文献あり

保型形式入門：Fuchs群と固定点

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はじめに

　この記事では保型形式の基礎的な理論について解説してきます。
　保型形式の代表的な例として
$S L_{2} (Z) = {(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) ∣ a, b, c, d \in Z, a d - b c = 1}$
の作用に対して
$f (\frac{a z + b}{c z + d}) = (c z + d)^{k} f (z)$
という保型性を持つ関数ことモジュラー形式というものがよく知られています。
　このモジュラー形式については過去にも保型形式の基礎のキソ:モジュラー形式とモジュラー変換という記事で解説したことがありますが、今回は $S L_{2} (Z)$ よりも広い群に対する一般論について解説していきます。
　なおこの記事では参考文献[1]の内容を独断と偏見で掻い摘んで紹介していくので、より細かい理論については同書などを参照してください。

行列と一次分数変換

　環 $R$ に対し一般線形群、特殊線形群を
$\begin{array}{rcl} G L_{n} (R) & = & {A \in M_{n} (R) ∣ \det A \neq 0} \\ S L_{n} (R) & = & {A \in M_{n} (R) ∣ \det A = 1} \end{array}$
と定める( $M_{n} (R)$ は $R$ 成分の $n$ 次正方行列全体とした)。
　本記事においては基本的に $\det$ の固定された $S L$ を考えた方が便利であるが、一般論の見通しをよくするためしばしば $G L$ を考えることもある。

行列の作用と保型因子

　行列 $γ \in G L_{2} (C)$ と複素数 $z$ に対し $γ$ の $z$ への作用 $γ z$ と保型因子 $j (γ, z)$ を
$γ z = \frac{a z + b}{c z + d}, j (γ, z) = c z + d (γ = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}))$
と定める。これらは
$γ (\begin{matrix} z \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a z + b \\ c z + d \end{matrix}) = j (γ, z) (\begin{matrix} γ z \\ 1 \end{matrix})$
という関係によって定まるので $γ = γ_{1} γ_{2}$ の場合を二通りに計算することで
$γ_{1} γ_{2} (\begin{matrix} z \\ 1 \end{matrix}) = j (γ_{1} γ_{2}, z) (\begin{matrix} (γ_{1} γ_{2}) z \\ 1 \end{matrix}) = j (γ_{1}, γ_{2} z) j (γ_{2}, z) (\begin{matrix} γ_{1} (γ_{2} z) \\ 1 \end{matrix})$
つまり
$(γ_{1} γ_{2}) z = γ_{1} (γ_{2} z), j (γ_{1} γ_{2}, z) = j (γ_{1}, γ_{2} z) j (γ_{2}, z)$
という公式が得られる。

一次分数変換

　 $γ$ によって定まる写像 $\overset{―}{γ} : z \mapsto γ z$ のことを一次分数変換といい、 $γ^{- 1} (γ z) = z$ が成り立つことから $\overset{―}{γ}$ は $\hat{C} = C \cup {\infty}$ の自己同型となることがわかる( $z = \infty$ における正則性についてはここでは解説しない)。

自己同型

　複素領域 $U$ から $V$ への写像 $f$ が
・ $f$ は全単射
・ $f$ および $f^{- 1}$ は正則関数
を満たすとき、 $f$ は双正則写像であると言う。
　また複素領域 $D$ から $D$ 自身への双正則写像を(複素解析的な)自己同型と言い、 $D$ の自己同型全体を $Aut (D)$ と表す。これは写像の合成について群を成す。

　行列と一次分数変換の対応 $ι : γ \mapsto \overset{―}{γ}$ は群準同型をなす。特に $ι : S L_{2} (C) \to Aut (\hat{C})$ は全射であることが知られており、その核は ${\pm I}$ ( $I$ は単位行列)であることから同型
$Aut (\hat{C}) ≃ S L_{2} (C) / {\pm I}$
が得られる。

上半平面の自己同型

　また $γ \in G L_{2} (R)$ においては
$Im (γ z) = \frac{Im (z)}{| c z + d |^{2}} \det γ$
が成り立つので、各
$γ \in G L_{2}^{+} (R) := {A \in M_{2} (R) ∣ \det A > 0}$
に対応する一次分数変換 $\overset{―}{γ}$ は上半平面
$H := {z \in C ∣ Im (z) > 0}$
の自己同型となる。このときも $ι : S L_{2} (R) \to Aut (H)$ は全射となることが知られており、同型
$Aut (H) ≃ S L_{2} (R) / {\pm I}$
が得られる。

一次分数変換の分類

一次分数変換の型

　 $\overset{―}{γ} \neq id$ なる $γ \in G L_{2}^{+} (R)$ が
・ $tr (γ)^{2} < 4 \det γ$ を満たすとき、 $γ$ を楕円元
・ $tr (γ)^{2} = 4 \det γ$ を満たすとき、 $γ$ を放物元
・ $tr (γ)^{2} > 4 \det γ$ を満たすとき、 $γ$ を双曲元
と言い、対応する一次分数変換のことをそれぞれ楕円型変換、放物型変換、双曲型変換と言う。

　 $γ \in G L_{2}^{+} (R)$ に対し $γ$ が $\hat{C}$ において
・ある二点 $z, \overset{―}{z} (z \in H)$ のみを固定点に持つ $⟺ γ$ は楕円元
・ある一点 $x \in R \cup {\infty}$ のみを固定点に持つ $⟺ γ$ は放物元
・ある二点 $x, y \in R \cup {\infty}$ のみを固定点に持つ $⟺ γ$ は双曲元
が成り立つ。

　 $γ = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ とおく。

$c = 0$ のとき、 $\det γ = a d$ および $γ z = (a z + b) / d$ より
- $a = d$ ならば、 $γ$ は放物元であり、 $γ$ は $z = \infty$ のみを固定点に持つ。
- $a \neq d$ ならば、 $γ$ は双曲元であり、 $γ$ は $z = \infty, b / (a - d)$ のみを固定点に持つ。
$c \neq 0$ のとき、 $γ$ の固定点は二次方程式
$c z^{2} + (d - a) z - b = 0$
によって定まるので、この判別式は $tr (γ)^{2} - 4 \det γ$ となることに注意すると主張を得る。

　 $γ \in S L_{2} (R)$ に対しある $σ \in S L_{2} (R)$ が存在して以下が成り立つ。

$γ$ が楕円元 $⟺ σ γ σ^{- 1} = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (0 \leq θ < 2 π)$
$γ$ が放物元 $⟺ σ γ σ^{- 1} = \pm (\begin{matrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix}) (b \neq 0)$
$γ$ が双曲元 $⟺ σ γ σ^{- 1} = (\begin{matrix} u & 0 \\ 0 & u^{- 1} \end{matrix}) (u \neq \pm 1)$

　 $γ$ が楕円元のとき、その固定点の一方を $z = x + i y \in H$ とすると $σ z = i$ なる $σ \in S L_{2} (R)$ が取れるので $σ γ σ^{- 1}$ は $i$ を固定する楕円元となる。
　 $γ$ が放物元のとき、その固定点を $x$ とすると $σ x = \infty$ なる $σ \in S L_{2} (R)$ が取れるので $σ γ σ^{- 1}$ は $\infty$ を固定する放物元となる。
　 $γ$ が双曲元のとき、その固定点を $x, y$ とすると $σ x = 0, σ y = \infty$ なる $σ \in S L_{2} (R)$ が取れるので $σ γ σ^{- 1}$ は $0, \infty$ を固定する双曲元となる。
　あとはそれぞれの $σ γ σ^{- 1}$ の各成分が満たすべき条件を考えることで主張を得られる。

Fuchs群と固定点

　 $S L_{2} (R)$ には $R^{2 \times 2}$ の部分空間としての位相が備わっていることに注意する。

　 $S L_{2} (R)$ の離散部分群 $Γ$ のことをFuchs群という。
　また $z \in H \cup R \cup {\infty}$ がFuchs群 $Γ$ のある楕円元、放物元、双曲元の固定点であるとき、それぞれ $z$ は $Γ$ の楕円点、尖点、双曲点という(ちなみに尖点はカスプ(cusp)と呼ばれることが多い)。

　特に解説はしないが $S L_{2} (R)$ の離散部分群を考えるモチベーションとして次のような特徴付けがある。

　 $S L_{2} (R)$ の部分群 $G$ に対し次の(i),(ii),(iii)は同値である。

$G$ は $S L_{2} (R)$ の離散部分群である。
任意の $x, y \in H$ に対しそれぞれの近傍 $U, V$ であって
${γ \in G ∣ γ U \cap V \neq \emptyset}$
が有限集合となるようなものが存在する。
(このことを「 $G$ は $H$ に不連続に作用する」と言う)
$H$ の任意のコンパクト集合 $A, B$ に対し
${γ \in G ∣ γ A \cap B \neq \emptyset}$
は有限集合となる。

固定部分群の性質

　以下Fuchs群 $Γ$ に対し
$Z (Γ) = Γ \cap {\pm I}, Γ_{z} = {γ \in Γ ∣ γ z = z}$
とおく。

　Fuchs群 $Γ$ において尖点かつ双曲点となるような $x \in R \cup {\infty}$ は存在しない。

　 $Γ$ の尖点 $x$ に対し $σ x = \infty$ なる $σ \in S L_{2} (R)$ を取ると、 $σ Γ_{x} σ^{- 1}$ はFuchs群 $Γ^{'} = σ Γ σ^{- 1}$ における $\infty$ の固定部分群となっているので、 $Γ^{'}$ を再び $Γ$ とおくことで $x = \infty$ としてよい。
　いま $Γ_{\infty}$ がある双曲元 $α$ を持ったとすると
$α = (\begin{matrix} a & b \\ 0 & a^{- 1} \end{matrix}) (a \neq \pm 1)$
と表せるが、任意に放物元 $γ \in Γ_{\infty}$ を取り
$γ = \pm (\begin{matrix} 1 & l \\ 0 & 1 \end{matrix}) (l \neq 0)$
とおくと
$α^{n} γ^{2} α^{- n} = (\begin{matrix} 1 & 2 l a^{2 n} \\ 0 & 1 \end{matrix}) \in Γ (n \in Z)$
より $Γ$ は $I$ を集積点に持つことになり、離散集合であったことに矛盾。よって主張を得る。

　 $R$ の加法についての離散部分群は $α Z (α \in R)$ と表せるものに限る。

　 $R$ の離散部分群 $G \neq {0}$ に対し
$α = inf {x \in G ∣ x > 0}$
とおくと、 $G$ は離散であったので
$α = min {x \in G ∣ x > 0} \in G$
が成り立つ。
　いま $G ∖ α Z$ が空でなければ、 $β \in G ∖ α Z$ に対しある $k \in Z$ が存在し
$| β - α k | < α$ かつ $β - α k \in G$
が成り立つのでこれは $α$ の最小性に反する。よって主張を得る。

　 $Γ$ の固定点に対し以下が成り立つ。

$z$ が楕円点のとき、 $Γ_{x}$ は有限巡回群となる。
(楕円点 $z$ に対しこの位数 $| Γ_{x} / Z (Γ) |$ のことを $z$ の位数という。)
$x$ が尖点のとき、 $Γ_{x} / Z (Γ) ≃ Z$ が成り立つ。
特にある $σ \in S L_{2} (R)$ および $h > 0$ が存在し
$σ Γ_{x} σ^{- 1} \cdot {\pm I} = {\pm (\begin{matrix} 1 & n h \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∣ n \in Z}$
が成り立つ。

$z$ が楕円点のとき

　 $σ z = i$ なる $σ \in S L_{2} (R)$ を取ると $σ Γ_{z} σ^{- 1}$ は有界集合
${(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) ∣ 0 \leq θ < 2 π}$
の離散部分集合となるので有限集合となる(そうでなければ有界性より集積点を持つことになり矛盾)。
　また $Γ_{z}$ の元を $\cos θ + i \sin θ \in C$ に対応させることで $Γ_{z}$ は $C^{\times}$ の有限部分群とみなせるので巡回群であることがわかる(一般に体 $K$ の乗法についての有限部分群は巡回群となることが知られている)。

$x$ が尖点のとき

　 $σ x = \infty$ なる $σ \in S L_{2} (R)$ を取ると $σ Γ_{x} σ^{- 1}$ は
${\pm (\begin{matrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∣ b \in R}$
の部分群となるので、 $Γ_{x}$ の元を $b \in R$ に対応させることである $h > 0$ が存在して同型
$Γ_{x} / Z (Γ) ≃ h Z$
が得られる。

　 $\infty$ を尖点に持つFuchs群 $Γ$ が $- I$ を含んでいれば $- I \in Γ_{\infty}$ より
$Γ_{\infty} = {\pm (\begin{matrix} 1 & n h \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∣ n \in Z} = ⟨ (\begin{matrix} 1 & h \\ 0 & 1 \end{matrix}), - I ⟩$
が成り立つが、 $- I \notin Γ$ であれば
$Γ_{\infty} = ⟨ (\begin{matrix} 1 & h \\ 0 & 1 \end{matrix}) ⟩$ または $Γ_{\infty} = ⟨ (\begin{matrix} - 1 & h \\ 0 & - 1 \end{matrix}) ⟩$
となる。この符号によって尖点は2つの場合に分類することができる。

　 $- I \notin Γ$ なるFuchs群 $Γ$ において、上の命題のような $σ \in S L_{2} (R), h > 0$ に対し
$σ Γ_{x} σ^{- 1} = ⟨ (\begin{matrix} 1 & h \\ 0 & 1 \end{matrix}) ⟩, ⟨ (\begin{matrix} - 1 & h \\ 0 & - 1 \end{matrix}) ⟩$
となるような $Γ$ の尖点 $x$ のことをそれぞれ正則な尖点、非正則な尖点という。

モジュラー群

　Fuchs群の中でも代表的なものとして冒頭に挙げた $S L_{2} (Z)$ やその部分群
$Γ (N) = {(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in S L_{2} (Z) ∣ (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\mod N)}$
といったものがある( $Γ (N)$ はレベル $N$ の主合同部分群と呼ばれる)。

　 $Γ^{'}$ をFuchs群 $Γ$ の指数有限な部分群とすると、 $Γ$ と $Γ^{'}$ は同じ尖点を持つ。

　 $Γ$ の尖点が $Γ^{'}$ の尖点となることを示せばよい。
　いま $x$ を $Γ$ の尖点であって、 $Γ^{'}$ の尖点ではないものとすると
$Γ_{x}^{'} = Γ^{'} \cap {\pm I}$
より $Γ_{x}$ における $Γ_{x}^{'}$ の指数は
$[Γ_{x} : Γ_{x}^{'}] = \infty$
となるが、仮定より
$[Γ_{x} : Γ_{x}^{'}] = [Γ_{x} : Γ^{'} \cap Γ_{x}] \leq [Γ : Γ^{'}] < \infty$
となって矛盾。よって主張を得る。

　この命題から $Γ (N)$ は次のような特徴を持つことがわかる。

　 $Γ (N)$ の尖点は $Q \cup {\infty}$ で尽くされる。
　また $N \geq 3$ のとき、任意の $x \in Q \cup {\infty}$ に対しある $σ \in S L_{2} (Z)$ が存在して
$σ Γ (N)_{x} σ^{- 1} = {(\begin{matrix} 1 & N n \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∣ n \in Z}$
が成り立つ。特に $Γ (N)$ の尖点は全て正則である。

　自然な準同型 $S L_{2} (Z) \to S L_{2} (Z / N Z)$ の核が $Γ (N)$ となることから $S L_{2} (Z) / Γ (N)$ は有限群となる。また $S L_{2} (Z)$ の尖点は $Q \cup {\infty}$ で尽くされるので $Γ (N)$ の尖点も $Q \cup {\infty}$ で尽くされることがわかる。
　また $Γ (N)$ は $S L_{2} (Z)$ の正規部分群であることに注意すると、任意の $x \in R \cup {\infty}$ に対して $σ x = \infty$ なる $σ \in S L_{2} (Z)$ を取ると $σ Γ (N)_{x} σ^{- 1}$ は $σ Γ (N) σ^{- 1} = Γ (N)$ における $\infty$ の固定部分群、つまり
$σ Γ (N)_{x} σ^{- 1} = Γ (N)_{\infty} = {(\begin{matrix} 1 & N n \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∣ n \in Z}$
となる。

参考文献

[1]

土井公二, 三宅敏恒, 保型形式と整数論, 紀伊國屋書店, 1973

投稿日：2023年6月28日

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子葉

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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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子葉

保型形式入門：Fuchs群と固定点

はじめに
行列と一次分数変換
一次分数変換の分類
Fuchs群と固定点
固定部分群の性質
モジュラー群
参考文献

保型形式入門：Fuchs群と固定点

はじめに

行列と一次分数変換

行列の作用と保型因子

一次分数変換

上半平面の自己同型

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固定部分群の性質

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