分母に中央二項係数の3乗が入ったπ^2の公式
Ramanujanによる円周率公式の中でも特にシンプルなものとして, 分子に二項係数の3乗が入った公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(6n+1)\binom{2n}n^3}{2^{8n}}&=\frac 4{\pi}
\end{align}
が知られているが, その類似として分母に二項係数の3乗が入った次のような公式が知られている.
\begin{align}
\sum_{0< n}\frac{2^{4n}(3n-1)}{n^3\binom{2n}n^3}=\frac{\pi^2}{2}
\end{align}
これは$n\mapsto n+1$とすることで,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{3n+2}{2^{2n}}\frac{n!^3}{\left(\frac 12\right)_{n+1}^3}&=2\pi^2
\end{align}
と書き換えることができる. この等式はGuilleraの2008年の論文に現れているものであり, その論文において, 上2つの等式を統一する一般化
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{6(n+a)+1}{2^{2n}}\frac{\left(a+\frac 12\right)_n^3}{(a+1)_n^3}&=8a\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{(a+1)_n^2}
\end{align}
が示されている.
$q$類似
Ramanujanの公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(6n+1)\binom{2n}n^3}{2^{8n}}&=\frac 4{\pi}
\end{align}
の$q$類似は
前の記事
で示した. 等式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{3n+2}{2^{2n}}\frac{n!^3}{\left(\frac 12\right)_{n+1}^3}&=2\pi^2
\end{align}
についても以下のような$q$類似が知られている.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(1-q^{3n+2})(q^2;q^2)_n(q;q)_n^2}{(q;q^2)_{n+1}^3}q^{\binom{n+1}2}&=\frac{(q^2;q^2)_{\infty}^4}{(q;q^2)_{\infty}^4} \end{align}
前の記事
で示したRahmanの和公式
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(b,c,aq/bc;q)_k(a;q^2)_k}{(aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_k(q;q)_k}q^{\binom{k+1}2}\\
&=\frac{(aq^2,bq,cq,aq^2/bc;q^2)_{\infty}}{(q,aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_{\infty}}
\end{align}
において, $a=q^2, b=c=q$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{1-q^{3k+2}}{1-q^2}\frac{(q;q)_k^2(q^2;q^2)_k}{(q^3;q^2)_k^3}q^{\binom{k+1}2}&=\frac{(q^4,q^2,q^2,q^2;q^2)_{\infty}}{(q,q^3,q^3,q^3;q^2)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを整理して定理を得る.
定理1において, 両辺に$8(1-q)^2$を掛けて$q\to 1$とすると
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{3n+2}{2^{2n}}\frac{n!^3}{\left(\frac 12\right)_{n+1}^3}&=2\pi^2
\end{align}
を得ることができる. より一般にGuilleraの公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{6(n+a)+1}{2^{2n}}\frac{\left(a+\frac 12\right)_n^3}{(a+1)_n^3}&=8a\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{(a+1)_n^2}
\end{align}
の$q$類似も知られているのかどうかについては今後調べていきたいところである.
類似の等式
冒頭で紹介したもののように二項係数の3乗が入った級数の類似として, 次のようなRamanujanの公式も知られている.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(42n+5)\binom{2n}n^3}{2^{12n}}&=\frac{16}{\pi}
\end{align}
Guilleraはこの一般化も示しており, それは
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{42(n+a)+5}{2^{6n}}\frac{\left(a+\frac 12\right)_n^3}{(a+1)_n^3}=32a\sum_{0\leq n}\frac{\left(a+\frac 12\right)_n^2}{(2a+1)_n^2}
\end{align}
となるようである. ここで, $a=\frac 12$とすると
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{42n+26}{2^{6n}}\frac{n!^3}{\left(\frac 32\right)_n^3}&=16\sum_{0\leq n}\frac 1{(n+1)^2}\\
&=\frac{8\pi^2}3
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{21n+13}{2^{6n}}\frac{n!^3}{\left(\frac 12\right)_{n+1}^3}&=\frac{32\pi^2}3
\end{align}
が得られる. $n\mapsto n-1$として, これは
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{21n-8}{n^3\binom{2n}n^3}&=\frac{\pi^2}6
\end{align}
と書くことができる. Ramanujanの公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(42n+5)\binom{2n}n^3}{2^{12n}}&=\frac{16}{\pi}
\end{align}
の方は$q$類似がChen-Chuによる2021年の論文で与えられており, それは
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(q;q^2)_n^6}{(q^2;q^2)_{2n}^3}q^{6n^2}\left(1-q^{6n+1}-\frac{q^{6n+1}(1-q^{6n+3})}{(1+q^{2n+1})^3}\right)&=\frac{(q;q^2)_{\infty}^2}{(q^2;q^2)_{\infty}^2}
\end{align}
というものである.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{21n-8}{n^3\binom{2n}n^3}&=\frac{\pi^2}6
\end{align}
の方についても$q$類似が知られているのかどうかについては今後調べていきたいところである.
