Jacksonによるterminating q-Dixonの和公式

前回示した Sears-Carlitzの変換公式を用いてJacksonによるterminating $q$ -Dixonの和公式を示す.

terminating

q

-Dixonの和公式

$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} q^{- 2 n}, b, c \\ q^{1 - 2 n} / b, q^{1 - 2 n} / c \end{array}; \frac{q^{1 - n}}{b c}] & = \frac{(b, c; q)_{n} (b c, q; q)_{2 n}}{(b c, q; q)_{n} (b, c; q)_{2 n}} q^{- n} \\ _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} q^{- 2 n}, b, c \\ q^{1 - 2 n} / b, q^{1 - 2 n} / c \end{array}; \frac{q^{2 - n}}{b c}] & = \frac{(b, c; q)_{n} (b c, q; q)_{2 n}}{(b c, q; q)_{n} (b, c; q)_{2 n}} \end{aligned}$

$a = q^{- 2 n}$ とする. Sears-Carlitzの変換公式より,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ a q / b, a q / c \end{array}; \frac{a q}{b c} x] & = \frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a q / b c; q)_{k} (a; q)_{2 k}}{(a q / b, a q / c, a x, q / x, q; q)_{k}} q^{k} \\ = \frac{(q / x; q)_{2 n}}{(q / x)^{2 n} q^{(\binom{2 n}{2})}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a q / b c; q)_{k} (a; q)_{2 k}}{(a q / b, a q / c, a x, q / x, q; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
より, $x \mapsto q^{n}$ とすると, $k = n$ の場合を除いて,
$\begin{array}{r} \frac{(q / x; q)_{2 n}}{(q / x; q)_{k}} \mapsto 0 \end{array}$
であり,
$\begin{array}{r} lim_{x \to q^{n}} \frac{(q / x; q)_{2 n}}{(q / x; q)_{n}} = (q; q)_{n} \end{array}$
だから,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ a q / b, a q / c \end{array}; \frac{a q^{n + 1}}{b c}] & = \frac{(q; q)_{n}}{q^{n}} \frac{(q^{1 - 2 n} / b c; q)_{n} (q^{- 2 n}; q)_{2 n}}{(q^{1 - 2 n} / b, q^{1 - 2 n} / c, q^{- n}, q; q)_{n}} q^{n} \\ = \frac{(q^{1 - 2 n} / b c, q^{- 2 n}; q)_{n}}{(q^{1 - 2 n} / b, q^{1 - 2 n} / c; q)_{n}} \\ = \frac{(b c q^{n}, q^{n + 1}; q)_{n}}{(b q^{n}, c q^{n}; q)_{n}} q^{- n} \\ = \frac{(b, c; q)_{n} (b c, q; q)_{2 n}}{(b c, q; q)_{n} (b, c; q)_{2 n}} q^{- n} \end{aligned}$
となって1つ目の式が示された. 次に,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ a q / b, a q / c \end{array}; \frac{a q}{b c} x] & = \frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a q / b c; q)_{k} (a; q)_{2 k}}{(a q / b, a q / c, a x, q / x, q; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
において $x \mapsto q^{n + 1}$ とすると, $k = n$ の場合を除いて,
$\begin{array}{r} \frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} \frac{1}{(a x, q / x; q)_{k}} \mapsto 0 \end{array}$
であり,
$\begin{aligned} lim_{x \to q^{n + 1}} \frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} \frac{1}{(a x, q / x; q)_{n}} & = lim_{x \to q^{n + 1}} \frac{(x q^{- n}; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty} (q / x; q)_{n}} \\ = \frac{(q; q)_{n}}{(q^{- n}; q)_{n}} \end{aligned}$
より,
$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ a q / b, a q / c \end{array}; \frac{a q^{n + 2}}{b c}] & = \frac{(q; q)_{n}}{(q^{- n}; q)_{n}} \frac{(q^{1 - 2 n} / b c; q)_{n} (q^{- 2 n}; q)_{2 n}}{(q^{1 - 2 n} / b, q^{1 - 2 n} / c, q; q)_{n}} q^{n} \\ = \frac{(q^{1 - 2 n} / b c, q^{- 2 n}; q)_{n}}{(q^{1 - 2 n} / b, q^{1 - 2 n} / c; q)_{n}} q^{n} \\ = \frac{(b c q^{n}, q^{n + 1}; q)_{n}}{(b q^{n}, c q^{n}; q)_{n}} \\ = \frac{(b, c; q)_{n} (b c, q; q)_{2 n}}{(b c, q; q)_{n} (b, c; q)_{2 n}} \end{aligned}$
となって2つ目の式も示される.

一般の場合のDixonの和公式
$\begin{aligned} _{3} F_{2} [\begin{array}{c} a, b, c \\ 1 + a - b, 1 + a - c \end{array}; 1] & = \frac{Γ (1 + \frac{a}{2}) Γ (1 + a - b) Γ (1 + a - c) Γ (1 + \frac{a}{2} - b - c)}{Γ (1 + a) Γ (1 + \frac{a}{2} - b) Γ (1 + \frac{a}{2} - c) Γ (1 + a - b - c)} \end{aligned}$
の $q$ 類似としては, Jacksonの和公式の記事で導出した
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} a, - \sqrt{a} q, b, c \\ - \sqrt{a}, a q / b, a q / c \end{array}; \frac{\sqrt{a} q}{b c}] & = \frac{(a q, \sqrt{a} q / b, \sqrt{a} q / c, a q / b c; q)_{\infty}}{(\sqrt{a} q, a q / b, a q / c, \sqrt{a} q / b c; q)_{\infty}} \end{aligned}$
というものがあるが, この式自体は $_{4} ϕ_{3}$ であるので, ここから定理1はすぐには従わないと思われる.

投稿日：2024年6月4日

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Wataru

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