&&&def
|||
|:-|:-|
|$A_n$|[オイラーのジグザグ数](https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_permutation)|
|$\beta(s)$|[ディリクレベータ関数](https://ja.wikipedia.org/wiki/ディリクレベータ関数)|
&&&

&&&thm
$n\in\N_+$
$\beginend{align}{
    \hat\lambda(n) \acoloneqq
        \sum_{k=0}^\infty \lr({\frac{(-1)^k}{2k+1}})^n \\&=
        \frac{A_{n-1}}{2(n-1)!}\lr({\frac\pi2})^n
}$
&&&
&&&prf
$\beginend{align}{
    \sum_{n=1}^\infty \hat\lambda(n)z^n &=
        \sum_{n=1}^\infty
            z^n \sum_{k=0}^\infty \lr({\frac{(-1)^k}{2k+1}})^n =
        \sum_{k=0}^\infty
            \frac{\frac{(-1)^kz}{2k+1}}{1-\frac{(-1)^kz}{2k+1}} \\&=
        z\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1+(-1)^{k+1}z} =
        z\sum_{k=0}^\infty \lr({\frac1{4k+1-z}-\frac1{4k+3+z}}) \\&=
        z\sum_{k=0}^\infty \frac{2(z+1)}{(4k+2)^2-(z+1)^2} =
        \frac z4\sum_{k=0}^\infty
            \frac{\frac{z+1}2}{\lr({k+\frac12})^2-\lr({\frac{z+1}4})^2} \\&\stackrel※=
        \frac{\pi z}4\tan{\frac{\pi(z+1)}4} =
        \frac{\pi z}4\sum_{n=0}^\infty \frac{A_n}{n!}\lr({\frac{\pi z}2})^n =
        \frac12\sum_{n=0}^\infty \frac{A_n}{n!}\lr({\frac{\pi z}2})^{n+1} \\
    \sahen &= \uhen
}$

$※\because$[三角関数の部分分数展開$\tan$](https://ja.wikipedia.org/wiki/三角関数の部分分数展開)
&&&

$\hat\lambda(n) = \beginend{cases}{
    \lr({1-2^{-n}})\zeta(n) & n \equiv 0 \\
    \beta{(n)} & n \equiv 1
} \pmod 2$であるため、
リーマンゼータ関数の偶数値とディリクレベータ関数の奇数値が求まりました。

$A_n$の値、[A000111 - OEIS](https://oeis.org/A000111)より。
|$n$|$0$|$1$|$2$|$3$|$4$|$5$|$6$|$7$|
|-|-|-|-|-|-|-|-|-|
|$A_n$|$1$|$1$|$1$|$2$|$5$|$16$|$61$|$272$


ζ(2n)とβ(2n-1)を一括で求める

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$A_{n}$	オイラーのジグザグ数
$β (s)$	ディリクレベータ関数