setminus D_n$とする．いま
   $$\mathrm{Cl}\left(X\left(\frac{i}{2^n}\right)\right)\subset X\left(\frac{i+1}{2^n}\right)\in \tau (X)$$
   であるから，補題4より，$V\in \tau (\mathrm{Cl}(X(i/2^n)),X)$であって
   $$\mathrm{Cl}(V)\subset X\left(\frac{i+1}{2^n}\right)$$
   を満たすものが存在する．そこで
   $$X(r):=V\in \tau (X)$$
   とおくと，
   $$A_0\subset \mathrm{Cl}\left(X\left(\frac{i}{2^n}\right)\right)\subset X(r)\subset \mathrm{Cl}(X(r))\subset X\left(\frac{i+1}{2^n}\right)\subset X\setminus A_1$$
   が成り立つ．

改めて$X(1):=X$とおくと，$X$の開被覆$(X(r){)}_{r\in D}$はやはり
$$r<s⟹\mathrm{Cl}(X(r))\subset X(s)$$
を満たすので，補題2より，写像
$$f:=F_{(X(r){)}_{r\in D}}:X\to [0,1];x\mapsto inf\{r\in D\mid x\in X(r)\}$$
は連続である．

1. $x\in A_0$のとき，$x\in A_0\subset X(0)$より
   $$f(x)=0$$
   が成り立つ．
2. $x\in A_1$のとき，
   $$\{r\in D\mid x\in X(r)\}=\{1\}$$
   より
   $$f(x)=1$$
   が成り立つ．

$W\in \tau (C,X)$に対して，補題4より，$C$の閉近傍$N_1\subset X$であって$N_1\subset W$を満たすものが存在する．ここで
$$A^{\prime }:=\mathrm{Cl}(A\setminus N_{A\cap C})=\mathrm{Cl}(A\setminus N_{A\cap C})\cap A={\mathrm{Cl}}_A(A\setminus N_{A\cap C})$$
とおくと，
$$A^{\prime }={\mathrm{Cl}}_A(A\setminus N_{A\cap C})=A\setminus {\mathrm{Int}}_A(N_{A\cap C})\subset A\setminus (A\cap C)=A\setminus C$$
より，$A^{\prime }\cap C=\varnothing$が成り立つ．したがって，$X\setminus A^{\prime }\in \tau (C,X)$に対して，補題4より，$C$の閉近傍$N_2\subset X$であって$N_2\subset X\setminus A^{\prime }$を満たすものが存在する．この$N_2$について
$$A\cap N_2\subset A\cap (X\setminus A^{\prime })=A\setminus A^{\prime }\subset N_{A\cap C}$$
が成り立つことに注意する．そこで$N_0:=N_1\cap N_2$とおくと，
$$C\subset \mathrm{Int}(N_1)\cap \mathrm{Int}(N_2)=\mathrm{Int}(N_1\cap N_2)=\mathrm{Int}(N_0)$$
より$N_0\subset X$は$C$の閉近傍であり，
$$N_0\subset N_1\subset W,$$
および
$$A\cap N_0\subset A\cap N_2\subset N_{A\cap C}$$
が成り立つ．よって，
$$N_C:=N_0\cup N_{A\cap C}$$
とおくと，
$$C\subset \mathrm{Int}(N_0)\subset \mathrm{Int}(N_C)$$
より$N_C\subset X$は$C$の閉近傍であり，
$$N_C\subset W\cup (A\cap W)\subset W,$$
および
$$A\cap N_C=(A\cap N_0)\cup (A\cap N_{A\cap C})=(A\cap N_0)\cup N_{A\cap C}=N_{A\cap C}$$
が成り立つ．

(i)$⟹$(ii)

$$U\subset X\setminus V\in {\tau }^c(X)$$
より
$$\mathrm{Cl}(U)\subset X\setminus V\subset X\setminus B,$$
すなわち
$$\mathrm{Cl}(U)\cap B=\varnothing$$
が成り立つ．

(ii)$⟹$(i)

$V:=X\setminus \mathrm{Cl}(U)$とおけばよい．

任意の$n\in \mathbb{N}$に対して，
$$F_n\cap \mathrm{Cl}(C)\subset F\cap \mathrm{Cl}(C)=\varnothing$$
と$X$の正規性より，$U_n\in \tau (F_n,X)$であって
$$\mathrm{Cl}(U_n)\cap \mathrm{Cl}(C)=\varnothing$$
を満たすものが存在する．同様に，任意の$m\in \mathbb{N}$に対して，
$$\mathrm{Cl}(F)\cap C_m\subset \mathrm{Cl}(F)\cap C=\varnothing$$
と$X$の正規性より，$V_m\in \tau (C_m,X)$であって
$$\mathrm{Cl}(F)\cap \mathrm{Cl}(V_m)=\varnothing$$
を満たすものが存在する．そこで$X$の開集合$U,V\in \tau (X)$を
$$U:=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}(U_n\setminus \bigcup _{j\in [n]}\mathrm{Cl}(V_j)),V:=\bigcup _{m\in \mathbb{N}}(V_m\setminus \bigcup _{i\in [m]}\mathrm{Cl}(U_i))$$
で定めると，任意の$n,m\in \mathbb{N}$に対して，
$$F_n\subset U_n\cap \mathrm{Cl}(F)\subset U_n\cap (X\setminus \bigcup _{j\in [n]}\mathrm{Cl}(V_j))=U_n\setminus \bigcup _{j\in [n]}\mathrm{Cl}(V_j),$$
および
$$C_m\subset V_m\cap \mathrm{Cl}(C)\subset V_m\cap (X\setminus \bigcup _{i\in [m]}\mathrm{Cl}(U_i))=V_m\setminus \bigcup _{i\in [m]}\mathrm{Cl}(U_i)$$
が成り立つので，
$$F=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{F}_n\subset U,C=\bigcup _{m\in \mathbb{N}}{C}_m\subset V$$
を得る．さらに，
$$(U_n\setminus \bigcup _{j\in [n]}\mathrm{Cl}(V_j))\cap (V_m\setminus \bigcup _{i\in [m]}\mathrm{Cl}(U_i))=(U_n\setminus \bigcup _{i\in [m]}\mathrm{Cl}(U_i))\cap (V_m\setminus \bigcup _{j\in [n]}\mathrm{Cl}(V_j))=\varnothing$$
より，
$$U\cap V=\varnothing$$
も成り立つ．