ルベーグ測度を格子点の個数で表す
こんにちは．与えられた集合の中の格子点の個数を，面積や体積で評価したいときってありますよね．前の記事( 格子点の個数を面積で評価する )では$\mathbb{R}^2$において境界が区分的に滑らかな曲線の場合で似たようなことをしましたが，測度論を使えばもう少し一般的な状況でも，Lebesgue測度は格子点の個数の極限として書けることが分かったので，紹介したいと思います．
定理
$\lambda$を$\mathbb{R}^d$上のLebesgue測度とする．$A \subset \mathbb{R}^d$が有界集合で，$\lambda(\partial A) = 0$であるとする．
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^d} \# \left\{ x \in \mathbb{Z}^d \middle| \frac{x}{n} \in A \right\} = \lambda(A)
\end{align}
が成り立つ．
$A$がLebesgue可測集合であることは，$\lambda(\partial A) = 0$という条件から自動的に従います．
実際，$A \setminus A^\circ \subset \partial A$なので$A \setminus A^\circ$は零集合であり，また$A^\circ$は開集合なので，和集合$A = A^\circ \cup (A \setminus A^\circ)$はLebesgue可測になります．
「有界」や「境界の測度が$0$」といった条件は必須です．たとえば$\mathbb{R}^2$において非有界な直線$A = \mathbb{R} \times \{0\}$を考えると，$\lambda(A) = 0$ですが，左辺は$\infty$になります．また$\mathbb{R}$において境界が$[0,1]$になる集合$A = \mathbb{Q} \cap [0,1]$を考えると，$\lambda(A) = 0$ですが，左辺は$1$になります．
証明
まずは証明のために必要な定義をします．
$A \subset \mathbb{R}^d$に対して，
\begin{align}
\mu_n(A) := \frac{1}{n^d} \# \left\{ x \in \mathbb{Z}^d \middle| \frac{x}{n} \in A \right\}
\end{align}
とおく．$a \in \mathbb{R}^d$に対して，$a$を中心とする一辺の長さ$\frac{1}{n}$の半開立方体を
$$
C_n(a) := \left[a - \frac{1}{2n}, a + \frac{1}{2n}\right)^d
$$
とする．
明らかに
\begin{align}
\mathbb{R}^d = \bigsqcup_{a \in \frac{1}{n}\mathbb{Z}^d} C_n(a)
\end{align}
という非交和分割が成り立ちます．また，$\lambda(C_n(a)) = \frac{1}{n^d}$であるので，
\begin{align}
\mu_n(A) = \lambda\left(\bigcup_{a \in \frac{1}{n}\mathbb{Z}^d \cap A} C_n(a) \right) \tag{1}
\end{align}
と書くことができます．定理の証明の主要な部分は，次の補題から得られます．
正の整数$n$に対して，
\begin{align}
S_n := \bigcup_{x \in A} C_n(x), \quad T_n := \left(\bigcup_{x \in A^c} C_n(x) \right)^c
\end{align}
とする．このとき次が成り立つ．
$$T_n \subset \bigcup_{a \in \frac{1}{n}\mathbb{Z}^d \cap A} C_n(a) \subset S_n$$
$$S_1 \supset S_2 \supset S_3 \supset \cdots, \quad \bigcap_{n=1}^\infty S_n = \overline{A}$$
$$T_1 \subset T_2 \subset T_3 \subset \cdots, \quad \bigcup_{n=1}^\infty T_n = A^\circ$$
直感的には，$S_n$は$A$を$1/n$だけ「膨らませた」集合で，$T_n$は$A$を$1/n$だけ「縮めた」集合です．
また，$\overline{A}, A^\circ$はそれぞれ$A$の閉包，内部です．
(1)
$S_n$の定義より明らかに，
\begin{align}
\bigcup_{a \in \frac{1}{n}\mathbb{Z}^d \cap A} C_n(a) \subset S_n
\end{align}
である．これと同様に
\begin{align}
\bigcup_{a \in \frac{1}{n}\mathbb{Z}^d \cap A^c} C_n(a) \subset T_n^c
\end{align}
であるので，両辺の補集合をとれば，
\begin{align}
T_n \subset \bigcup_{a \in \frac{1}{n}\mathbb{Z}^d \cap A} C_n(a)
\end{align}
となる．
(2)
$S_1 \supset S_2 \supset S_3 \supset \cdots$であることは明らかである．閉包の定義より，
\begin{align}
y \in \overline{A} &\implies \forall n \in \mathbb{Z}_{>0}, \exists x \in A \text{ s.t. } \|x - y\| < \frac{1}{n} \\
&\implies \forall n \in \mathbb{Z}_{>0}, \exists x \in A \text{ s.t. } y \in C_n(x) \\
&\implies y \in \bigcap_{n=1}^\infty S_n
\end{align}
である．逆に，
\begin{align}
y \in \bigcap_{n=1}^\infty S_n &\implies \forall n \in \mathbb{Z}_{>0}, \exists x \in A \text{ s.t. } y \in C_n(x) \\
&\implies \forall n \in \mathbb{Z}_{>0}, \exists x \in A \text{ s.t. } \|x - y\| < \frac{2}{n} \\
&\implies y \in \overline{A}
\end{align}
(3)
(ii)を$A^c, T_n^c$に対して適用すれば，
\begin{align}
T_1^c \supset T_2^c \supset T_3^c \supset \cdots, \quad \bigcap_{n=1}^\infty T_n^c = \overline{A^c} = (A^\circ)^c
\end{align}
となる．よって，補集合をとれば，
\begin{align}
T_1 \subset T_2 \subset T_3 \subset \cdots, \quad \bigcup_{n=1}^\infty T_n = A^\circ
\end{align}
となる．
補題より，
$$T_n \subset \bigcup_{a \in \frac{1}{n}\mathbb{Z}^d \cap A} C_n(a) \subset S_n$$
であるので，式(1)より，
\begin{align}
\lambda(T_n) \leq \mu_n(A) \leq \lambda(S_n)
\end{align}
である．$A$は有界なので$S_1$は有界集合であり，したがって，$\lambda(S_1) < \infty$が成り立つことに注意すると，
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \lambda(S_n) = \lambda\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} S_n\right) = \lambda(\overline{A}), \quad \lim_{n \to \infty} \lambda(T_n) = \lambda\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} T_n\right) = \lambda(A^\circ)
\end{align}
が成り立つ．$\lambda(\partial A) = 0$より$\lambda(A) = \lambda(\overline{A}) = \lambda(A^\circ)$が成り立つので，はさみうちの原理より，
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \mu_n(A) = \lambda(A)
\end{align}
が成り立つ．よって，定理の主張が成り立つ．
誤差評価
$\mu_n(A)$と$\lambda(A)$の差は，Minkowski contentと呼ばれる量を用いて評価することができます．証明は$|\mu_n(A) - \lambda(A)| \leq \lambda(S_n \setminus T_n)$という不等式をいじれば分かると思います．
$\partial A$のMinkowski contentを
\begin{align}
\mathcal{M}^{*}(\partial A) := \limsup_{\varepsilon \to 0} \frac{\lambda\left(\bigcup_{x \in \partial A} B(x, \varepsilon)\right)}{\varepsilon}
\end{align}
と定義する．このとき，
\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} n|\lambda(A) - \mu_n(A)| \leq \mathcal{M}^{*}(\partial A)
\end{align}
Minkowski contentについて
証明を追っていませんが，1によると，$\partial A$がrectifiableと呼ばれる「行儀の良い」集合であるとき(具体的には，可算個のリプシッツ連続写像$\mathbb{R}^{d-1} \to \mathbb{R}^d$の像で$\partial A$のほとんどが覆えるとき)，$\mathcal{M}^{*}(\partial A)$はハウスドルフ測度$\mathcal{H}^{d-1}(\partial A)$に(定数倍の違いを除いて)等しくなるそうです．さらに$\mathcal{H}^{d-1}(\partial A) < \infty$ならば
\begin{align}
\mu_n(A) = \lambda(A) + O\left(\frac{1}{n}\right)
\end{align}
という評価が得られます．
