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バーンサイドの補題の補足資料(随時更新)

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この記事は
バーンサイドの補題の証明
の補足資料である。

演算

Xを空でない集合とする。写像φ:X×XXを集合X上の演算という。混乱の恐れがない場合, φ(a,b)を単にabまたはabと書くことにする。

Gを空でない集合とし, G上の演算が定まっているとする。
(1) a,b,cG,(ab)c=a(bc)
(2) 1GG,aG,1Ga=a1G=a
(3) aG,bG,ab=ba=1G
を満たすとき, Gを群という

Gを群とする。このとき, (1), (2)が成り立つ。

  1. !1GG,aG,1Ga=a1G=a

  2. aG,!bG,ab=ba=1G

以上から, 群Gの任意の元a,b,cに対し, (ab)c=a(bc)だから(ab)c=abcと書くことにし, さらに,群の定義の(2), (3)の条件の部分の1G,bは一意的である。これをそれぞれ単位元, Gにおけるaの逆元といいa1と書く。

部分群

Hを群Gの空でない部分集合とする。HGにおける演算で群になるとき, HG部分群という。

Gを群とし, Hをその部分群とする。このとき
1G=1H
と各aHに対し
Ga=Ha
が成り立つ。

投稿日:202463
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投稿者

fancy
fancy
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6582
自分の勉強用に投稿するのでn番煎じのものが多いよ

コメント

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