【Spin幾何】Chiral作用素

　Clifford代数の構造を調べるのに重要なChiral作用素を定義します。Chiral作用素は偶数次のClifford代数に対して定義されます。すなわち $C l_{(s, t)}, s + t = 2 k$ に対して定義されます。

Chiral作用素

$(R^{(s, t)}, η), s + t = 2 k$ を擬Euclid空間とし、正規直交基底を ${e_{1}, \dots, e_{2 k}}$ とします。
$ω = - i^{k + s} e_{1} \dots e_{2 k} \in C l_{(s, t)}$
をChiral作用素と呼ぶ。 $γ_{2 k + 1} = - i^{k + s} γ_{1} \dots γ_{2 k}$ をmethematical Chiral作用素、 $Γ_{2 k + 1} = - i^{k + s} Γ_{1} \dots Γ_{2 k}$ をphysical Chiral作用素と呼ぶ。

$Γ_{2 k + 1} = (- 1)^{k} γ_{2 k + 1}$ の関係があります。Chiral作用素の重要な性質として次があります。

$\begin{aligned} (1) & e_{i} ω = - ω e_{i} \\ (2) & e_{i} e_{j} ω = ω e_{i} e_{j} \\ (3) & ω^{2} = 1 \end{aligned}$

(1),(2)は自明であるから(3)だけ示す。
$\begin{aligned} ω^{2} & = (- 1)^{k + s} e_{1} \dots e_{2 k} e_{1} \dots e_{2 k} = (- 1)^{k + s} (- 1)^{\frac{2 k (2 k - 1)}{2}} (e_{1})^{2} \dots (e_{2 k})^{2} \\ = (- 1)^{k + s + k (2 k - 1)} (- 1)^{2 k - s} = 1 \end{aligned}$

投稿日：2023年6月4日

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Submersion

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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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