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大学数学基礎解説
文献あり

保型形式入門:Fuchs群と固定点

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はじめに

 この記事では保型形式の基礎的な理論について解説してきます。
 保型形式の代表的な例として
SL2(Z)={(abcd)a,b,c,dZ,adbc=1}
の作用に対して
f(az+bcz+d)=(cz+d)kf(z)
という保型性を持つ関数ことモジュラー形式というものがよく知られています。
 このモジュラー形式については過去にも 保型形式の基礎のキソ:モジュラー形式とモジュラー変換 という記事で解説したことがありますが、今回はSL2(Z)よりも広い群に対する一般論について解説していきます。
 なおこの記事では参考文献[1]の内容を独断と偏見で掻い摘んで紹介していくので、より細かい理論については同書などを参照してください。

行列と一次分数変換

 環Rに対し一般線形群、特殊線形群を
GLn(R)={AMn(R)detA0}SLn(R)={AMn(R)detA=1}
と定める(Mn(R)R成分のn次正方行列全体とした)。
 本記事においては基本的にdetの固定されたSLを考えた方が便利であるが、一般論の見通しをよくするためしばしばGLを考えることもある。

行列の作用と保型因子

 行列γGL2(C)と複素数zに対しγzへの作用γzと保型因子j(γ,z)
γz=az+bcz+d,j(γ,z)=cz+d(γ=(abcd))
と定める。これらは
γ(z1)=(az+bcz+d)=j(γ,z)(γz1)
という関係によって定まるのでγ=γ1γ2の場合を二通りに計算することで
γ1γ2(z1)=j(γ1γ2,z)((γ1γ2)z1)=j(γ1,γ2z)j(γ2,z)(γ1(γ2z)1)
つまり
(γ1γ2)z=γ1(γ2z),j(γ1γ2,z)=j(γ1,γ2z)j(γ2,z)
という公式が得られる。

一次分数変換

 γによって定まる写像γ:zγzのことを一次分数変換といい、γ1(γz)=zが成り立つことからγC^=C{}の自己同型となることがわかる(z=における正則性についてはここでは解説しない)。

自己同型

 複素領域UからVへの写像f
fは全単射
fおよびf1は正則関数
を満たすとき、f双正則写像であると言う。
 また複素領域DからD自身への双正則写像を(複素解析的な)自己同型と言い、Dの自己同型全体をAut(D)と表す。これは写像の合成について群を成す。

 行列と一次分数変換の対応ι:γγは群準同型をなす。特にι:SL2(C)Aut(C^)は全射であることが知られており、その核は{±I}(Iは単位行列)であることから同型
Aut(C^)SL2(C)/{±I}
が得られる。

上半平面の自己同型

 またγGL2(R)においては
Im(γz)=Im(z)|cz+d|2detγ
が成り立つので、各
γGL2+(R):={AM2(R)detA>0}
に対応する一次分数変換γは上半平面
H:={zCIm(z)>0}
の自己同型となる。このときもι:SL2(R)Aut(H)は全射となることが知られており、同型
Aut(H)SL2(R)/{±I}
が得られる。

一次分数変換の分類

一次分数変換の型

 γidなるγGL2+(R)
tr(γ)2<4detγを満たすとき、γ楕円元
tr(γ)2=4detγを満たすとき、γ放物元
tr(γ)2>4detγを満たすとき、γ双曲元
と言い、対応する一次分数変換のことをそれぞれ楕円型変換、放物型変換、双曲型変換と言う。

 γGL2+(R)に対しγC^において
・ある二点z,z(zH)のみを固定点に持つγは楕円元
・ある一点xR{}のみを固定点に持つγは放物元
・ある二点x,yR{}のみを固定点に持つγは双曲元
が成り立つ。

 γ=(abcd)とおく。

  • c=0のとき、detγ=adおよびγz=(az+b)/dより
    • a=dならば、γは放物元であり、γz=のみを固定点に持つ。
    • adならば、γは双曲元であり、γz=,b/(ad)のみを固定点に持つ。
  • c0のとき、γの固定点は二次方程式
    cz2+(da)zb=0
    によって定まるので、この判別式はtr(γ)24detγとなることに注意すると主張を得る。

 γSL2(R)に対しあるσSL2(R)が存在して以下が成り立つ。

  • γが楕円元σγσ1=(cosθsinθsinθcosθ)(0θ<2π)
  • γが放物元σγσ1=±(1b01)(b0)
  • γが双曲元σγσ1=(u00u1)(u±1)

 γが楕円元のとき、その固定点の一方をz=x+iyHとするとσz=iなるσSL2(R)が取れるのでσγσ1iを固定する楕円元となる。
 γが放物元のとき、その固定点をxとするとσx=なるσSL2(R)が取れるのでσγσ1を固定する放物元となる。
 γが双曲元のとき、その固定点をx,yとするとσx=0,σy=なるσSL2(R)が取れるのでσγσ10,を固定する双曲元となる。
 あとはそれぞれのσγσ1の各成分が満たすべき条件を考えることで主張を得られる。

Fuchs群と固定点

 SL2(R)にはR2×2の部分空間としての位相が備わっていることに注意する。

 SL2(R)の離散部分群ΓのことをFuchs群という。
 またzHR{}がFuchs群Γのある楕円元、放物元、双曲元の固定点であるとき、それぞれzΓ楕円点尖点双曲点という(ちなみに尖点はカスプ(cusp)と呼ばれることが多い)。

 特に解説はしないがSL2(R)の離散部分群を考えるモチベーションとして次のような特徴付けがある。

 SL2(R)の部分群Gに対し次の(i),(ii),(iii)は同値である。

  1. GSL2(R)の離散部分群である。
  2. 任意のx,yHに対しそれぞれの近傍U,Vであって
    {γGγUV}
    が有限集合となるようなものが存在する。
    (このことを「GH不連続に作用する」と言う)
  3. Hの任意のコンパクト集合A,Bに対し
    {γGγAB}
    は有限集合となる。

固定部分群の性質

 以下Fuchs群Γに対し
Z(Γ)=Γ{±I},Γz={γΓγz=z}
とおく。

 Fuchs群Γにおいて尖点かつ双曲点となるようなxR{}は存在しない。

 Γの尖点xに対しσx=なるσSL2(R)を取ると、σΓxσ1はFuchs群Γ=σΓσ1におけるの固定部分群となっているので、Γを再びΓとおくことでx=としてよい。
 いまΓがある双曲元αを持ったとすると
α=(ab0a1)(a±1)
と表せるが、任意に放物元γΓを取り
γ=±(1l01)(l0)
とおくと
αnγ2αn=(12la2n01)Γ(nZ)
よりΓIを集積点に持つことになり、離散集合であったことに矛盾。よって主張を得る。

 Rの加法についての離散部分群はαZ(αR)と表せるものに限る。

 Rの離散部分群G{0}に対し
α=inf{xGx>0}
とおくと、Gは離散であったので
α=min{xGx>0}G
が成り立つ。
 いまGαZが空でなければ、βGαZに対しあるkZが存在し
|βαk|<αかつβαkG
が成り立つのでこれはαの最小性に反する。よって主張を得る。

 Γの固定点に対し以下が成り立つ。

  • zが楕円点のとき、Γxは有限巡回群となる。
    (楕円点zに対しこの位数|Γx/Z(Γ)|のことをz位数という。)
  • xが尖点のとき、Γx/Z(Γ)Zが成り立つ。
    特にあるσSL2(R)およびh>0が存在し
    σΓxσ1{±I}={±(1nh01)nZ}
    が成り立つ。

zが楕円点のとき

 σz=iなるσSL2(R)を取るとσΓzσ1は有界集合
{(cosθsinθsinθcosθ)0θ<2π}
の離散部分集合となるので有限集合となる(そうでなければ有界性より集積点を持つことになり矛盾)。
 またΓzの元をcosθ+isinθCに対応させることでΓzC×の有限部分群とみなせるので巡回群であることがわかる(一般に体Kの乗法についての有限部分群は巡回群となることが知られている)。

xが尖点のとき

 σx=なるσSL2(R)を取るとσΓxσ1
{±(1b01)bR}
の部分群となるので、Γxの元をbRに対応させることであるh>0が存在して同型
Γx/Z(Γ)hZ
が得られる。

 を尖点に持つFuchs群ΓIを含んでいればIΓより
Γ={±(1nh01)nZ}=(1h01),I
が成り立つが、IΓであれば
Γ=(1h01)またはΓ=(1h01)
となる。この符号によって尖点は2つの場合に分類することができる。

 IΓなるFuchs群Γにおいて、上の命題のようなσSL2(R),h>0に対し
σΓxσ1=(1h01),(1h01)
となるようなΓの尖点xのことをそれぞれ正則な尖点非正則な尖点という。

モジュラー群

 Fuchs群の中でも代表的なものとして冒頭に挙げたSL2(Z)やその部分群
Γ(N)={(abcd)SL2(Z)(abcd)(1001)(modN)}
といったものがある(Γ(N)はレベルNの主合同部分群と呼ばれる)。

 ΓをFuchs群Γの指数有限な部分群とすると、ΓΓは同じ尖点を持つ。

 Γの尖点がΓの尖点となることを示せばよい。
 いまxΓの尖点であって、Γの尖点ではないものとすると
Γx=Γ{±I}
よりΓxにおけるΓxの指数は
[Γx:Γx]=
となるが、仮定より
[Γx:Γx]=[Γx:ΓΓx][Γ:Γ]<
となって矛盾。よって主張を得る。

 この命題からΓ(N)は次のような特徴を持つことがわかる。

 Γ(N)の尖点はQ{}で尽くされる。
 またN3のとき、任意のxQ{}に対しあるσSL2(Z)が存在して
σΓ(N)xσ1={(1Nn01)nZ}
が成り立つ。特にΓ(N)の尖点は全て正則である。

 自然な準同型SL2(Z)SL2(Z/NZ)の核がΓ(N)となることからSL2(Z)/Γ(N)は有限群となる。またSL2(Z)の尖点はQ{}で尽くされるのでΓ(N)の尖点もQ{}で尽くされることがわかる。
 またΓ(N)SL2(Z)の正規部分群であることに注意すると、任意のxR{}に対してσx=なるσSL2(Z)を取るとσΓ(N)xσ1σΓ(N)σ1=Γ(N)におけるの固定部分群、つまり
σΓ(N)xσ1=Γ(N)={(1Nn01)nZ}
となる。

参考文献

[1]
土井公二, 三宅敏恒, 保型形式と整数論, 紀伊國屋書店, 1973
投稿日:2023628
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子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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  3. 一次分数変換の分類
  4. Fuchs群と固定点
  5. 固定部分群の性質
  6. モジュラー群
  7. 参考文献