保型形式入門：基本領域

　任意に$\gamma \in S{L}_2(\mathbb{R})$を取り$z^{\prime }=\gamma z=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$とおくと
$$y^{\prime }=\frac{y}{|cz+d{|}^2},d{z}^{\prime }=\frac{dz}{(cz+d{)}^2}(\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right))$$
から
$$\frac{d{z}^{\prime }\cdot d\overline{z^{\prime }}}{y^{\prime 2}}=\frac{|cz+d{|}^4}{y^2}\frac{dz}{(cz+d{)}^4}\cdot \frac{d\bar{z}}{(c\bar{z}+d{)}^2}=\frac{dz\cdot d\bar{z}}{y^2}$$
および同様に
$$\frac{d{z}^{\prime }\wedge d\overline{z^{\prime }}}{y^{\prime 2}}=\frac{dz\wedge d\bar{z}}{y^2}$$
が成り立つので
$$d{x}^2+d{y}^2=dz\cdot d\bar{z},dx\wedge dy=\frac{i}{2}dz\wedge d\bar{z}$$
に注意すると主張を得る。

　($\mathbb{H}$上の距離$d(z_1,z_2)$は通常の距離$|z_1-z_2|$と同じ位相を定めることから)
$\bar{\mathrm{\Omega }}=\{z\in \mathbb{H}\mid d(z,z_0)\le d(z,\gamma z_0),\mathrm{\forall }\gamma \in \mathrm{\Gamma }\}$
が成り立つことに注意する。

(i)について

　任意の$z_1\in \mathbb{H}$に対し
$C_r=\{z\in \mathbb{H}\mid d(z_1,z)\le r\}$
とおくと 前回の記事 の定理3から
$\{\gamma \in \mathrm{\Gamma }\mid \{\gamma z_0\}\cap C_r\ne \mathrm{\varnothing }\}=\{\gamma \in \mathrm{\Gamma }\mid d(z_1,\gamma z_0)\le r\}$
は有限集合となるので
${\displaystyle d(z_1,\sigma z_0)=\underset{\gamma \in \mathrm{\Gamma }}{min}d(z_1,\gamma z_0)}$
となるような$\sigma \in \mathrm{\Gamma }$が取れる。
　このとき$S{L}_2(\mathbb{R})$の作用に対する$ds$の不変性から
$$\begin{array}{rcl}d(z_1,\sigma z_0)& =& d({\sigma }^{-1}{z}_1,z_0)\\ & =& \underset{\gamma \in \mathrm{\Gamma }}{min}d({\sigma }^{-1}{z}_1,{\sigma }^{-1}\gamma z_0)=\underset{\gamma \in \mathrm{\Gamma }}{min}d({\sigma }^{-1}{z}_1,\gamma z_0)\end{array}$$
が成り立つので${\sigma }^{-1}{z}_1\in \bar{\mathrm{\Omega }}$つまり$z_1\in \sigma \bar{\mathrm{\Omega }}$を得る。

(ii)について

　ある$\gamma \in \mathrm{\Gamma }\setminus Z(\mathrm{\Gamma })$に対して$\gamma \mathrm{\Omega }\cap \mathrm{\Omega }\ne \mathrm{\varnothing }$が成り立つとすると、その任意の元$z$に対し
$$\begin{array}{rclrcl}d(z,z_0)& <& d(z,\gamma z_0)=d({\gamma }^{-1}z,z_0)& & & (\because z\in \mathrm{\Omega })\\ & <& d({\gamma }^{-1}z,{\gamma }^{-1}{z}_0)=d(z,z_0)& & & (\because {\gamma }^{-1}z\in \mathrm{\Omega })\end{array}$$
となって矛盾。よって任意の$\gamma \in \mathrm{\Gamma }\setminus Z(\mathrm{\Gamma })$に対して$\gamma \mathrm{\Omega }\cap \mathrm{\Omega }=\mathrm{\varnothing }$が成り立つ。