放物線上を跳ねる物体とフィボナッチ数

\begin{align} y&=-\frac12t^2+v_0t+y_0\\ &=-\frac12\l(\frac{x-x_0}{u_0}\r)^2+v_0\c\frac{x-x_0}{u_0}+y_0 \end{align}
より最高次の係数を比較することで
$$-\frac1{2u_0^2}=a$$
がわかる。したがって
\begin{align} u&=u_0=\frac1{\sqrt{-2a}}\\ v&=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt} =\frac{2ax+b}{\sqrt{-2a}} \end{align}
を得る。

　上の結果から
\begin{align} E&=\frac{u^2+v^2}2+y\\ &=\frac{1+(2ax+b)^2}{-4a}+(ax^2+bx+c)\\ &=-\frac{b^2-4ac+1}{4a} \end{align}
とわかる。

　ボールが$y=-x^2$と位置$(p,-p^2)$において衝突したとする。このとき三つの放物線
\begin{align} y&=-x^2\\ y&=ax^2+bx+c\\ y&=a'x^2+b'x+c' \end{align}
の接ベクトル
$$(1,-2p),\ (1,2ap+b),\ (1,2a'p+b')$$
のなす角を考えると
$$(1,-2p)\c\frac{(1,2ap+b)}{\sqrt{1+(2ap+b)^2}} =(1,-2p)\c\frac{(1,2a'p+b')}{\sqrt{1+(2a'p+b')^2}}$$
が成り立たなければならない。
　また位置$(p,-p^2)$における力学的エネルギーを考えると
\begin{align} E+p^2 &=\frac{u^2+v^2}2=\frac{1+(2ap+b)^2}{-4a}\\ &=\frac{u'^2+v'^2}2=\frac{1+(2a'p+b')^2}{-4a'} \end{align}
が成り立つので結局
$$\frac{1-2p(2ap+b)}{\sqrt{-4a}}=\frac{1-2p(2a'p+b')}{\sqrt{-4a'}}$$
を得る。
　これを二乗すると
$$\frac{1-4p(2ap+b)+4p^2(2ap+b)^2}{-4a} =\frac{4bp+4p^2-1}{4a}+2p^2+4p^2(E+p^2)$$
が成り立つので
$$\frac{4bp+4p^2-1}{4a}=\frac{4b'p+4p^2-1}{4a'}$$
つまり
$$-\frac{ab'-a'b}{a-a'}p=p^2-\frac14$$
を得る。
　ここで
\begin{align} -p^2&=ap^2+bp+cp\\ &=a'p^2+b'p+c'p \end{align}
より
$$-(a-a')p^2=(ab'-a'b)p+(ac'-a'c)$$
が成り立つことに注意すると
$$\frac{ac'-a'c}{a-a'} =-\frac{ab'-a'b}{a-a'}p-p^2=-\frac14$$
を得る。

$$f(x)=ax^2+bx+c$$
とおくと二点$(p,f(p)),(q,f(q))$を通る直線の方程式は
\begin{align} y&=\frac{f(p)-f(q)}{p-q}(x-q)+f(q)\\ &=\frac{f(p)-f(q)}{p-q}x-\frac{f(p)q-pf(q)}{p-q} \end{align}
と表せるのでこの直線は$x=0$において
$$y=-\frac{f(p)q-pf(q)}{p-q}=-apq+c$$
を通る。
　いま$p,q$を二次方程式
$$ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'$$
の解とすると、解と係数の関係から
$$pq=\frac{c-c'}{a-a'}$$
が成り立つので上の結果より
$$-apq+c=\frac{ac'-a'c}{a-a'}=-\frac14$$
を得る。

　$x_n$の取り方から二次方程式
$$-x^2=a_nx^2+b_nx+c_n$$
は$x=x_n,x_{n+1}$を解に持つので
$$(a_n+1)x^2+b_nx+c_n=(a_n+1)(x-x_n)(x-x_{n+1})$$
と因数分解できる。
　また
$$y=a_nx^2+b_nx+c_n$$
は点$(0,-1/4)$を通ることから
$$c_n=(a_n+1)x_nx_{n+1}=-\frac14$$
を得る。あとは
$$b_n=-(a_n+1)(x_n+x_{n+1})$$
に注意するとわかる。

　上の結果は
$$a_n=-\frac{X_nX_{n+1}+4}4,\quad b_n=\frac{X_n+X_{n+1}}4,\quad c_n=-\frac14$$
と表せるので補題2より
\begin{align} E&=-\frac{b_n^2-4a_nc_n+1}{4a_n}\\ &=\frac1{16}\frac{(X_n+X_{n+1})^2-4(X_nX_{n+1}+4)+16}{X_nX_{n+1}+4}\\ &=\frac1{16}\frac{(X_n-X_{n+1})^2}{X_nX_{n+1}+4} \end{align}
を得る。

　上の補題より
$$X_n^2+X_{n+1}^2-(16E+2)X_nX_{n+1}-64E=0$$
が成り立つので、これを一項ずらした式
$$X_{n+2}^2+X_{n+1}^2-(16E+2)X_{n+2}X_{n+1}-64E=0$$
との差を取ることで
$$(X_{n+2}-X_n)(X_{n+2}+X_n-(16E+2)X_{n+1})=0$$
つまり
$$X_{n+2}=(16E+2)X_{n+1}-X_n$$
が得られる。

　補題1
$$(u,v)=\frac1{\sqrt{-2a_n}}(1,\ 2a_nx+b_n)$$
において$x=x_n,\ x_{n+1}$とすると
\begin{align} \sqrt{-2a_n} &=\sqrt{\frac{X_nX_{n+1}+4}2}\\ &=\sqrt{\frac{(X_n-X_{n+1})^2}{32E}}\\ &=\frac{X_n-X_{n+1}}{\sqrt{32E}}\\ 2a_nx_n+b_n &=-\frac{X_nX_{n+1}+4}{2X_n}+\frac{X_n+X_{n+1}}4\\ &=\frac{X_n-X_{n+1}}4-\frac2{X_n} \end{align}
のようにしてわかる。

　いま漸化式
$$a_{n+2}=L_{2k}a_{n+1}-a_n$$
の特性方程式
$$x^2-L_{2k}x+1=x^2-(\phi^{2k}+\phi^{-2k})x+1=0$$
は$x=\phi^{2k},\phi^{-2k}$と解けるので線形漸化式の一般論により主張を得る。

　$X_0=-F_{2a}/E_k$のときのみ証明する。
　$X_n$の満たす漸化式
$$X_{n+2}=L_{2k}X_{n+1}-X_n$$
に注意して
$$X_0=\frac{F_{2a}}c\Rightarrow X_1=\frac{F_{2k+2a}}c$$
が成り立つような定数$c$、特に
$$16E=L_{2k}-2=\frac{(F_{2a}-F_{2k+2a})^2}{F_{2a}F_{2k+2a}+4c^2}$$
が成り立つようなものを考える。
　いま
\begin{align} L_{2k}-2&=(\phi^k-\phi^{-k})^2\\ F_{2k+2a}-F_{2a} &=\frac1{\sqrt5}(\phi^{2a}(\phi^{2k}-1)+\phi^{-2a}(1-\phi^{-2k}))\\ &=\frac1{\sqrt5}(\phi^{k+2a}+\phi^{-(k+2a)})(\phi^k-\phi^{-k})\\ F_{2a}F_{2k+2a} &=\frac15(\phi^{2k+4a}+\phi^{-2k-4a}-\phi^{2k}-\phi^{-2k}) \end{align}
に注意すると
\begin{align} 4c^2 &=\frac{(F_{2a}-F_{2k+2a})^2}{L_{2k}-2}-F_{2a}F_{2k+a}\\ &=\frac15(\phi^{2k}+\phi^{-2k}+2)\\ &=\l(\frac{\phi^k+\phi^{-k}}{\sqrt5}\r)^2\\ &=4E_k^2 \end{align}
つまり$c=\pm E_k$を得る。

　上と同様に
$$X_0=\frac{F_{2a+1}}c\Rightarrow X_1=\frac{F_{2k+2a+1}}c$$
つまり
$$L_{2k}-2=\frac{(F_{2a+1}-F_{2k+2a+1})^2}{F_{2a+1}F_{2k+2a+1}+4c^2}$$
が成り立つような定数$c$を考えると
$$4c^2=-\l(\frac{\phi^k+\phi^{-k}}{\sqrt5}\r)^2<0$$
を満たさなければならず、そのような$c$は存在しないことがわかる。

\begin{align} 16E&=L_{2k}-2\\ &=(\phi^k-\phi^{-k})^2\\ X_n-X_{n+1} &=\frac{F_{N+2k}-F_N}{E_k}\\ &=\frac1{\sqrt5E_N}(\phi^N(\phi^{2k}-1)+\phi^{-N}(1-\phi^{-2k}))\\ &=\frac{2E_{N+k}}{E_N}(\phi^k-\phi^{-k}) \end{align}
が成り立つので
$$\frac{\sqrt{32E}}{X_n-X_{n+1}}=\frac1{\sqrt2}\frac{E_k}{E_{N+k}}$$
を得る。
　また$N'=N+2k$とおくと
\begin{align} \frac{\sqrt{32E}}{X_n-X_{n+1}}\l(\frac{X_n-X_{n+1}}4-\frac2{X_n}\r) &=\frac{\phi^k-\phi^{-k}}{2\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}\frac{\phi^k+\phi^{-k}}{\phi^{N+k}+\phi^{-N-k}}\frac{\phi^k+\phi^{-k}}{\phi^N-\phi^{-N}}\\ \frac{\sqrt{32E}}{X_n-X_{n+1}}\l(\frac{X_{n+1}-X_n}4-\frac2{X_{n+1}}\r) &=\frac{\phi^{-k}-\phi^k}{2\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}\frac{\phi^k+\phi^{-k}}{\phi^{N'-k}+\phi^{-N'+k}}\frac{\phi^k+\phi^{-k}}{\phi^{N'}-\phi^{-N'}}\\ \end{align}
が成り立つので、これを整理することで
\begin{align} v_n&=\frac1{2\sqrt2}\frac{\phi^{2N+2k}+\phi^{-2N-2k}-\phi^{2N}-\phi^{-2N}+\phi^{2k}+\phi^{-2k}+6}{(\phi^N-\phi^{-N})(\phi^{N+k}+\phi^{-N-k})}\\ v'_n&=\frac1{2\sqrt2}\frac{\phi^{2N'-2k}+\phi^{-2N'+2k}-\phi^{2N'}-\phi^{-2N'}+\phi^{2k}+\phi^{-2k}+6}{(\phi^{N'}-\phi^{-N'})(\phi^{N'-k}+\phi^{-N'+k})} \end{align}
を得る。