バーンサイドの補題の補足資料（随時更新）

演算

$X$ を空でない集合とする。写像 $φ : X \times X \to X$ を集合 $X$ 上の演算という。混乱の恐れがない場合, $φ (a, b)$ を単に $a \cdot b$ または $a b$ と書くことにする。

群

$G$ を空でない集合とし, $G$ 上の演算が定まっているとする。
(1) $\forall a, b, c \in G, (a b) c = a (b c)$
(2) $\exists 1_{G} \in G, \forall a \in G, 1_{G} a = a 1_{G} = a$
(3) $\forall a \in G, \exists b \in G, a b = b a = 1_{G}$
を満たすとき, $G$ を群という

$G$ を群とする。このとき, (1), (2)が成り立つ。

$\exists! 1_{G} \in G, \forall a \in G, 1_{G} a = a 1_{G} = a$
$\forall a \in G, \exists! b \in G, a b = b a = 1_{G}$

略

以上から, 群 $G$ の任意の元 $a, b, c$ に対し, $(a b) c = a (b c)$ だから $(a b) c = a b c$ と書くことにし, さらに,群の定義の(2), (3)の条件の部分の $1_{G}, b$ は一意的である。これをそれぞれ単位元, $G$ における $a$ の逆元といい $a^{- 1}$ と書く。

部分群

$H$ を群 $G$ の空でない部分集合とする。 $H$ が $G$ における演算で群になるとき, $H$ を $G$ の部分群という。

$G$ を群とし, $H$ をその部分群とする。このとき
$\begin{array}{r} 1_{G} = 1_{H} \end{array}$
と各 $a \in H$ に対し
$\begin{array}{r} G における a の逆元 = H における a の逆元 \end{array}$
が成り立つ。

投稿日：2024年6月3日

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投稿者

fancy

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自分の勉強用に投稿するのでn番煎じのものが多いよ

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