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大学数学基礎解説
文献あり

保型形式入門:モジュラー群の有限生成性について

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{H}[0]{\mathbb{H}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\operatorname{ind}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{L}[0]{\Lambda} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{La}[0]{\Lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{M}[4]{\begin{pmatrix}#1& #2\\#3& #4\end{pmatrix}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{O}[0]{\Omega} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事では 前回の記事 のおまけとしてモジュラー群の有限生成性について解説していきます。

有限生成群

 有限生成群の指数有限な部分群は再び有限生成である。
 特に$n$個の元によって生成される群$G$$|H:G|=m$なる部分群$H$は高々$2mn$個の元によって生成される。

$G=\langle x_1,x_2,\ldots,x_n\rangle$
とおき、$n< j\leq2n$に対し$x_j=x_{j-n}^{-1}$と延長する。また
$G=\bigcup^m_{i=1}Hg_i\quad(g_1=1)$
と直和分解したとき、$g_ix_j\in G$より
$g_ix_j=h_{i,j}g_k\quad(h_{i,j}\in H)$
と表せる。
 この$h_{i,j}$によって生成される群
$H'=\langle h_{i,j}\mid1\leq i\leq m,1\leq j\leq2n\rangle\subset H$
を考えると、任意の$x\in G$に対しある$h'\in H'$が存在して
$x=g_1x=h'g_k$
が成り立つので、$h\in H$に対しては
$h=h'g_k\in H\cap Hg_k$
より$g_k=g_1=1$でなければならず
$h=h'\in H'$
つまり$H=H'$を得る。

 ちなみに$H$の生成元の個数についてはより精密な評価として以下の事実が知れらている。

Nielsen–Schreier

 上のような状況において、$H$は高々$1+m(n-1)$個の元によって生成される。

 前回の記事でも紹介したように$SL_2(\Z)$は二つの行列
$$S=\M1101,\;T=\M0{-1}10$$
によって生成されるので、モジュラー群については以下の事実が成り立つ。

 $|SL_2(\Z):\G|=m$なるモジュラー群$\G$は高々$m+1$個の行列によって生成される。

主合同部分群の生成系

 主合同部分群$\G(N)$の指数は$N>1$において
$\dis|SL_2(\Z):\G(N)|=N^3\prod_{p\mid N}\l(1-\frac1{p^2}\r)$
と計算できることが知られているが、$\G(N)$の生成元の個数はこれよりも少なくできる。

 奇素数$p$に対し$\G(p)$$1+p(p^2-1)/12$個の行列によって生成できる。

 以下でその証明を行っていく。以下特筆しない限り合同式は$\mod p$で考える。

準備

 巡回群$\ZZt p$の生成元を任意に取り$\a$とおく。このとき任意の整数$a$に対し$\a^{2n}\equiv a^2$つまり
$\a^n\equiv1\;または-1$
を満たすような整数$n$が法$q=(p-1)/2$で一意に定まるので、それを$\tau(a)\in\ZZ q$とおく。
 $Z=(\ZZ q)\times(\ZZ p)\times\ZZt p$の元$[\la,\mu,\nu]$に対し
$[\la,\mu,\nu]_*=[\la_*,\mu_*,\nu_*]:=[\la+\tau(\nu),(\mu\nu-1)\nu,-\nu^{-1}]$
と定める。これは
$[\la,\mu,\nu]_{**}=[\la,\mu,\nu]$
を満たすので$Z$から$Z$への全単射をなす。また$\nu\neq\pm1$のときは$\tau(\nu)\neq0$より$\la_*\neq\la$$\nu=\pm1$のときは$\mu_*=\mu\mp1\neq\mu^*$となるので
$[\la,\mu,\nu]_*\neq[\la,\mu,\nu]$
が成り立つことに注意する。
 さらに$Z$の部分集合
$Z'=\{[\la,\mu,\nu]\in Z\mid\nu\neq-1\}$
に対し
$[\la,\mu,\nu]^*=[\la^*,\mu^*,\nu^*]:=[\la_*,\mu_*,-(1+\nu^{-1})]$
と定めると、これは
$[\la,\mu,\nu]^{***}=[\la,\mu,\nu]$
を満たすので$Z'$から$Z'$への全単射をなし、また
$[\la,\mu,\nu]^*\neq[\la,\mu,\nu],[\la,\mu,\nu]_*$
が成り立つことに注意する。

生成系の明示形

 $\ol\G=SL_2(\Z)/\{\pm I\}$とおき
$$\ol\G(N)=\l\{\M abcd\in\G\mid\M abcd\equiv\M1001\pmod N\r\}$$
を考えることで以下行列$A$$-A$を同一視して考える。
 また上で$\ZZ n\;(n=p,q)$の元としていたもの、つまり$\a,\la,\mu,\nu$を以下では$n$未満の非負整数として考える。
 $\a\b\equiv1$なる整数$\b$を取り$\G$の生成系
$$S=\M1101,\; T=\M0{-1}10$$
に対し
$$V=TS^\a TS^\b TS^\a =\M\b{\a\b-1}{1-\a\b}{\a-\a(\a\b-1)}\equiv\M\b00\a$$
および
\begin{align*} R&=S^\mu TS^\nu TS^{-\nu_*}TS^{-\mu_*} \\&=\M{-\mu(\nu\nu_*+1)+\nu_*}{\mu\mu_*(\nu\nu_*+1)-(\mu\nu+\mu_*\nu_*)+1}{-(\nu\nu_*+1)}{\mu_*(\nu\nu_*+1)-\nu} \equiv\M{\nu_*}00{-\nu} \end{align*}
とおく。
 このとき
$$S^p=\M1p01$$
および
$$(\la,\mu,\nu):=V^\la RV^{-\la_*}\in\G(p)$$
$\G(p)$の生成系を成すことを示す。
 また$[\la,\mu,\nu]$の取り方は全部で$|Z|=p(p-1)^2/2$通りあるが、$(\la,\mu,\nu)$の持つ関係式によって$\G(p)$を生成するには適当な$(p+1)p(p-1)/12$個の元を取れば十分であることを示す。

証明

直和分解

 自然な準同型$f:SL_2(\Z)\to SL_2(\Z/p\Z)$の核は$\G(p)$であり、また$f$の逆像として
$$V^\la S^\mu\equiv\M{\b^\la}{\b^\la\mu}0{\a^\la},\quad V^\la S^\mu TS^\nu\equiv\M{\b^\la\mu}{\b^\la(\mu\nu-1)}{\a^\la}{\a^\la\nu}$$
という形のものが
$0\leq\la<(p-1)/2,\quad0\leq\mu,\nu< p$
において一意に定まるので($\nu=0$も認めることに注意する)、これらは$SL_2(\G)/\G(p)$において異なる剰余類を定める(準同型定理)、つまり直和分解
$$SL_2(\Z) =\l(\bigcup_{\la,\mu}\G(p)V^\la S^\mu\r) \cup\l(\bigcup_{\la,\mu,\nu}\G(p)V^\la S^\mu TS^\nu\r)$$
が成り立つ。

生成系

 この直和分解因子$V^\la S^\mu,V^\la S^\mu TS^\nu$$SL_2(\Z)$の生成元$X=S,T$に対応する補題1のような$h_{i,j}$をそれぞれ$U_{\la,\mu,X},U_{\la,\mu,\nu,X}$とおく。このとき$T^2=I$$S^p\equiv I$に注意すると
\begin{align} U_{\la,\mu,S}&=\l\{\begin{array}{ll} V^\la S^{\mu+1}(V^\la S^{\mu+1})^{-1}=I&\quad\mu\neq p-1 \\ V^\la S^pV^{-\la}&\quad\mu=p-1 \end{array}\r. \\U_{\la,\mu,T}&=V^\la S^\mu T(V^\la S^\mu T)^{-1}=I \\U_{\la,\mu,\nu,S}&=\l\{\begin{array}{ll} V^\la S^\mu TS^{\nu+1}(V^\la S^\mu TS^{\nu+1})^{-1}=I&\quad\nu\neq p-1 \\ V^\la S^\mu TS^p(V^\la S^\mu T)^{-1}&\quad\nu=p-1 \end{array}\r. \\U_{\la,\mu,0,T}&=\l\{\begin{array}{ll} V^\la S^\mu T^2(V^\la S^\mu)^{-1}=I&\quad\nu=0 \\ (\la,\mu,\nu)&\quad\nu\neq0 \end{array}\r. \end{align}
が成り立つので$\G(p)$
\begin{align} (\la)&:=U_{\la,p-1,S}&&=V^\la S^pV^{-\la} \\(\la,\mu)&:=U_{\la,\mu,p-1,S}&&=V^\la S^\mu TS^pTS^{-\mu}V^{-\la} \\(\la,\mu,\nu)&:=U_{\la,\mu,\nu,T}&&=V^\la S^\mu TS^\nu TS^{-\nu_*}TS^{-\mu_*}V^{-\la_*} \end{align}
によって生成されることとなる。

生成系の簡約化

\begin{align} (\la,\mu)&=\l\{\begin{array}{ll} (\la,\mu+1,1)^{-1}&(\mu\neq p-1) \\ (\la,0,1)^{-1}(\la)^{-1}&(\mu=p-1) \end{array}\r. \\(\la)&=(\la,p-\a)^{-1}(\la-1,0,\a)^{-1}\quad(\la\neq0) \end{align}
が成り立つ。
 特に$\G(p)$$(0)=S^p$および$(\la,\mu,\nu)$によって生成される。

 $T^2=(ST)^3=I$に注意すると
\begin{eqnarray} (\la,\mu+1,1) &=&V^\la S^{\mu+1}TS TS^{-(p-1)}TS^{-\mu}V^{-\la} \\&=&V^\la S^\mu(STSTS)S^{-p}TS^{-\mu}V^{-\la} \\&=&V^\la S^\mu TS^{-p}TS^{-\mu}V^{-\la} \\&=&(\la,\mu)^{-1} \\(\la,0,1) &=&V^\la S^0TSTS^{-(p-1)}TS^{-(p-1)}V^{-\la} \\&=&(V^\la S^{-p}V^{-\la})(V^\la S^{p-1}(STSTS)S^{-p}TS^{-(p-1)}V^{-\la}) \\&=&(V^\la S^{-p}V^{-\la})(V^\la S^{p-1}TS^{-p}TS^{-(p-1)}V^{-\la}) \\&=&(\la)^{-1}(\la,p-1)^{-1} \\(\la-1,0,\a) &=&V^{\la-1}S^0TS^\a TS^{-(p-\b)}TS^{-(p-\a)}V^{-\la} \\&=&(V^\la S^{-p}V^{-\la})(V^\la S^pV^{-1}TS^\a TS^{-(p-\b)}TS^{-(p-\a)}V^{-\la}) \\&=&(V^\la S^{-p}V^{-\la})(V^\la S^p(S^{-\a}TS^{-\b}TS^{-\a}T)(TS^\a TS^\b)S^{-p}TS^{-(p-\a)}V^{-\la}) \\&=&(V^\la S^{-p}V^{-\la})(V^\la S^{p-\a}TS^{-p}TS^{-(p-\a)}V^{-\la}) \\&=&(\la)^{-1}(\la,p-\a)^{-1} \end{eqnarray}
と計算できる。

\begin{align*} I&=(\la,\mu,\nu)(\la_*,\mu_*,\nu_*) \\&=(\la,\mu,\nu)(\la^*,\mu,^*,\nu^*)(\la^{**},\mu,^{**},\nu^{**}) \end{align*}
が成り立つ。

 簡単のため
$A(\la,\mu,\nu)=V^\la S^\mu TS^\nu$
とおく。このとき
$(\la,\mu,\nu)=A(\la,\mu,\nu)TA(\la_*,\mu_*,\nu_*)^{-1}$
が成り立つことに注意する。
 一行目については
$(\la_*,\mu_*,\nu_*)=A(\la_*,\mu_*,\nu_*)TA(\la,\mu,\nu)^{-1}=(\la,\mu,\nu)^{-1}$
とわかる。
 二行目については
$\nu^*-\nu_*\equiv-(1+\nu^{-1})-(-\nu^{-1})=-1$
および
$|\nu^*-\nu_*|< p-1$
から
$\nu^*-\nu_*=-1$
が成り立つことに注意すると
$A(\la_*,\mu_*,\nu_*)^{-1}A(\la^*,\mu^*,\nu^*) =(S^{-\nu_*}TS^{-\mu_*}V^{-\la_*})(V^{\la_*}S^{\mu_*}TS^{\nu^*}) =S^{-1}$
より
\begin{eqnarray} &&(\la,\mu,\nu)(\la^*,\mu,^*,\nu^*)(\la^{**},\mu,^{**},\nu^{**}) \\&=&A(\la,\mu,\nu)(TS^{-1}TS^{-1}T)A(\la,\mu,\nu+1)^{-1} \\&=&A(\la,\mu,\nu)S\cdot S^{-1}TA(\la,\mu,\nu)^{-1} \\&=&I \end{eqnarray}
とわかる。

 いま$Z$および$Z'$の部分集合
$\{[\la,\mu,\nu],[\la,\mu,\nu]_*\},\quad \{[\la,\mu,\nu],[\la,\mu,\nu]^*,[\la,\mu,\nu]^{**}\}$
の取り方はそれぞれ
$$\frac{|Z|}2=\frac{p(p-1)^2}4,\quad\frac{|Z'|}3=\frac{p(p-1)(p-2)}6$$
通りあるので$\G(p)$の生成系として$(\la,\mu,\nu)$の中から
$$\frac{p(p-1)}2-\frac{p(p-1)^2}4-\frac{p(p-1)(p-2)}6=\frac{(p+1)p(p-1)}{12}$$
個選んで取れると推定できる。実際それは可能であることまで示せるが、少し煩雑となるので省略する(詳しくは参考文献[1]を参照されたい)。

具体例

$p=2$の場合

 上では$p$を奇素数としていたが、$p=2$の場合も同様の議論が適用でき$\G(2)$の生成元として
$$(0)=S^2=\M1201,\;(0,0)=TS^2T=\M10{-2}1$$
が取れることがわかる。

$p=3$の場合

 $\a=2$に対し
\begin{align} (\la,\mu,1)(\la,\mu-1,2)&=I \\(\la,\mu,1)(\la,\mu-1,1)(\la,\mu-2,1)&=I \end{align}
より$0\leq\la<1$に注意すると$\G(3)$の生成元として$S^3$および$(0,0,1),(0,1,1)$が取れ、また
$(0,0,1)=(0)^{-1}(0,2)^{-1},\;(0,1,1)=(0,0)^{-1}$
に注意するとより明示的に
$$S^3=\M1301,\;(0,0)=\M10{-3}1,\;(0,1)=\M{-2}3{-3}4$$
が取れることがわかる。

$p=5$の場合

 $\a=2$に対し
\begin{align} (\la,\mu,1)(*,*,3)(*,*,2)&=I \\(\la,\mu,4)(*,*,1)&=I \end{align}
より$(\la,\mu,2),(\la,\mu,3)$に帰着でき、
\begin{align} (\la,\mu,2)(\la+1,3-\mu,2)&=I \\(\la,\mu,3)(\la+1,2-\mu,3)&=I \end{align}
より$\G(5)$の生成元として$S^5$および
$$(0,\mu,2),(0,\mu,3)\quad(\mu=0,1,2,3,4)$$
が取れる。

一般の生成系について

 $\G(N)$の生成系を明示的に求めるにはSageMathを使うと便利である( オンラインで実行できるページ などで試せる)。特に小難しいプログラムを書く必要はなく、

Gamma(N).generators()

を実行するだけで$\G(N)$の生成系を求められる。例えば

Gamma(7).generators()

と入れれば$\G(7)$の生成系として

[
[1 7] [-48 7] [-209 56] [113 -35] [-55 21] [120 -49]
[0 1], [ -7 1], [ -56 15], [ 42 -13], [-21 8], [ 49 -20],

[ 15 -7] [ 239 -140] [113 -70] [ 232 -161] [-181 133] [ 8 -7]
[ 28 -13], [ 70 -41], [ 21 -13], [ 49 -34], [ -49 36], [ 7 -6],

[-76 105] [ 169 -238] [ 43 -63] [ 309 -490] [ 134 -217]
[-21 29], [ 49 -69], [ 28 -41], [ 70 -111], [ 21 -34],

[ 281 -476] [-230 399] [ 15 -28] [-97 231] [ 218 -525]
[ 49 -83], [ -49 85], [ 7 -13], [-21 50], [ 49 -118],

[-279 763] [ 22 -63] [-118 399] [ 29 -112] [-139 609]
[ -49 134], [ 7 -20], [ -21 71], [ 7 -27], [ -21 92],

[ 36 -175] [ 43 -252]
[ 7 -34], [ 7 -41]
]

が返される。
 興味があれば オンラインで実行できるページ もあるので試してみられたい。

参考文献

[1]
H. Frasch, Die Erzeugenden der Hauptkongruenzgruppen fur Primzahlstufen, Mathematische Annale, 1933, pp. 229-252
[2]
J. Nielsen, A study concerning the congruence subgroups of the modular group, Matematisk-fysiske meddelelser, 1950
[3]
Rose, John S., A course on group theory, Cambridge University Press, 1978, p. 55
投稿日:2023728
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子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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