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ζ(2n)とβ(2n-1)を一括で求める

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0
$$\newcommand{acoloneqq}[0]{\ &\hspace-2pt\coloneqq} \newcommand{ar}[0]{\textrm{\ ar\!}} \newcommand{asupplement}[1]{&\hspace{#1}\textsf} \newcommand{beginend}[2]{{\begin{#1}#2\end{#1}}} \newcommand{bm}[0]{\boldsymbol} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{Defarrow}[0]{\xLeftrightarrow{\textrm{def}}} \newcommand{hen}[1]{{(\textrm{{#1}辺})}} \newcommand{hygeo}[6]{{{}_{#1}{#2}_{#3}\lr[{\beginend{matrix}{{#4}\\ {#5}}\ ;{#6}}]}} \newcommand{kfrac}[0]{\mathop{\Large\raise-1.8pt{\textrm K}}} \newcommand{Kfrac}[0]{\mathop{\huge\raise-2.2pt{\textrm K}}} \newcommand{lr}[3]{\left#1{#2}\right#3} \newcommand{lvvr}[3]{\lr{#1}{\negmedspace\lr|{#2}|\negmedspace}{#3}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{P}[0]{\mathbb{P}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{range}[1]{\rangeex{}{#1}{}} \newcommand{Range}[1]{\Rangeex{}{#1}{}} \newcommand{rangeex}[5]{\Rangeex{#1}{#2}{#3}{#4}{#5},} \newcommand{Rangeex}[6]{{#1{#2}_{#4}#3#6\cdots#6#1{#2}_{#5}#3}} \newcommand{rprod}[0]{\mathop{\prod\!\llap\coprod}} \newcommand{sahen}[0]{\hen左} \newcommand{slfrac}[2]{{{}^{#1}\hspace-4pt\diagup\hspace-4pt_{#2}}} \newcommand{stirling}[3]{\lr[{\beginend{matrix}{{#1}\\ {#2}}{#3}}]} \newcommand{Stirling}[3]{\lr\{{\beginend{matrix}{{#1}\\ {#2}}{#3}}\}} \newcommand{uhen}[0]{\hen右} \newcommand{vbin}[1]{\mathbin{{#1}\!\llap|\ }} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$n\in\N_+$
$\beginend{align}{ \hat\lambda(n) \acoloneqq \sum_{k=0}^\infty \lr({\frac{(-1)^k}{2k+1}})^n \\&= \frac{A_{n-1}}{2(n-1)!}\lr({\frac\pi2})^n }$

$\beginend{align}{ \sum_{n=1}^\infty \hat\lambda(n)z^n &= \sum_{n=1}^\infty z^n \sum_{k=0}^\infty \lr({\frac{(-1)^k}{2k+1}})^n = \sum_{k=0}^\infty \frac{\frac{(-1)^kz}{2k+1}}{1-\frac{(-1)^kz}{2k+1}} \\&= z\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1+(-1)^{k+1}z} = z\sum_{k=0}^\infty \lr({\frac1{4k+1-z}-\frac1{4k+3+z}}) \\&= z\sum_{k=0}^\infty \frac{2(z+1)}{(4k+2)^2-(z+1)^2} = \frac z4\sum_{k=0}^\infty \frac{\frac{z+1}2}{\lr({k+\frac12})^2-\lr({\frac{z+1}4})^2} \\&\stackrel※= \frac{\pi z}4\tan{\frac{\pi(z+1)}4} = \frac{\pi z}4\sum_{n=0}^\infty \frac{A_n}{n!}\lr({\frac{\pi z}2})^n = \frac12\sum_{n=0}^\infty \frac{A_n}{n!}\lr({\frac{\pi z}2})^{n+1} \\ \sahen &= \uhen }$

$※\because$ 三角関数の部分分数展開$\tan$

$\hat\lambda(n) = \beginend{cases}{ \lr({1-2^{-n}})\zeta(n) & n \equiv 0 \\ \beta{(n)} & n \equiv 1 } \pmod 2$であるため、
リーマンゼータ関数の偶数値とディリクレベータ関数の奇数値が求まりました。

$A_n$の値、 A000111 - OEIS より。

$n$$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$
$A_n$$1$$1$$1$$2$$5$$16$$61$$272$
投稿日:202399

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著者の記事における命題は大半が自分で発見したものであり、 何かしらの論文などに基づいたものではありません。

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