バーンサイドの補題の補足資料（随時更新）
この記事は
バーンサイドの補題の証明
の補足資料である。
$X$を空でない集合とする。写像$\varphi:X\times{X}\to{X}$を集合$X$上の演算という。混乱の恐れがない場合, $\varphi(a, b)$を単に$a\cdot{b}$または$ab$と書くことにする。
$G$を空でない集合とし, $G$上の演算が定まっているとする。
(1) $\forall{a, b, c}\in{G}, (ab)c=a(bc)$
(2) $\exists{1_{G}}\in{G}, \forall{a}\in{G}, 1_{G}a=a1_{G}=a$
(3) $\forall{a}\in{G}, \exists{b}\in{G}, ab=ba=1_{G}$
を満たすとき, $G$を群という
$G$を群とする。このとき, (1), (2)が成り立つ。
$\exists!{1_{G}}\in{G}, \forall{a}\in{G}, 1_{G}a=a1_{G}=a$
$\forall{a}\in{G}, \exists!{b}\in{G}, ab=ba=1_{G}$
略
以上から, 群$G$の任意の元$a, b, c$に対し, $(ab)c=a(bc)$だから$(ab)c=abc$と書くことにし, さらに,群の定義の(2), (3)の条件の部分の$1_{G}, b$は一意的である。これをそれぞれ単位元, $G$における$a$の逆元といい$a^{-1}$と書く。
$H$を群$G$の空でない部分集合とする。$H$が$G$における演算で群になるとき, $H$を$G$の部分群という。
$G$を群とし, $H$をその部分群とする。このとき
\begin{align*}
1_{G}=1_{H}
\end{align*}
と各$a\in{H}$に対し
\begin{align*}
Gにおけるaの逆元=Hにおけるaの逆元
\end{align*}
が成り立つ。
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