この記事は バーンサイドの補題の証明 の補足資料である。
Xを空でない集合とする。写像φ:X×X→Xを集合X上の演算という。混乱の恐れがない場合, φ(a,b)を単にa⋅bまたはabと書くことにする。
Gを空でない集合とし, G上の演算が定まっているとする。(1) ∀a,b,c∈G,(ab)c=a(bc)(2) ∃1G∈G,∀a∈G,1Ga=a1G=a(3) ∀a∈G,∃b∈G,ab=ba=1Gを満たすとき, Gを群という
Gを群とする。このとき, (1), (2)が成り立つ。
∃!1G∈G,∀a∈G,1Ga=a1G=a
∀a∈G,∃!b∈G,ab=ba=1G
略
以上から, 群Gの任意の元a,b,cに対し, (ab)c=a(bc)だから(ab)c=abcと書くことにし, さらに,群の定義の(2), (3)の条件の部分の1G,bは一意的である。これをそれぞれ単位元, Gにおけるaの逆元といいa−1と書く。
Hを群Gの空でない部分集合とする。HがGにおける演算で群になるとき, HをGの部分群という。
Gを群とし, Hをその部分群とする。このとき1G=1Hと各a∈Hに対しにおけるの逆元におけるの逆元Gにおけるaの逆元=Hにおけるaの逆元が成り立つ。
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