Andrews-Uncuの恒等式
Kanade-Russell予想はいくつかの$q$級数の等式の予想である. そのうちの1つは
\begin{align}
\sum_{0\leq m,n}\frac{q^{m^2+3mn+3n^2}}{(q;q)_m(q^3;q^3)_n}&\overset{\text{?}}=\frac 1{(q,q^3,q^6,q^8;q^9)_{\infty}}
\end{align}
と表される. この予想は具体的な等式の予想でありながら10年以上未解決であるという難問であるが, 今回はその類似として以下の結果を示す.
\begin{align} \sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^nq^{m^2+3mn+\binom{3n+1}2}}{(q;q)_m(q^3;q^3)_n}=\frac 1{(q;q^3)_{\infty}} \end{align}
以下はWangによる2023年の証明である.
留数定理より,
\begin{align}
\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^nq^{m^2+3mn+\binom{3n+1}2}}{(q;q)_m(q^3;q^3)_n}&=\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^nq^{\binom{m+1}2+3n+\binom{3m+n}2}}{(q;q)_m(q^3;q^3)_n}\\
&=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^mq^{\binom{m+1}2}z^m}{(q;q)_m}\sum_{0\leq n}\frac{(zq)^{3n}}{(q^3;q^3)_n}\sum_{0\leq k}(-1)^kq^{\binom k2}z^{-k}\frac{dz}z
\end{align}
と書き換えられる. ここで, $q$二項定理とJacobiの三重積より$\omega$を$1$の原始三乗根として,
\begin{align}
&\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^mq^{\binom{m+1}2}z^m}{(q;q)_m}\sum_{0\leq n}\frac{(zq)^{3n}}{(q^3;q^3)_n}\sum_{0\leq k}(-1)^kq^{\binom k2}z^{-k}\frac{dz}z\\
&=\frac1{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(zq,zq,1/z,q;q)_{\infty}}{(z^3q^3;q^3)_{\infty}}\frac{dz}z\\
&=\frac{(q;q)_{\infty}}{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(zq,1/z;q)_{\infty}}{(\omega qz,\omega^2qz;q)_{\infty}}\frac{dz}z
\end{align}
となる. ここで,
前の記事
のように積分を展開すると,
\begin{align}
&\frac{(q;q)_{\infty}}{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{(zq,1/z;q)_{\infty}}{(\omega qz,\omega^2qz;q)_{\infty}}\frac{dz}z\\
&=(q;q)_{\infty}\left(\frac{(\omega q,\omega^2;q)_{\infty}}{(\omega,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-\omega )^nq^{\binom{n+1}2}}{(q,\omega^2 q;q)_n}+\frac{(\omega^2q,\omega;q)_{\infty}}{(\omega^2,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-\omega^2)^nq^{\binom{n+1}2}}{(q,\omega q;q)_n}\right)\\
&=\frac{(\omega^2;q)_{\infty}}{1-\omega}\Q11{0}{\omega^2 q}{\omega q}+\frac{(\omega;q)_{\infty}}{1-\omega^2}\Q11{0}{\omega q}{\omega^2 q}
\end{align}
ここで,
Sears-Thomaeの変換公式
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}&=\frac{(e/a,de/bc;q)_{\infty}}{(e,de/abc;q)_{\infty}}\Q32{a,d/b,d/c}{d,de/bc}{\frac ea}
\end{align}
において, $a,b,c\to\infty$とすると
\begin{align}
\Q32{0,0,0}{d,e}{de}=\frac 1{(e;q)_{\infty}}\Q11{0}{d}{e}
\end{align}
となる. これを用いると, $q$二項定理より,
\begin{align}
\Q11{0}{\omega^2 q}{\omega q}&=(\omega q;q)_{\infty}\Q32{0,0,0}{\omega^2 q,\omega q}{q^2}\\
&=(\omega q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{3\binom n2+2n}}{(q^3;q^3)_n}\\
&=(q^2;q^3)_{\infty}(\omega q;q)_{\infty}
\end{align}
となる. 全く同様に
\begin{align}
\Q11{0}{\omega q}{\omega^2 q}&=(q^2;q^3)_{\infty}(\omega^2 q;q)_{\infty}
\end{align}
である. よって, これらより
\begin{align}
&\frac{(\omega^2;q)_{\infty}}{1-\omega}\Q11{0}{\omega^2 q}{\omega q}+\frac{(\omega;q)_{\infty}}{1-\omega^2}\Q11{0}{\omega q}{\omega^2 q}\\
&=\frac{(\omega^2;q)_{\infty}}{1-\omega}(q^2;q^3)_{\infty}(\omega q;q)_{\infty}+\frac{(\omega;q)_{\infty}}{1-\omega^2}(q^2;q^3)_{\infty}(\omega^2 q;q)_{\infty}\\
&=(q^2;q^3)_{\infty}(\omega q,\omega^2 q;q)_{\infty}\left(\frac{1-\omega}{1-\omega^2}+\frac{1-\omega^2}{1-\omega}\right)\\
&=\frac{(q^2,q^3;q^3)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\\
&=\frac 1{(q;q^3)_{\infty}}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
定理1はRahmanによって1993年に示された和公式
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-bcdq^{4n-2})(bcd/q^2;q^3)_n(b,c,d;q)_n}{(1-bcd/q^2)(q;q)_n(bcq,bdq,cdq;q^3)_n}q^{n^2}\\
&\qquad\cdot\Q43{q^{-n},q^{1-n},q^{2-n},bcdq^{3n}}{bq^2,cq^2,dq^2}{q^3;q^3}=\frac{(bq,cq,dq,bcdq;q^3)_{\infty}}{(q,bcq,bdq,cdq;q^3)_{\infty}}
\end{align}
において$b=c=d=0$とすることによって得ることもできる. Rahmanはもう一つの和公式
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-bcdq^{4n-1})(bcd/q;q^3)_n(b,c,d;q)_n}{(1-bcd/q)(q;q)_n(bcq^2,bdq^2,cdq^2;q^3)_n}q^{n^2+n}\\
&\qquad\cdot \Q43{q^{-n-1},q^{-n},q^{1-n},bcdq^{3n}}{bq,cq,dq}{q^3;q^3}=\frac{(bq^2,cq^2,dq^2,bcdq^2;q^3)_{\infty}}{(q^2,bcq^2,bdq^2,cdq^2;q^3)_{\infty}}
\end{align}
も示しており, これを特殊化すると,
\begin{align}
\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^nq^{m^2-m+3mn+\binom{3n}2}(1-q^{m+3n})}{(q;q)_m(q^3;q^3)_n}&=\frac 1{(q^2;q^3)_{\infty}}
\end{align}
が得られる. 一方, Andrews-Uncuは定理1の類似として,
\begin{align}
\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^nq^{m^2+3mn+\binom{3n+1}2}(1-q^{m+3n+1})}{(q;q)_m(q^3;q^3)_n}&=\frac 1{(q^2;q^3)_{\infty}}
\end{align}
も示しているが, 上のRahmanの和公式から従うものと微妙に同値ではないように見える.
さらにAndrews-Uncuは類似として,
\begin{align}
\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^nq^{m^2+m+3mn+\binom{3n+1}2+n}}{(q;q)_m(q^3;q^3)_n}=\frac 1{(q^2,q^3;q^6)_{\infty}}
\end{align}
を予想しており, それはChernによって示されている.
