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Jacksonによるterminating q-Dixonの和公式

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前回示した Sears-Carlitzの変換公式 を用いてJacksonによるterminating q-Dixonの和公式を示す.

terminating q-Dixonの和公式

3ϕ2[q2n,b,cq12n/b,q12n/c;q1nbc]=(b,c;q)n(bc,q;q)2n(bc,q;q)n(b,c;q)2nqn3ϕ2[q2n,b,cq12n/b,q12n/c;q2nbc]=(b,c;q)n(bc,q;q)2n(bc,q;q)n(b,c;q)2n

a=q2nとする. Sears-Carlitzの変換公式 より,
3ϕ2[a,b,caq/b,aq/c;aqbcx]=(ax;q)(x;q)k=0n(aq/bc;q)k(a;q)2k(aq/b,aq/c,ax,q/x,q;q)kqk=(q/x;q)2n(q/x)2nq(2n2)k=0n(aq/bc;q)k(a;q)2k(aq/b,aq/c,ax,q/x,q;q)kqk
より, xqnとすると, k=nの場合を除いて,
(q/x;q)2n(q/x;q)k0
であり,
limxqn(q/x;q)2n(q/x;q)n=(q;q)n
だから,
3ϕ2[a,b,caq/b,aq/c;aqn+1bc]=(q;q)nqn(q12n/bc;q)n(q2n;q)2n(q12n/b,q12n/c,qn,q;q)nqn=(q12n/bc,q2n;q)n(q12n/b,q12n/c;q)n=(bcqn,qn+1;q)n(bqn,cqn;q)nqn=(b,c;q)n(bc,q;q)2n(bc,q;q)n(b,c;q)2nqn
となって1つ目の式が示された. 次に,
3ϕ2[a,b,caq/b,aq/c;aqbcx]=(ax;q)(x;q)k=0n(aq/bc;q)k(a;q)2k(aq/b,aq/c,ax,q/x,q;q)kqk
においてxqn+1とすると, k=nの場合を除いて,
(ax;q)(x;q)1(ax,q/x;q)k0
であり,
limxqn+1(ax;q)(x;q)1(ax,q/x;q)n=limxqn+1(xqn;q)(x;q)(q/x;q)n=(q;q)n(qn;q)n
より,
3ϕ2[a,b,caq/b,aq/c;aqn+2bc]=(q;q)n(qn;q)n(q12n/bc;q)n(q2n;q)2n(q12n/b,q12n/c,q;q)nqn=(q12n/bc,q2n;q)n(q12n/b,q12n/c;q)nqn=(bcqn,qn+1;q)n(bqn,cqn;q)n=(b,c;q)n(bc,q;q)2n(bc,q;q)n(b,c;q)2n
となって2つ目の式も示される.

一般の場合のDixonの和公式
3F2[a,b,c1+ab,1+ac;1]=Γ(1+a2)Γ(1+ab)Γ(1+ac)Γ(1+a2bc)Γ(1+a)Γ(1+a2b)Γ(1+a2c)Γ(1+abc)
q類似としては, Jacksonの和公式の記事 で導出した
4ϕ3[a,aq,b,ca,aq/b,aq/c;aqbc]=(aq,aq/b,aq/c,aq/bc;q)(aq,aq/b,aq/c,aq/bc;q)
というものがあるが, この式自体は4ϕ3であるので, ここから定理1はすぐには従わないと思われる.

投稿日:202464
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Wataru
Wataru
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44098
超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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