Gasper-Rahmanの二次変換公式3
前回の記事 でGasper-Rahmanの二次変換公式を示した. 今回はそれについて, 前回の記事で扱っていなかった特別な場合について述べる.
Terminatingな場合
\begin{align}
W(a;b_1,\dots,b_r;q;z):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{q;z}
\end{align}
とする.
前回の記事
の定理1
\begin{align}
&W(ac^2/b;c,ac/b,d,a^2c^2q/df,f,cq/b,cq^2/b;q^2;q^2)\\
&\qquad+\frac{(ac^2q^{2}/b,bf/ac^2,fq^2/d,df^2q/a^2c^2,d,a^2c^2q/df;q^2)_{\infty}(bf/c,cq/b;q)_{\infty}}{(ac^2q^{2}/bd,dfq/ab,ac^2/bf,bdf/ac^2,abq/d,bf^2q^2/ac^2;q^2)_{\infty}(ac,fq/ac;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot \frac{(1-c)(1-ac/b)}{(1-f/c)(1-bf/ac)}W(bf^2/ac^2;bdf/ac^2,abq/d,f,f/c,bf/ac,fq/ac,fq^2/ac;q^2;q^2)\\
&\qquad-\frac{(ac^2q^{2}/b,bf/ac^2,fq^2/d,df^2q/a^2c^2,d,a^2c^2q/df,f,q^2;q^2)_{\infty}}{(ac^2q^{2}/bd,dfq/ab,bdf/ac^2,abq/d,cq^2,acq^2/b,f/c,bf/ac;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\frac{(a,b,cq/b;q)_{\infty}}{(ac,fq/ac,ac/f;q)_{\infty}}\Q32{fq/ab,f/c,bf/ac}{fq^2/d,df^2q/a^2c^2}{q^2;q^2}\\
&=\frac{(ac^2q^{2}/b,fq/ab,abq,bf/ac^2;q^2)_{\infty}(acq/d,df/ac;q)_{\infty}}{(ac^2q^{2}/bd,dfq/ab,bdf/ac^2,abq/d;q^2)_{\infty}(acq,f/ac;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{3k}}{1-ac}\frac{(a,b,cq/b;q)_k(d,a^2c^2q/df,f;q^2)_k}{(cq^2,acq^2/b,abq;q^2)_k(acq/d,df/ac,acq/f;q)_k}q^{k}
\end{align}
において, $n$を非負整数として, $d=q^{-2n}$とすると
\begin{align}
&W(ac^2/b;c,ac/b,q^{-2n},a^2c^2q^{2n+1}/f,f,cq/b,cq^2/b;q^2;q^2)\\
&=\frac{(ac^2q^{2}/b,abq;q^2)_n(fq^{-2n}/ac;q)_{2n}}{(fq^{1-2n}/ab,bfq^{-2n}/ac^2;q^2)_n(acq;q)_{2n}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{3k}}{1-ac}\frac{(a,b,cq/b;q)_k(q^{-2n},a^2c^2q^{2n+1}/f,f;q^2)_k}{(cq^2,acq^2/b,abq;q^2)_k(acq^{2n+1},fq^{-2n}/ac,acq/f;q)_k}q^{k}
\end{align}
であるから
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{3k}}{1-ac}\frac{(a,b,cq/b;q)_k(q^{-2n},a^2c^2q^{2n+1}/f,f;q^2)_k}{(cq^2,acq^2/b,abq;q^2)_k(acq^{2n+1},fq^{-2n}/ac,acq/f;q)_k}q^{k}\\
&=\frac{(fq^{1-2n}/ab,bfq^{-2n}/ac^2;q^2)_n(acq;q)_{2n}}{(ac^2q^{2}/b,abq;q^2)_n(fq^{-2n}/ac;q)_{2n}}\\
&\qquad\cdot W(ac^2/b;c,ac/b,q^{-2n},a^2c^2q^{2n+1}/f,f,cq/b,cq^2/b;q^2;q^2)\\
&=\frac{(abq/f,ac^2q^2/bf;q^2)_n(acq;q)_{2n}}{(ac^2q^{2}/b,abq;q^2)_n(acq/f;q)_{2n}}\\
&\qquad\cdot W(ac^2/b;c,ac/b,q^{-2n},a^2c^2q^{2n+1}/f,f,cq/b,cq^2/b;q^2;q^2)
\end{align}
となる. つまり以下を得る.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-acq^{3k}}{1-ac}\frac{(a,b,cq/b;q)_k(q^{-2n},a^2c^2q^{2n+1}/f,f;q^2)_k}{(cq^2,acq^2/b,abq;q^2)_k(acq^{2n+1},fq^{-2n}/ac,acq/f;q)_k}q^{k}\\
&=\frac{(abq/f,ac^2q^2/bf;q^2)_n(acq;q)_{2n}}{(ac^2q^{2}/b,abq;q^2)_n(acq/f;q)_{2n}}\\
&\qquad\cdot W(ac^2/b;c,ac/b,q^{-2n},a^2c^2q^{2n+1}/f,f,cq/b,cq^2/b;q^2;q^2)
\end{align}
が成り立つ.
また, 前回の記事 の定理1において, $b=cq^{n+1}$とすると,
\begin{align}
&W(acq^{-n-1};c,aq^{-n-1},d,a^2c^2q/df,f,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2)\\
&=\frac{(acq^{1-n},fq^{-n}/ac,acq^{n+2},fq^{n+1}/ac;q^2)_{\infty}(acq/d,df/ac;q)_{\infty}}{(acq^{1-n}/d,dfq^{-n}/ac,dfq^{n+1}/ac,acq^{n+2}/d;q^2)_{\infty}(acq,f/ac;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{3k}}{1-ac}\frac{(a,cq^{n+1},q^{-n};q)_k(d,a^2c^2q/df,f;q^2)_k}{(cq^2,aq^{1-n},acq^{n+2};q^2)_k(acq/d,df/ac,acq/f;q)_k}q^{k}\\
&=\frac{(acq^{1-n},fq^{-n}/ac;q^2)_n(acq^{n+1},fq^n/ac;q)_{\infty}(acq/d,df/ac;q)_{\infty}}{(acq^{1-n}/d,dfq^{-n}/ac;q^2)_n(acq^{n+1}/d,dfq^{n}/ac;q)_{\infty}(acq,f/ac;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{3k}}{1-ac}\frac{(a,cq^{n+1},q^{-n};q)_k(d,a^2c^2q/df,f;q^2)_k}{(cq^2,aq^{1-n},acq^{n+2};q^2)_k(acq/d,df/ac,acq/f;q)_k}q^{k}\\
&=\frac{(acq^{1-n},fq^{-n}/ac;q^2)_n(acq/d,df/ac;q)_n}{(acq^{1-n}/d,dfq^{-n}/ac;q^2)_n(acq,f/ac;q)_n}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{3k}}{1-ac}\frac{(a,cq^{n+1},q^{-n};q)_k(d,a^2c^2q/df,f;q^2)_k}{(cq^2,aq^{1-n},acq^{n+2};q^2)_k(acq/d,df/ac,acq/f;q)_k}q^{k}
\end{align}
つまり以下が得られる.
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{1-acq^{3k}}{1-ac}\frac{(a,cq^{n+1},q^{-n};q)_k(d,a^2c^2q/df,f;q^2)_k}{(cq^2,aq^{1-n},acq^{n+2};q^2)_k(acq/d,df/ac,acq/f;q)_k}q^{k}\\ &=\frac{(acq^{1-n}/d,dfq^{-n}/ac;q^2)_n(acq,f/ac;q)_n}{(acq^{1-n},fq^{-n}/ac;q^2)_n(acq/d,df/ac;q)_n}\\ &\qquad\cdot W(acq^{-n-1};c,aq^{-n-1},d,a^2c^2q/df,f,q^{-n},q^{1-n};q^2;q^2) \end{align}
Gasper-Rahmanの論文においては, 右辺の係数が
\begin{align}
\frac{(acq^2/d,q/ac,acq/f,dfq/ac;q^2)_n}{(acq^2,fq/ac,dq/ac,acq/df;q^2)_n}
\end{align}
となっているが, それは誤りではないかと思われる. 実際, 数値的にも上の定理2の形が正しいようである.
Chuの和公式
定理1において, $f=ac$とすると,
Jacksonの和公式
より,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-acq^{3k}}{1-ac}\frac{(a,b,cq/b;q)_k(q^{-2n},acq^{2n+1},ac;q^2)_k}{(cq^2,acq^2/b,abq;q^2)_k(acq^{2n+1},q^{-2n},q;q)_k}q^{k}\\
&=\frac{(bq/c,cq^2/b;q^2)_n(acq;q)_{2n}}{(ac^2q^{2}/b,abq;q^2)_n(q;q)_{2n}}W(ac^2/b;c,ac/b,q^{-2n},acq^{2n+1},cq/b;q^2;q^2)\\
&=\frac{(bq/c,cq^2/b;q^2)_n(acq;q)_{2n}}{(ac^2q^{2}/b,abq;q^2)_n(q;q)_{2n}}\frac{(ac^2q^2/b,q^2,aq,bq;q^2)_n}{(acq^2/b,cq^2,acq,bq/c;q^2)_n}\\
&=\frac{(cq^2/b,acq^2,aq,bq;q^2)_n}{(abq,q,acq^2/b,cq^2;q^2)_n}
\end{align}
を得る. ここで, $c\mapsto c/a$とすると,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-cq^{3k}}{1-c}\frac{(a,b,cq/ab;q)_k(q^{-2n},cq^{2n+1},c;q^2)_k}{(cq^2/a,cq^2/b,abq;q^2)_k(cq^{2n+1},q^{-2n},q;q)_k}q^{k}\\
&=\frac{(cq^2/ab,cq^2,aq,bq;q^2)_n}{(abq,q,cq^2/a,cq^2/b;q^2)_n}
\end{align}
となる. 変数を付け替えて, 以下の和公式を得る.
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(b,c,aq/bc;q)_k(q^{-2n},aq^{2n+1},a;q^2)_k}{(aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_k(aq^{2n+1},q^{-2n},q;q)_k}q^{k}\\ &=\frac{(aq^2,bq,cq,aq^2/bc;q^2)_n}{(q,aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_n} \end{align}
Rahmanの和公式
特に, $n\to\infty$とすると以下の和公式を得る.
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-aq^{3k}}{1-a}\frac{(b,c,aq/bc;q)_k(a;q^2)_k}{(aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_k(q;q)_k}q^{\binom{k+1}2}\\ &=\frac{(aq^2,bq,cq,aq^2/bc;q^2)_{\infty}}{(q,aq^2/b,aq^2/c,bcq;q^2)_{\infty}} \end{align}
