Jacksonによるterminating q-Dixonの和公式
前回示した Sears-Carlitzの変換公式 を用いてJacksonによるterminating $q$-Dixonの和公式を示す.
\begin{align} \Q32{q^{-2n},b,c}{q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c}{\frac{q^{1-n}}{bc}}&=\frac{(b,c;q)_{n}(bc,q;q)_{2n}}{(bc,q;q)_n(b,c;q)_{2n}}q^{-n}\\ \Q32{q^{-2n},b,c}{q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c}{\frac{q^{2-n}}{bc}}&=\frac{(b,c;q)_{n}(bc,q;q)_{2n}}{(bc,q;q)_n(b,c;q)_{2n}}\\ \end{align}
$a=q^{-2n}$とする.
Sears-Carlitzの変換公式
より,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{aq/b,aq/c}{\frac{aq}{bc}x}&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^n\frac{(aq/bc;q)_k(a;q)_{2k}}{(aq/b,aq/c,ax,q/x,q;q)_k}q^k\\
&=\frac{(q/x;q)_{2n}}{(q/x)^{2n}q^{\binom{2n}2}}\sum_{k=0}^n\frac{(aq/bc;q)_k(a;q)_{2k}}{(aq/b,aq/c,ax,q/x,q;q)_k}q^k
\end{align}
より, $x\mapsto q^n$とすると, $k=n$の場合を除いて,
\begin{align}
\frac{(q/x;q)_{2n}}{(q/x;q)_k}\mapsto 0
\end{align}
であり,
\begin{align}
\lim_{x\to q^n}\frac{(q/x;q)_{2n}}{(q/x;q)_n}=(q;q)_n
\end{align}
だから,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{aq/b,aq/c}{\frac{aq^{n+1}}{bc}}&=\frac{(q;q)_n}{q^n}\frac{(q^{1-2n}/bc;q)_n(q^{-2n};q)_{2n}}{(q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c,q^{-n},q;q)_n}q^n\\
&=\frac{(q^{1-2n}/bc,q^{-2n};q)_n}{(q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c;q)_n}\\
&=\frac{(bcq^n,q^{n+1};q)_n}{(bq^n,cq^n;q)_n}q^{-n}\\
&=\frac{(b,c;q)_{n}(bc,q;q)_{2n}}{(bc,q;q)_n(b,c;q)_{2n}}q^{-n}
\end{align}
となって1つ目の式が示された. 次に,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{aq/b,aq/c}{\frac{aq}{bc}x}&=\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^n\frac{(aq/bc;q)_k(a;q)_{2k}}{(aq/b,aq/c,ax,q/x,q;q)_k}q^k
\end{align}
において$x\mapsto q^{n+1}$とすると, $k=n$の場合を除いて,
\begin{align}
\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\frac{1}{(ax,q/x;q)_k}\mapsto 0
\end{align}
であり,
\begin{align}
\lim_{x\to q^{n+1}}\frac{(ax;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\frac{1}{(ax,q/x;q)_n}&=\lim_{x\to q^{n+1}}\frac{(xq^{-n};q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(q/x;q)_n}\\
&=\frac{(q;q)_n}{(q^{-n};q)_n}
\end{align}
より,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{aq/b,aq/c}{\frac{aq^{n+2}}{bc}}&=\frac{(q;q)_n}{(q^{-n};q)_n}\frac{(q^{1-2n}/bc;q)_n(q^{-2n};q)_{2n}}{(q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c,q;q)_n}q^n\\
&=\frac{(q^{1-2n}/bc,q^{-2n};q)_n}{(q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c;q)_n}q^n\\
&=\frac{(bcq^n,q^{n+1};q)_n}{(bq^n,cq^n;q)_n}\\
&=\frac{(b,c;q)_{n}(bc,q;q)_{2n}}{(bc,q;q)_n(b,c;q)_{2n}}
\end{align}
となって2つ目の式も示される.
一般の場合のDixonの和公式
\begin{align}
\F32{a,b,c}{1+a-b,1+a-c}1&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(1+\frac a2-b-c\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}
\end{align}
の$q$類似としては,
Jacksonの和公式の記事
で導出した
\begin{align}
\Q43{a,-\sqrt aq,b,c}{-\sqrt a,aq/b,aq/c}{\frac{\sqrt aq}{bc}}&=\frac{(aq,\sqrt aq/b,\sqrt aq/c,aq/bc;q)_{\infty}}{(\sqrt aq,aq/b,aq/c,\sqrt aq/bc;q)_{\infty}}
\end{align}
というものがあるが, この式自体は${}_4\phi_3$であるので, ここから定理1はすぐには従わないと思われる.
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