【Spin幾何】Chiral作用素
Clifford代数の構造を調べるのに重要なChiral作用素を定義します。Chiral作用素は偶数次のClifford代数に対して定義されます。すなわち$Cl_{(s,t)},\ s+t=2k$に対して定義されます。
$(\mathbb{R}^{(s,t)},\eta),\ s+t=2k$を擬Euclid空間とし、正規直交基底を$\{e_1,\cdots,e_{2k}\}$とします。
$$
\omega=-i^{k+s}e_1\cdots e_{2k}\in\mathbb{C}l_{(s,t)}
$$
をChiral作用素と呼ぶ。$\gamma_{2k+1}=-i^{k+s}\gamma_1\cdots \gamma_{2k}$をmethematical Chiral作用素、$\Gamma_{2k+1}=-i^{k+s}\Gamma_1\cdots \Gamma_{2k}$をphysical Chiral作用素と呼ぶ。
$\Gamma_{2k+1}=(-1)^k\gamma_{2k+1}$の関係があります。Chiral作用素の重要な性質として次があります。
\begin{align} (1)&\ e_i\omega=-\omega e_i\\ (2)&\ e_ie_j\omega=\omega e_ie_j\\ (3)&\ \omega^2=1 \end{align}
(1),(2)は自明であるから(3)だけ示す。
\begin{align}
\omega^2&=(-1)^{k+s}e_1\cdots e_{2k}e_1\cdots e_{2k}
=(-1)^{k+s}(-1)^{\frac{2k(2k-1)}{2}}(e_1)^2\cdots (e_{2k})^2\\
&=(-1)^{k+s+k(2k-1)}(-1)^{2k-s}=1
\end{align}