c∈Zにおける超幾何微分方程式の解について
はじめに
この記事では超幾何微分方程式
$$x(1-x)y''+(c-(a+b+1)x)y'-aby=0$$
の$c\in\Z$における解について解説していきます。
概要
いま超幾何微分方程式は$c\not\in\{0,-1,-2,\ldots\}$において
$$y_1=\F abcx$$
という解を、また$c\not\in\{2,3,4,\ldots\}$において
$$y_2=x^{1-c}\F{a-c+1}{b-c+1}{2-c}x$$
という解を持ち、特に$c\not\in\Z$において$y_1,y_2$は基本解をなすことが知られています。
しかし$c\in\Z$において$y_1,y_2$の一方は定義できない、あるいは$y_1=y_2$となり、その代わりに例えば$c\in\{1,2,3,4,\ldots\}$において
\begin{align}
\y_2
&=y_1\int\frac{dx}{x^c(1-x)^{a+b-c+1}y_1^2}\\
&=Ay_1\log x+x^{1-c}\sum^\infty_{n=0}A_nx^n
\end{align}
という形の解が出現するのでした(cf. 階数低減法)。
では具体的にその展開係数$A_n$はどのように求まるのか、ということについてこの記事では解説していきます。
$c$の範囲について
なお
$$y=x^{1-c}z,\quad(\a,\b,\g)=(a-c+1,b-c+1,2-c)$$
とおいたとき
\begin{align}
&x(1-x)y''+(c-(a+b+1)x)y'-aby=0\\
\iff&x(1-x)z''+(\g-(\a+\b+1)x)z'-\a\b z=0
\end{align}
が成り立つので、必要に応じて微分方程式を取り替えることで$c\in\Z_{\geq1}$の場合のみを考えれば十分であることに注意しましょう。
詳細
やることとしては単純で
\begin{align}
y_1(c)&=\F abcx\\
y_2(c)&=x^{1-c}\F{a-c+1}{b-c+1}{2-c}x
\end{align}
とおいたとき$c\in\Z_{\geq1}$に対し
$$\lim_{c'\to c}p_c(c')y_2(c')=\F abcx$$
を満たすような$x$に依らない定数$p_c(c')$が取れるため、このとき
\begin{align}
\y_2
&=\lim_{c'\to c}\frac{y_1(c')-p_c(c')y_2(c')}{c'-c}\\
&=\frac{\partial}{\partial c'}(y_1(c')-p_c(c')y_2(c'))\Bigg|_{c'=c}
\end{align}
とおくことで
$$\y_2=Ay_1\log x+x^{1-c}\sum^\infty_{n=0}A_nx^n$$
という形の解を構成することができます。
$c\in\Z_{\geq2}$かつ$a\in\{1,2,\ldots,c-1\}$のとき
このときは
\begin{align}
y_2&=x^{1-c}\F{a-c+1}{b-c+1}{2-c}x\\
&=x^{1-c}\sum^{c-a-1}_{n=0}\frac{(a-c+1)_n(b-c+1)_n}{(2-c)_n(1)_n}x^n
\end{align}
が正常に定まるため、普段と同じく$y_1,y_2$が基本解となります。
$c\in\Z_{\geq1}$かつ$a,b\not\in\{1,2,\ldots,c-1\}$のとき
$c\in\Z_{\geq1}$かつ$a,b\not\in\{1,2,\ldots,c-1\}$において超幾何微分方程式は
\begin{align}
y_1&=\F abcx\\
\y_2&=\F abcx\log x
+\sum^{c-1}_{n=1}\frac{(a)_{-n}(b)_{-n}}{(c)_{-n}(0)_{1-n}}x^{-n}\\
&\qquad{}+\sum^\infty_{n=1}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n(1)_n}
\sum^{n-1}_{m=0}\l(\frac1{a+m}+\frac1{b+m}-\frac1{c+m}-\frac1{1+m}\r)x^n
\end{align}
という基本解を持つ。
ポッホハマー記号の性質
$$(x)_n=(x)_m(x+m)_{n-m}$$
から
\begin{align}
y_2(c')
&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(a-c'+1)_n(b-c'+1)_n}{(2-c')_n(1)_n}x^{n-c'+1}\\
&=\frac{(a-c'+1)_{c-1}(b-c'+1)_{c-1}}{(2-c')_{c-1}(1)_{c-1}}
\sum^\infty_{n=1-c}\frac{(a+c-c')_n(b+c-c')_n}{(1+c-c')_n(c)_n}x^{n+c-c'}
\end{align}
特に
$$\lim_{c'\to c}\frac{(2-c')_{c-1}(1)_{c-1}}{(a-c'+1)_{c-1}(b-c'+1)_{c-1}}y_2(c')=\F abcx$$
が成り立つことに注意して
\begin{align}
\y_2
&=\lim_{c'\to c}\frac1{c-c'}
\l(\frac{(2-c')_{c-1}(1)_{c-1}}{(a-c'+1)_{c-1}(b-c'+1)_{c-1}}y_2(c')-y_1(c')\r)\\
&=-\frac{\partial}{\partial c'}\l(
\sum^\infty_{n=1-c}\frac{(a+c-c')_n(b+c-c')_n}{(1+c-c')_n(c)_n}x^{n+c-c'}-y_1(c')\r)\Bigg|_{c'=c}\\
&=\sum^{-1}_{n=1-c}\frac{(a)_n(b)_n}{(0)_{n+1}(c)_n}x^n
+\frac{\partial}{\partial c'}
\sum^\infty_{n=0}\frac{(a+c')_n(b+c')_n}{(1+c')_n(c)_n}x^{n+c'}\Bigg|_{c'=0}
+\frac{\partial}{\partial c'}y_1(c')\Bigg|_{c'=c}
\end{align}
とおくと
$$\frac{\partial y_1}{\partial c'}
=-\sum^\infty_{n=1}\frac{(a)_n(b)_n}{(c')_n(1)_n}\sum^{n-1}_{m=0}\frac1{c'+m}x^n$$
および
\begin{align}
&\frac{\partial}{\partial c'}
\sum^\infty_{n=0}\frac{(a+c')_n(b+c')_n}{(1+c')_n(c)_n}x^{n+c'}\\
={}&\F{a+c'}{b+c'}{1+c'}x\log x\\
&\quad+\sum^\infty_{n=1}\frac{(a+c')_n(b+c')_n}{(1+ c')_n(c)_n}
\sum^{n-1}_{m=0}\l(\frac1{a+c'+m}+\frac1{b+c'+m}-\frac1{1+c'+m}\r)x^n
\end{align}
と求まることから主張を得る。
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