前回示した Sears-Carlitzの変換公式 を用いてJacksonによるterminating q-Dixonの和公式を示す.
3ϕ2[q−2n,b,cq1−2n/b,q1−2n/c;q1−nbc]=(b,c;q)n(bc,q;q)2n(bc,q;q)n(b,c;q)2nq−n3ϕ2[q−2n,b,cq1−2n/b,q1−2n/c;q2−nbc]=(b,c;q)n(bc,q;q)2n(bc,q;q)n(b,c;q)2n
a=q−2nとする. Sears-Carlitzの変換公式 より,3ϕ2[a,b,caq/b,aq/c;aqbcx]=(ax;q)∞(x;q)∞∑k=0n(aq/bc;q)k(a;q)2k(aq/b,aq/c,ax,q/x,q;q)kqk=(q/x;q)2n(q/x)2nq(2n2)∑k=0n(aq/bc;q)k(a;q)2k(aq/b,aq/c,ax,q/x,q;q)kqkより, x↦qnとすると, k=nの場合を除いて,(q/x;q)2n(q/x;q)k↦0であり,limx→qn(q/x;q)2n(q/x;q)n=(q;q)nだから,3ϕ2[a,b,caq/b,aq/c;aqn+1bc]=(q;q)nqn(q1−2n/bc;q)n(q−2n;q)2n(q1−2n/b,q1−2n/c,q−n,q;q)nqn=(q1−2n/bc,q−2n;q)n(q1−2n/b,q1−2n/c;q)n=(bcqn,qn+1;q)n(bqn,cqn;q)nq−n=(b,c;q)n(bc,q;q)2n(bc,q;q)n(b,c;q)2nq−nとなって1つ目の式が示された. 次に,3ϕ2[a,b,caq/b,aq/c;aqbcx]=(ax;q)∞(x;q)∞∑k=0n(aq/bc;q)k(a;q)2k(aq/b,aq/c,ax,q/x,q;q)kqkにおいてx↦qn+1とすると, k=nの場合を除いて,(ax;q)∞(x;q)∞1(ax,q/x;q)k↦0であり,limx→qn+1(ax;q)∞(x;q)∞1(ax,q/x;q)n=limx→qn+1(xq−n;q)∞(x;q)∞(q/x;q)n=(q;q)n(q−n;q)nより,3ϕ2[a,b,caq/b,aq/c;aqn+2bc]=(q;q)n(q−n;q)n(q1−2n/bc;q)n(q−2n;q)2n(q1−2n/b,q1−2n/c,q;q)nqn=(q1−2n/bc,q−2n;q)n(q1−2n/b,q1−2n/c;q)nqn=(bcqn,qn+1;q)n(bqn,cqn;q)n=(b,c;q)n(bc,q;q)2n(bc,q;q)n(b,c;q)2nとなって2つ目の式も示される.
一般の場合のDixonの和公式3F2[a,b,c1+a−b,1+a−c;1]=Γ(1+a2)Γ(1+a−b)Γ(1+a−c)Γ(1+a2−b−c)Γ(1+a)Γ(1+a2−b)Γ(1+a2−c)Γ(1+a−b−c)のq類似としては, Jacksonの和公式の記事 で導出した4ϕ3[a,−aq,b,c−a,aq/b,aq/c;aqbc]=(aq,aq/b,aq/c,aq/bc;q)∞(aq,aq/b,aq/c,aq/bc;q)∞というものがあるが, この式自体は4ϕ3であるので, ここから定理1はすぐには従わないと思われる.
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