保型形式入門：モジュラー群の有限生成性について

はじめに

　この記事では 前回の記事 のおまけとしてモジュラー群の有限生成性について解説していきます。

有限生成群

　ちなみに$H$の生成元の個数についてはより精密な評価として以下の事実が知れらている。

　前回の記事でも紹介したように$S{L}_2(\mathbb{Z})$は二つの行列
$$S=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),T=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
によって生成されるので、モジュラー群については以下の事実が成り立つ。

主合同部分群の生成系

　主合同部分群$\mathrm{\Gamma }(N)$の指数は$N>1$において
${\displaystyle |S{L}_2(\mathbb{Z}):\mathrm{\Gamma }(N)|=N^3\prod _{p\mid N}(1-\frac{1}{p^2})}$
と計算できることが知られているが、$\mathrm{\Gamma }(N)$の生成元の個数はこれよりも少なくできる。

　以下でその証明を行っていく。以下特筆しない限り合同式は$\mathrm{mod}p$で考える。

準備

　巡回群$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$の生成元を任意に取り$\alpha$とおく。このとき任意の整数$a$に対し${\alpha }^{2n}\equiv a^2$つまり
${\alpha }^n\equiv 1または-1$
を満たすような整数$n$が法$q=(p-1)/2$で一意に定まるので、それを$\tau (a)\in \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$とおく。
　$Z=(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$の元$[\lambda ,\mu ,\nu ]$に対し
$[\lambda ,\mu ,\nu {]}_{\ast }=[{\lambda }_{\ast },{\mu }_{\ast },{\nu }_{\ast }]:=[\lambda +\tau (\nu ),(\mu \nu -1)\nu ,-{\nu }^{-1}]$
と定める。これは
$[\lambda ,\mu ,\nu {]}_{\ast \ast }=[\lambda ,\mu ,\nu ]$
を満たすので$Z$から$Z$への全単射をなす。また$\nu \ne \pm 1$のときは$\tau (\nu )\ne 0$より${\lambda }_{\ast }\ne \lambda$、$\nu =\pm 1$のときは${\mu }_{\ast }=\mu \mp 1\ne {\mu }^{\ast }$となるので
$[\lambda ,\mu ,\nu {]}_{\ast }\ne [\lambda ,\mu ,\nu ]$
が成り立つことに注意する。
　さらに$Z$の部分集合
$Z^{\prime }=\{[\lambda ,\mu ,\nu ]\in Z\mid \nu \ne -1\}$
に対し
$[\lambda ,\mu ,\nu {]}^{\ast }=[{\lambda }^{\ast },{\mu }^{\ast },{\nu }^{\ast }]:=[{\lambda }_{\ast },{\mu }_{\ast },-(1+{\nu }^{-1})]$
と定めると、これは
$[\lambda ,\mu ,\nu {]}^{\ast \ast \ast }=[\lambda ,\mu ,\nu ]$
を満たすので$Z^{\prime }$から$Z^{\prime }$への全単射をなし、また
$[\lambda ,\mu ,\nu {]}^{\ast }\ne [\lambda ,\mu ,\nu ],[\lambda ,\mu ,\nu {]}_{\ast }$
が成り立つことに注意する。

生成系の明示形

　$\bar{\mathrm{\Gamma }}=S{L}_2(\mathbb{Z})/\{\pm I\}$とおき
$$\bar{\mathrm{\Gamma }}(N)=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{\Gamma }\mid \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)(\mathrm{mod}N)\}$$
を考えることで以下行列$A$と$-A$を同一視して考える。
　また上で$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}(n=p,q)$の元としていたもの、つまり$\alpha ,\lambda ,\mu ,\nu$を以下では$n$未満の非負整数として考える。
　$\alpha \beta \equiv 1$なる整数$\beta$を取り$\mathrm{\Gamma }$の生成系
$$S=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),T=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
に対し
$$V=T{S}^{\alpha }T{S}^{\beta }T{S}^{\alpha }=\left(\begin{array}{cc}\beta & \alpha \beta -1\\ 1-\alpha \beta & \alpha -\alpha (\alpha \beta -1)\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{cc}\beta & 0\\ 0& \alpha \end{array}\right)$$
および
$$\begin{array}{rl}R& =S^{\mu }T{S}^{\nu }T{S}^{-{\nu }_{\ast }}T{S}^{-{\mu }_{\ast }}\\ & =\left(\begin{array}{cc}-\mu (\nu {\nu }_{\ast }+1)+{\nu }_{\ast }& \mu {\mu }_{\ast }(\nu {\nu }_{\ast }+1)-(\mu \nu +{\mu }_{\ast }{\nu }_{\ast })+1\\ -(\nu {\nu }_{\ast }+1)& {\mu }_{\ast }(\nu {\nu }_{\ast }+1)-\nu \end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{cc}{\nu }_{\ast }& 0\\ 0& -\nu \end{array}\right)\end{array}$$
とおく。
　このとき
$$S^p=\left(\begin{array}{cc}1& p\\ 0& 1\end{array}\right)$$
および
$$(\lambda ,\mu ,\nu ):=V^{\lambda }R{V}^{-{\lambda }_{\ast }}\in \mathrm{\Gamma }(p)$$
が$\mathrm{\Gamma }(p)$の生成系を成すことを示す。
　また$[\lambda ,\mu ,\nu ]$の取り方は全部で$|Z|=p(p-1{)}^2/2$通りあるが、$(\lambda ,\mu ,\nu )$の持つ関係式によって$\mathrm{\Gamma }(p)$を生成するには適当な$(p+1)p(p-1)/12$個の元を取れば十分であることを示す。

証明

直和分解

　自然な準同型$f:S{L}_2(\mathbb{Z})\to S{L}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$の核は$\mathrm{\Gamma }(p)$であり、また$f$の逆像として
$$V^{\lambda }{S}^{\mu }\equiv \left(\begin{array}{cc}{\beta }^{\lambda }& {\beta }^{\lambda }\mu \\ 0& {\alpha }^{\lambda }\end{array}\right),V^{\lambda }{S}^{\mu }T{S}^{\nu }\equiv \left(\begin{array}{cc}{\beta }^{\lambda }\mu & {\beta }^{\lambda }(\mu \nu -1)\\ {\alpha }^{\lambda }& {\alpha }^{\lambda }\nu \end{array}\right)$$
という形のものが
$0\le \lambda <(p-1)/2,0\le \mu ,\nu <p$
において一意に定まるので($\nu =0$も認めることに注意する)、これらは$S{L}_2(\mathrm{\Gamma })/\mathrm{\Gamma }(p)$において異なる剰余類を定める(準同型定理)、つまり直和分解
$$S{L}_2(\mathbb{Z})=(\bigcup _{\lambda ,\mu }\mathrm{\Gamma }(p)V^{\lambda }{S}^{\mu })\cup (\bigcup _{\lambda ,\mu ,\nu }\mathrm{\Gamma }(p)V^{\lambda }{S}^{\mu }T{S}^{\nu })$$
が成り立つ。

生成系

　この直和分解因子$V^{\lambda }{S}^{\mu },V^{\lambda }{S}^{\mu }T{S}^{\nu }$と$S{L}_2(\mathbb{Z})$の生成元$X=S,T$に対応する補題1のような$h_{i,j}$をそれぞれ$U_{\lambda ,\mu ,X},U_{\lambda ,\mu ,\nu ,X}$とおく。このとき$T^2=I$や$S^p\equiv I$に注意すると
$$\begin{array}{rl}{U}_{\lambda ,\mu ,S}& =\{\begin{array}{ll}{V}^{\lambda }{S}^{\mu +1}(V^{\lambda }{S}^{\mu +1}{)}^{-1}=I& \mu \ne p-1\\ V^{\lambda }{S}^p{V}^{-\lambda }& \mu =p-1\end{array}\\ U_{\lambda ,\mu ,T}& =V^{\lambda }{S}^{\mu }T(V^{\lambda }{S}^{\mu }T{)}^{-1}=I\\ U_{\lambda ,\mu ,\nu ,S}& =\{\begin{array}{ll}{V}^{\lambda }{S}^{\mu }T{S}^{\nu +1}(V^{\lambda }{S}^{\mu }T{S}^{\nu +1}{)}^{-1}=I& \nu \ne p-1\\ V^{\lambda }{S}^{\mu }T{S}^p(V^{\lambda }{S}^{\mu }T{)}^{-1}& \nu =p-1\end{array}\\ U_{\lambda ,\mu ,0,T}& =\{\begin{array}{ll}{V}^{\lambda }{S}^{\mu }{T}^2(V^{\lambda }{S}^{\mu }{)}^{-1}=I& \nu =0\\ (\lambda ,\mu ,\nu )& \nu \ne 0\end{array}\end{array}$$
が成り立つので$\mathrm{\Gamma }(p)$は
$$\begin{array}{rlrl}(\lambda )& :=U_{\lambda ,p-1,S}& & =V^{\lambda }{S}^p{V}^{-\lambda }\\ (\lambda ,\mu )& :=U_{\lambda ,\mu ,p-1,S}& & =V^{\lambda }{S}^{\mu }T{S}^{p}T{S}^{-\mu }{V}^{-\lambda }\\ (\lambda ,\mu ,\nu )& :=U_{\lambda ,\mu ,\nu ,T}& & =V^{\lambda }{S}^{\mu }T{S}^{\nu }T{S}^{-{\nu }_{\ast }}T{S}^{-{\mu }_{\ast }}{V}^{-{\lambda }_{\ast }}\end{array}$$
によって生成されることとなる。

生成系の簡約化

　いま$Z$および$Z^{\prime }$の部分集合
$\{[\lambda ,\mu ,\nu ],[\lambda ,\mu ,\nu {]}_{\ast }\},\{[\lambda ,\mu ,\nu ],[\lambda ,\mu ,\nu {]}^{\ast },[\lambda ,\mu ,\nu {]}^{\ast \ast }\}$
の取り方はそれぞれ
$$\frac{|Z|}{2}=\frac{p(p-1{)}^2}{4},\frac{|Z^{\prime }|}{3}=\frac{p(p-1)(p-2)}{6}$$
通りあるので$\mathrm{\Gamma }(p)$の生成系として$(\lambda ,\mu ,\nu )$の中から
$$\frac{p(p-1)}{2}-\frac{p(p-1{)}^2}{4}-\frac{p(p-1)(p-2)}{6}=\frac{(p+1)p(p-1)}{12}$$
個選んで取れると推定できる。実際それは可能であることまで示せるが、少し煩雑となるので省略する(詳しくは参考文献[1]を参照されたい)。

具体例

$p=2$の場合

　上では$p$を奇素数としていたが、$p=2$の場合も同様の議論が適用でき$\mathrm{\Gamma }(2)$の生成元として
$$(0)=S^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),(0,0)=T{S}^{2}T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)$$
が取れることがわかる。

$p=3$の場合

　$\alpha =2$に対し
$$\begin{array}{rl}(\lambda ,\mu ,1)(\lambda ,\mu -1,2)& =I\\ (\lambda ,\mu ,1)(\lambda ,\mu -1,1)(\lambda ,\mu -2,1)& =I\end{array}$$
より$0\le \lambda <1$に注意すると$\mathrm{\Gamma }(3)$の生成元として$S^3$および$(0,0,1),(0,1,1)$が取れ、また
$(0,0,1)=(0{)}^{-1}(0,2{)}^{-1},(0,1,1)=(0,0{)}^{-1}$
に注意するとより明示的に
$$S^3=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right),(0,0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 1\end{array}\right),(0,1)=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ -3& 4\end{array}\right)$$
が取れることがわかる。

$p=5$の場合

　$\alpha =2$に対し
$$\begin{array}{rl}(\lambda ,\mu ,1)(\ast ,\ast ,3)(\ast ,\ast ,2)& =I\\ (\lambda ,\mu ,4)(\ast ,\ast ,1)& =I\end{array}$$
より$(\lambda ,\mu ,2),(\lambda ,\mu ,3)$に帰着でき、
$$\begin{array}{rl}(\lambda ,\mu ,2)(\lambda +1,3-\mu ,2)& =I\\ (\lambda ,\mu ,3)(\lambda +1,2-\mu ,3)& =I\end{array}$$
より$\mathrm{\Gamma }(5)$の生成元として$S^5$および
$$(0,\mu ,2),(0,\mu ,3)(\mu =0,1,2,3,4)$$
が取れる。

一般の生成系について

　$\mathrm{\Gamma }(N)$の生成系を明示的に求めるにはSageMathを使うと便利である( オンラインで実行できるページ などで試せる)。特に小難しいプログラムを書く必要はなく、

Gamma(N).generators()

を実行するだけで$\mathrm{\Gamma }(N)$の生成系を求められる。例えば

Gamma(7).generators()

と入れれば$\mathrm{\Gamma }(7)$の生成系として

[
[1 7] [-48 7] [-209 56] [113 -35] [-55 21] [120 -49]
[0 1], [ -7 1], [ -56 15], [ 42 -13], [-21 8], [ 49 -20],

[ 15 -7] [ 239 -140] [113 -70] [ 232 -161] [-181 133] [ 8 -7]
[ 28 -13], [ 70 -41], [ 21 -13], [ 49 -34], [ -49 36], [ 7 -6],

[-76 105] [ 169 -238] [ 43 -63] [ 309 -490] [ 134 -217]
[-21 29], [ 49 -69], [ 28 -41], [ 70 -111], [ 21 -34],

[ 281 -476] [-230 399] [ 15 -28] [-97 231] [ 218 -525]
[ 49 -83], [ -49 85], [ 7 -13], [-21 50], [ 49 -118],

[-279 763] [ 22 -63] [-118 399] [ 29 -112] [-139 609]
[ -49 134], [ 7 -20], [ -21 71], [ 7 -27], [ -21 92],

[ 36 -175] [ 43 -252]
[ 7 -34], [ 7 -41]
]

が返される。
　興味があれば オンラインで実行できるページ もあるので試してみられたい。