矩形波・のこぎり波のフーリエ展開の初等的計算

いわゆる積和公式により
$2\sin \left(x\right)\cos ((2k+1)x)=\sin (x+(2k+1)x)+\sin (x-(2k+1)x)=\sin (2(k+1)x)-\sin \left(2kx\right)$
ゆえ
$$\frac{2}{\sin \left(x\right)}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left(x\right)\cos ((2k+1)x)=\frac{1}{\sin \left(x\right)}\sum _{k=0}^{n-1}(\sin (2(k+1)x)-\sin \left(2kx\right))=\frac{\sin \left(2nx\right)}{\sin \left(x\right)}$$
同様に
$2\sin \left(x\right)\cos \left(2kx\right)=\sin (x+2kx)+\sin (x-2kx)=\sin ((2k+1)x)-\sin ((2k-1)x)$
ゆえ
$$\frac{2}{\sin \left(x\right)}\sum _{k=1}^{n-1}\sin \left(x\right)\cos \left(2kx\right)=\frac{1}{\sin \left(x\right)}\sum _{k=1}^{n-1}(\sin ((2k+1)x)-\sin ((2k-1)x))=\frac{\sin ((2n-1)x)-\sin \left(x\right)}{\sin \left(x\right)}=\frac{\sin ((2n-1)x)}{\sin \left(x\right)}-1$$

分子を積分する形で部分積分を考えると
$${\int }_{\pi /2}^x\frac{\sin \left(mt\right)}{\sin \left(t\right)}dt={\left[\frac{-\cos \left(mt\right)}{m\sin \left(t\right)}\right]}_{\pi /2}^x-\frac{1}{m}{\int }_{\pi /2}^x\cos \left(mt\right)\frac{\cos \left(t\right)}{{\sin }^2(t)}dt$$
$$=\frac{1}{m}{\left[\frac{-\cos \left(mt\right)}{\sin \left(t\right)}\right]}_{\pi /2}^x-\frac{1}{m}{\int }_{\pi /2}^x\cos \left(mt\right)\frac{\cos \left(t\right)}{{\sin }^2(t)}dt$$
右辺の第１項および第２項はともに$1/m$を係数に持ち
$0<x<\pi$であることから$0<\sin \left(x\right)$であるので
発散しない有限の値を取る。
よって$m\to \mathrm{\infty }$でともに$0$に収束する。すなわち
$${\int }_{\pi /2}^x\frac{\sin \left(mt\right)}{\sin \left(t\right)}dt\to 0$$
が言える。

補題4より、まず
$$2\sum _{k=1}^{n-1}\frac{\sin \left(2kx\right)}{2k}={\int }_{\pi /2}^x\frac{\sin ((2n-1)t)}{\sin \left(t\right)}dt-x+\frac{\pi }{2}$$
について$n\to \mathrm{\infty }$とすると、積分の項が$0$となるので
$$2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(2kx\right)}{2k}=-x+\frac{\pi }{2}$$
$$x=\frac{\pi }{2}-2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(2kx\right)}{2k}$$
$x$を$\pi x$と置き換えると
$$\pi x=\frac{\pi }{2}-2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(2k\pi x\right)}{2k}$$
$$x=\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(2k\pi x\right)}{2k} (0<x<1)$$
右辺の無限級数の項である$\sin \left(2k\pi x\right)$はいずれの自然数$k$についても周期$1$を持つ周期関数であるので
以上より定理1ののこぎり波$g(x)$の場合が示せた。

続いて
$$2\sum _{k=0}^{n-1}\frac{\sin ((2k+1)x)}{2k+1}-2\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}={\int }_{\pi /2}^x\frac{\sin \left(2nt\right)}{\sin \left(t\right)}dt$$
について、$n\to \mathrm{\infty }$とすると、積分の項が$0$となり
左辺第２項はいわゆるライプニッツ級数となるので
$$2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin ((2k+1)x)}{2k+1}-2・\frac{\pi }{4}=0$$
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin ((2k+1)x)}{2k+1}=\frac{\pi }{4} (0<x<\pi )$$
$x$を$2\pi x$と置き換えると
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin ((2k+1)2\pi x)}{2k+1}=\frac{\pi }{4} (0<x<1/2)$$

さらに上記について$x$を$x-1/2$に置き換えると
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin ((2k+1)2\pi (x-1/2))}{2k+1}=\frac{\pi }{4} (1/2<x<1)$$
$$\sin ((2k+1)2\pi (x-1/2))$$
$$=\sin ((2k+1)2\pi x)\cos ((2k+1)2\pi \cdot 1/2)-\cos ((2k+1)2\pi x)\sin ((2k+1)2\pi \cdot 1/2)$$
$$=\sin ((2k+1)2\pi x)\cos ((2k+1)\pi )-\cos ((2k+1)2\pi x)\sin ((2k+1)\pi )$$
$$=\sin ((2k+1)2\pi x)\cdot (-1)-\cos ((2k+1)2\pi x)\cdot 0$$
$$=-\sin ((2k+1)2\pi x)$$
ゆえ
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{-\sin ((2k+1)2\pi x)}{2k+1}=\frac{\pi }{4} (1/2<x<1)$$
$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin ((2k+1)2\pi x)}{2k+1}=-\frac{\pi }{4} (1/2<x<1)$$
ここまでの結果と$\sin ((2k+1)2\pi x)$が周期$1$をもつ周期関数であることから
係数$\pi /4$を整理することで定理1の矩形波$f(x)$の場合が示せる。