多様体上の構造を群とその表現から理解する
ベクトル空間には構造に対応する群が存在します．例えば内積には直交群$\O(n)$が対応します．この関係は多様体に拡張でき，多様体上の"構造"には対応する群があります．例えば次の表のようになります．このことを理解するのにあたって要となるのは主束の理論です．
| 群 | 構造 |
|---|---|
| $\GL(n, \R)$ | なし |
| $\SL(n, \R)$ | 体積形式(向き) |
| $\O(n)$ | リーマン計量 |
| $\O(p, q)$ | 擬リーマン計量 |
| $\GL(m, \C)$ | 概複素構造 |
| $\U(n)$ | 概エルミート構造 |
- ベクトル束とその接続
- (主束とその接続)
主束
初めに主束に関する復習を簡単に行います．詳しいことは微分幾何の教科書を参考にしてください．
主$G$束
$G$をリー群，$P,M$を多様体とする．$\pi \colon P \to M$が構造群を$G$とする主$G$束であるとは以下を満たすことである．
- $\pi$は滑らかな全射．
- $P$に$G$が右から作用し，その作用はファイバー$P_x = \pi^{-1}(x)$を保つ．さらに$P_x$への$G$の右作用は自由かつ推移的である．
- $G$同変な局所自明化を持つ．すなわち,各点$x \in M$に対して開近傍$U$と微分同相
\begin{equation} \Phi_U \colon \pi^{-1}(U) \ni u \mapsto (\pi(u), \phi_U(u)) \in U \times G \end{equation}
で$\phi_U(ug) = \phi_U(u)g$を満たすものがある．
$M$を$n$次元多様体とし
\begin{equation}
\Fr(M) = \bigsqcup_{x \in M}\{(X_1, \cdots, X_n) \mid X_1, \cdots, X_n \text{は}T_xM\text{の基底}\}
\end{equation}
とする．$\Fr(M)$は然るべき位相と微分構造を入れることで多様体になり，自然な$\pi \colon \Fr(M) \to M$により主$\GL(n, \R)$束になる．実際，2つの基底同士は$\GL(n, \R)$の作用で移り合う．(詳細な確認は省略する)
ベクトル束には必ず大域的な切断が存在しますが，主束には大域的な切断は存在するとは限りません．実際，主束の場合は大域的な切断が存在することと自明束であることが同値です．局所的には切断は存在しますが，これは局所自明化が存在するということと同値です．
主$G$束は大雑把に言えばファイバーが$G$になっているようなファイバー束ですが，ファイバーには群構造が入っていないことに注意が必要です．
同伴ベクトル束
$\rho \colon G \to \GL(V)$をリー群$G$の表現とします．主$G$束$P$から$\rho$を用いて，ファイバーが$V$であるようなベクトル束を作ることができます．これを同伴ベクトル束といいます．
$P \times V$に対して$G$の右作用
\begin{equation}
(u, v) \cdot g = (ug, \rho(g)^{-1}v)
\end{equation}
を定めます．この作用による商はベクトル束になり，これを$P \times_{\rho} V$と表します．$P \times_{\rho} V$の元で$(u, v)$を代表元とするようなものを$[u, v]$と表します．定義から$[u, v] = [ug, \rho(g)^{-1}v]$です．
$\rho \colon \GL(n, \R) \to \GL(n, \R)$を自然表現(恒等写像)とする．フレーム束$\Fr(M)$と$\rho$から定まる同伴ベクトル束は接束$TM$と同型になります．実際次のように同型写像が作れます．
\begin{equation}
\Fr(M) \times_{\rho} \R^n \to TM, \quad [(X_1, \cdots, X_n), {}^t(a_1, \cdots, a_n)] \mapsto a_1X_1 + \cdots + a_nX_n
\end{equation}
主束の接続とその同伴ベクトル束に誘導される接続
主束の接続には接束$TP$の水平部分束を定める方法と微分形式を定める方法があり，この2つは同値な概念です．ここでは今回の議論に必要な微分形式の方のみを定義しておきます．
$\pi \colon P \to M$を主$G$束とする．$P$の接続形式とは$P$上の$\g$に値を取る1-form$\omega \in \Omega^1(P, \g) = \Omega^1(P) \otimes \g$であって次を満たすものである．
- 任意の$g \in G$に対して$r_g^{\ast}\omega = \Ad(g) \circ \omega$が成り立つ．ここで$r_g^{\ast}$は引き戻し，$\Ad$は随伴表現である．
- $X \in \g$とすると$\omega(X^{\ast}) = X$が成り立つ．ここで$X^{\ast}$は$X$から得られる基本ベクトル場
\begin{equation} X^{\ast}_u = \left.\dfrac{d}{dt}\right|_{t=0}u \cdot \exp(tX) \quad (u \in P) \end{equation}
である．
主束に接続$\omega$が定まっていると，同伴ベクトル束に接続が誘導されます．$s \colon M \to P \times_{\rho} V$を切断とし，小さい開集合$U \subset M$上で
\begin{equation}
s(x) = [u(x), v(x)] \quad (u \colon U \to P|_U,\, v \colon U \to V )
\end{equation}
と表されているとします．$P \times_{\rho} V$上の接続$\nabla$を
\begin{equation}
(\nabla_X s)(x) = [u(x), (Xv)(x) + \rho_{\ast}(\omega(u_{\ast}X))v(x)] \quad (\forall x \in M,\, \forall X \in T_xM)
\end{equation}
で定めます．ここで$Xv$は$v(x)$を$V$の適当な基底で展開し，その係数関数を$X$で微分するという意味です．つまり$e_1, \cdots, e_n \in V$を基底とし
\begin{equation}
v(x) = v_1(x)e_1 + \cdots + v_n(x)e_n \quad (v_i \colon U \to \R)
\end{equation}
に対して
\begin{equation}
(Xv)(x) = (Xv_1)(x)e_1 + \cdots + (Xv_n)(x)e_n \quad (v_i \colon U \to \R)
\end{equation}
ということです．これは基底の取り方に依らず，well-definedになります．またこの$\nabla$が接続の条件を満たすこともすぐにわかります．
ベクトル束からそのフレーム束に誘導される接続
$E \to M$をランク$r$のベクトル束とすると，$\Fr(M)$を構成した時と同じように各ファイバーの基底を集めてくることで$E$のフレーム束と呼ばれる主$\GL(r, \R)$束$\Fr(E)$が得られます．特に$\Fr(TM) = \Fr(M)$です．$e = (e_1, \cdots, e_n) \colon U \to \Fr(E)$を局所切断とすると$(e_1, \cdots, e_n)$は$E$の局所フレームです．$\nabla$を$E$の接続とすると，この局所フレームに関して
\begin{equation}
\nabla_{X}e_j = \sum_{i=1}^n (\omega_e)^i_j(X)e_i \quad (X \in \X(U))
\end{equation}
として$(\omega_e)^i_j$という$U$上の1-formが定義できます．これを行列の形に並べることで$\omega_e = [(\omega_e)^i_j]_{ij}$という$\mathfrak{gl}(n, \R)$に値を取る1-formが得られます．実は$\Fr(E)$上の接続形式$\omega \in \Omega^1(\Fr(E), \mathfrak{gl}(n, \R))$であって，任意の局所切断$e$に対して
\begin{equation}
e^\ast\omega = \omega_e
\end{equation}
となるものが存在します．このようにベクトル束の接続$\nabla$からフレーム束上の接続形式$\omega$が得られます．
$G$構造
一般論
$\Fr(M)$を$n$次元多様体$M$上のフレーム束(主$\GL(n,\R)$束)とし，$G$を$\GL(n, \R)$のLie部分群とします．主$G$部分束$P \subset \Fr(M)$のことを$M$の$G$構造といいます．つまり$G$構造とはフレーム束の部分集合でそれ自身が主$G$束になっているようなもののことです．もちろん$\GL(n, \R)$の任意のLie部分群$G$に対して$M$上の$G$構造が存在するわけではないです．初めに述べたように，$G$構造が存在することは多様体上に対応する構造が入ることを意味します(これについては次の節で具体例を通して見ていきます)．
$G$をLie群，$\pi \colon P \to M$を主$G$束とし，$\rho \colon G \to \GL(V)$を$G$の表現とする．ここで$V$は実(resp. 複素)ベクトル空間である．$E=P\times_{\rho}V$を同伴ベクトル束とする．$v \in V$が$G$の作用で不変であるとすると
\begin{equation}
s \colon M \to E, \quad s(x) = [u, v] \quad\quad (x \in M, \,\,u \in \pi^{-1}(x))
\end{equation}
で定義される$P$の切断は$u$の取り方に依らず，したがってwell-definedである．
任意の$u \in \pi^{-1}(x)$を1つ固定する．$\pi^{-1}(x)$の他の元は$g \in G$を用いて$ug$と表せる．$v \in V$が$G$の作用で不変であることから
\begin{equation}
[ug, v] = [u, g^{-1}v] = [u,v]
\end{equation}
となる．これは$s(x)$の定義が$u \in \pi^{-1}(x)$の取り方に依らないことを意味している．
さらに主束に接続がある場合には，同伴ベクトル束上に接続が誘導され，$s$はその接続に関して平行になる．
prop:InducedStructureOnVectorBundleの状況を考える．さらに$P$上に接続形式$\omega \in \Omega^1(P, \g)$が定まっているとし，$\omega$から$E$上に誘導される接続を$\nabla$とする．このときprop:InducedStructureOnVectorBundleで定めた$s \colon M \to E$は$\nabla s = 0$を満たす．
開集合$U \subset M$を十分小さく取れば$s$は$U$上で
\begin{equation}
s(x) = [u(x), v] \quad (u \colon U \to P|_U,\,\, x \in U)
\end{equation}
と表すことができる．したがって任意の接ベクトル$X \in T_xM$に対して
\begin{equation}
(\nabla_X s)(x) = [u(x), Xv + \rho_{\ast}(\omega(u_{\ast}X))v] = [u(x), 0] = 0
\end{equation}
となる．$M$の任意の点の近傍で以上の議論ができるので$\nabla s = 0$である．
具体例
上で示した命題が，$G$構造と多様体上の構造の関係を表しているということを具体例を通して見ていきます．以下の例において$e_1, \cdots, e_n \in \R^n$は標準基底とし$e^1, \cdots, e^n \in (\R^n)^{\ast}$をその双対基底とします．
体積形式
多様体$M$が$G = \SL(n, \R)$構造$P$を持つ場合を考えてみましょう．$V = \bigwedge^n (\R^n)^\ast$とします．$\rho$を自然な表現$G \curvearrowright V$とします．具体的書けば
\begin{equation}
\rho(g)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_n) \coloneqq (gv_1) \wedge \cdots \wedge (gv_n)
\end{equation}
ということです．いま$\omega \coloneqq e^1 \wedge \cdots \wedge e^n \in V$とすると任意の$g \in \SL(n, \R)$に対して
\begin{equation}
\rho(g)\omega = \det(g)(e^1 \wedge \cdots \wedge e^n) = \omega
\end{equation}
となるので，$\omega$は$\SL(n, \R)$の作用で不変です．したがって命題から$\omega$は$P \times_{\rho} V \cong \bigwedge^n(T^{\ast}M)$の切断$\tilde{\omega}$に拡張できます．つまり$M$は至る所消えない$n$-形式$\tilde{\omega}$を持ちます．これは$M$が向き付け可能であることを意味します．
計量
多様体が$G = \O(n)$構造$P$を持つ場合を考えてみましょう．$V = (\R^n)^\ast \otimes (\R^n)^\ast$とします．$\rho$を自然な表現$G \curvearrowright V$とします．具体的に書けば$s \in V$に対して
\begin{equation}
\rho(g)s = s(g^{-1} \,\cdot\,, g^{-1} \,\cdot\,)
\end{equation}
です．さて$g = e^1 \otimes e^1 + \cdots + e^n \otimes e^n \in V$としましょう．これは$\R^n$の標準内積です．したがって$g$は$\O(n)$の作用で不変ですからprop:InducedStructureOnVectorBundleより$P \times_{\rho} V \cong T^\ast M \otimes T^\ast M$の切断$\tilde{g}$に拡張できます．つまり$M$が$\O(n)$構造を持てば，そこから$M$のリーマン計量$\tilde{g}$が得られます．さらに$P$の接続$\omega \in \Omega^1(P, \g)$が定まっていたとすると，$\omega$から$T^\ast M \otimes T^\ast M$に誘導される接続$\nabla$に関して$\tilde{g}$は平行($\nabla \tilde{g} = 0$)です(prop:ParallelStructure)．これは別の表し方をすれば
\begin{equation}
X \tilde{g}(Y, Z) = \tilde{g}(\nabla_X Y, Z) + \tilde{g}(Y, \nabla_X Z) \quad (\forall X, Y, Z \in \X(M))
\end{equation}
が成り立つということです．
$G = \O(p, q)$のときは全く同様の議論により擬リーマン計量が得られます．
(概)複素構造
多様体の次元を$n = 2m$とし，$G = \GL(m, \C)$構造$P$を持つ場合を考えてみましょう．ここで$\GL(m, \C)$は
\begin{equation}
\GL(m, \C) \ni X + iY \mapsto \begin{pmatrix}X & -Y\\ Y & X\end{pmatrix} \in \GL(2m, \R)
\end{equation}
によって$\GL(2m, \R)$のLie部分群とみなしています．$V = \R^{2m} \otimes (\R^{2m})^\ast = \End(\R^{2m})$とします．$\rho$を自然な表現$G \curvearrowright V$とします．具体的に書けば$s \in V$に対して
\begin{equation}
(\rho(g)s)(A) = gs(g^{-1}A)
\end{equation}
です．さて$J \in V$を$\R^{2m}$の標準的な複素構造
\begin{equation}
J = \begin{pmatrix}0 & -I\\ I & 0\end{pmatrix} \quad (I\text{は単位行列})
\end{equation}
とすると$J$は任意の$g \in \GL(m, \C)$と可換です．よって$gJg^{-1} = J$が成り立つので$J$は$\GL(m,\C)$の作用で不変です．したがってprop:InducedStructureOnVectorBundleより$J$は$P \times_{\rho} V \cong TM \otimes T^{\ast}M$の切断$\tilde{J}$に拡張できます．定義から$\tilde{J}^2 = -1$ですから，これは$M$上の概複素構造です．$M$の接続$\nabla$から誘導される$\Fr(M)$上の接続が，$P$上では$\g$に値を取る1-formになっているならこれは$P$上に制限したときに$P$の接続になります．この$P$上の接続から得られる$TM \otimes T^{\ast}M$の接続は，$\nabla$から得られる$TM \otimes T^{\ast}M$の接続(これも同じ$\nabla$で表します)
\begin{equation}
(\nabla_X \tilde{J})(Y) = \nabla_X (\tilde{J}(Y)) - \tilde{J}(\nabla_X Y) \quad (X, Y \in \X(M))
\end{equation}
と一致します．prop:ParallelStructureより$\tilde{J}$は$\nabla$に関して平行なので左辺は0になり
\begin{equation}
\nabla_X (\tilde{J}(Y)) = \tilde{J}(\nabla_X Y) \quad (X, Y \in \X(M))
\end{equation}
が成り立ちます．もし$\nabla$がtorsion-free$\nabla_X Y- \nabla_Y X - [X, Y] = 0 \,\, (\forall X, Y \in \X(M))$ならこの$\tilde{J}$は可積分であり複素構造になります．
概エルミート構造(及びケーラー構造)
多様体の次元を$n = 2m$とし，$G = \U(m)$構造$P$を持つ場合を考えてみましょう．ここで$\U(m)$は
\begin{equation}
\U(m) = \SO(2m) \cap \GL(m, \C)
\end{equation}
によって$\GL(2m, \R)$のLie部分群とみなしています．まず$\U(m) \subset \GL(m, \C)$なのでさっきの議論から$J$は$\U(m)$の作用でも不変であり，$TM \otimes T^{\ast}M$の切断$\tilde{J}$に拡張できて概複素構造が得られます．また$\U(m) \subset \SO(m)$なのでこれもさっきの議論から$g$は$\U(m)$の作用で不変であり，$T^{\ast}M \otimes T^{\ast}M$の切断$\tilde{g}$に拡張できて計量が得られます．さらに
\begin{align*}
g(J\,\cdot\,, J\,\cdot\,) &= (e^1 \circ J) \otimes (e^1 \circ J) + \cdots + (e^{2m} \circ J) \otimes (e^{2m} \circ J)\\
&= e^{m+1} \otimes e^{m+1} + \cdots e^{2m} \otimes e^{2m} + e^1 \otimes e^1 + \cdots + e^m \otimes e^m\\
&= g(\,\cdot\,, \,\cdot\,)
\end{align*}
なので$g$は$J$を保つ．したがって多様体上へ拡張したときも$\tilde{g}$は$\tilde{J}$を保つ．つまり$(M, \tilde{g}, \tilde{J})$は概エルミート多様体です．
概複素構造のときと同じ議論で，$M$の接続$\nabla$から得られる$\Fr(M)$の接続を$P$に制限したときに$P$の接続になるならば$\tilde{g}, \tilde{J}$は$\nabla$に関して平行な構造になっています．特にLevi-Civita接続$\nabla$に対してこのことが成り立つとき$(M, \tilde{g}, \tilde{J})$をケーラー多様体といいます．
(おまけ) スピン構造
スピン群$\Spin(n)$に関する説明は
スピン群入門の入門
などをご覧ください．
$(M,g)$を向き付けられた$n$次元リーマン多様体とします．つまり$M$は$\SO(n)$構造を持ちます(これを$P_{\SO(n)}M$と表すことにします)具体的にはフレーム束$\Fr(M)$の元のうち，正の向きの正規直交基底からなるもので構成された部分束が$P_{\SO(n)}M$です．
\begin{equation}
P_{\SO(n)}M = \{(e_1, \cdots, e_n) \in \Fr(M) \mid (e_1, \cdots, e_n)\text{は正の向きの正規直交基底}\}
\end{equation}
主$\Spin(n)$束$P_{\Spin(n)}M$と$\theta \colon P_{\Spin(n)}M \to P_{\SO(n)}M$が存在して2重被覆$\xi \colon \Spin(n) \to \SO(n)$と両立するとき，この組$(P_{\Spin(n)}M, \theta)$を$M$のスピン構造といいます．$\theta$が2重被覆$\xi$と両立するとは
\begin{equation}
\theta(ug) = \theta(u)\xi(g) \quad (\forall u \in P_{\Spin(n)}M, \,\forall g \in \Spin(n))
\end{equation}
が成り立つことです．$\rho_n \colon \Spin(n) \to \GL(\Sigma_n) \,\, (\Sigma_n : \text{複素ベクトル空間})$をスピノール表現とすると$\Sigma M \coloneqq P_{\Spin(n)}M \times_{\rho_n} \Sigma_n$という複素ベクトル束が作れます．これをスピノール束といい，スピノール束の切断をスピノール場といいます．$\nabla$を$M$上のLevi-Civita接続(今回の議論のためにはtorsion-freeはなくても良い)とすると，$\nabla$から得られる$\Fr(M)$の接続は$P_{\SO(n)}M$上の接続$\omega$になります．$\xi_{\ast} \colon \spin(n) \to \so(n)$は同型でしたから$\omega$は$\xi_{\ast}$を通すことで$P_{\Spin(n)}M$上の接続$\tilde{\omega} \coloneqq \xi_{\ast} \circ \omega \in \Omega^1(P_{\Spin(n)}M, \spin(n))$になります．$\tilde{\omega}$からスピノール束$\Sigma M$上に接続が誘導されますが，この接続をスピン接続と言いこれも$\nabla$で表します．つまり$TM$の接続から下図のように経由することで$\Sigma M$へ接続を誘導しています．
\begin{xy} \xymatrix {& P_{\Spin(n)}M \ar[d] & P_{\SO(n)}M \ar[l]\\ & \Sigma M & TM \ar[u] } \end{xy}
prop:ParallelStructureよりスピノール束上にはスピン接続に関して平行な構造がいろいろ入ります．例えば$\Sigma_n$上には$\Spin(n)$不変なエルミート内積$h$が(定数倍を除いて)一意的に存在します．$\Spin(n)$不変性から$h$はスピノール束$\Sigma M$上に拡張できて，スピン接続に関して平行な構造になっています．
他にも，クリフォード積やクリフォード代数上のvolume formも$\Spin(n)$不変な構造なので束に持ち上がって平行な構造になることが全く同じ理由から従います．これらの詳しい定義などはスピン幾何の教科書などを参考にしてください．