圏論8：完全列
今回は，abelian categoryにおけるexact sequenceとsplit exact sequenceについてまとめる．
以下，$\mathcal{C}$をabelian categoryとする． 可換環論2：完全列 の内容とほとんど同じである．
射の列
\begin{equation*}
\xymatrix{
A\ar[r]^-{f} & B\ar[r]^-{g} & C
}
\end{equation*}
が$B$でexactであるとは，$B$のsubobjectとして
\begin{equation*}
{\rm Im}\,f={\rm Ker}\,g
\end{equation*}
が成り立つことをいう．
より明示的には，image morphism ${\rm im}\,f:{\rm Im}\,f\to B$とkernel morphism $\ker g:{\rm Ker}\,g\to B$の間に同型$\varphi:{\rm Im}\,f\to{\rm Ker}\,g$が存在して
\begin{equation*}
{\rm im}\,f=(\ker g)\circ\varphi
\end{equation*}
となることをいう．
図式で書くと，exactness at $B$は次の形である．
\begin{equation*}
\xymatrix{
{{\rm Im}\,f} \ar[rr]^-{\varphi}_{\sim} \ar[drr]_-{{\rm im}\,f} &&
{{\rm Ker}\,g} \ar[d]^-{\ker g}\\
&& B \ar[r]^-{g} & C
}
\end{equation*}
射の列
\begin{equation*}
\xymatrix{
A\ar[r]^-{f} & B\ar[r]^-{g} & C
}
\end{equation*}
が$B$でexactなら，$g\circ f=0$である．
$f$はimageを経由するので，ある射$a:A\to{\rm Im}\,f$について$f={\rm im}\,f\circ a$である．またexactnessより${\rm im}\,f$は$\ker g$と同じsubobjectである．したがって$g\circ{\rm im}\,f=0$であり，
\begin{equation*}
g\circ f=g\circ{\rm im}\,f\circ a=0
\end{equation*}
である．
列
\begin{equation*}
\xymatrix{
\cdots\ar[r] & A_{n-1}\ar[r]^-{d_{n-1}} &
A_n\ar[r]^-{d_n} & A_{n+1}\ar[r] & \cdots
}
\end{equation*}
がexact sequenceであるとは，すべての$n$について
\begin{equation*}
{\rm Im}\,d_{n-1}={\rm Ker}\,d_n
\end{equation*}
が成り立つことをいう．
exact sequenceでは，自動的に$d_n\circ d_{n-1}=0$である．ただし，この条件だけではexactとは限らない．
列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & A\ar[r]^-{i} & B
}
\end{equation*}
が$A$でexactであることと，$i$がmonoであることは同値である．
双対的に，列
\begin{equation*}
\xymatrix{
B\ar[r]^-{p} & C\ar[r] & 0
}
\end{equation*}
が$C$でexactであることと，$p$がepiであることは同値である．
最初の列について見る．zero morphism $0\to A$のimageはzero objectである．したがって$A$でexactであることは${\rm Ker}\,i\cong0$であることと同じである．abelian categoryでは，これは$i$がmonoであることと同値である．
後半は双対的である．$C\to0$のkernelは${\rm id}_C:C\to C$であるから，$C$でexactであることは${\rm Im}\,p\cong C$であることと同じであり，これは$p$がepiであることと同値である．
列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & A\ar[r]^-{i} & B\ar[r]^-{p} & C\ar[r] & 0
}
\end{equation*}
がshort exact sequenceであるとは，この列が$A$，$B$，$C$でexactであることをいう．
abelian categoryにおいて，列
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & A\ar[r]^-{i} & B\ar[r]^-{p} & C\ar[r] & 0
}
\end{equation*}
がshort exact sequenceであることは，$i$が$p$のkernelであり，$p$が$i$のcokernelであることと同値である．
short exact sequenceであるとする．$A$でexactなので$i$はmonoであり，$C$でexactなので$p$はepiである．また$B$でexactなので
\begin{equation*}
{\rm Im}\,i={\rm Ker}\,p
\end{equation*}
である．$i$はmonoなので，前回の結果より${\rm im}\,i:{\rm Im}\,i\to B$は$i:A\to B$と同型を挟んで一致する．したがって$i$は$p$のkernelである．
さらにabelian categoryでは，任意のepiはそのkernelのcokernelである．$p$のkernelは$i$なので，$p$は$i$のcokernelである．
逆に，$i=\ker p$かつ$p={\rm coker}\,i$とする．kernel射はmonoであり，cokernel射はepiである．また${\rm Im}\,i={\rm Ker}\,p$であるから，列は$A$，$B$，$C$でexactである．
射$i:A\to B$がsplit monoであるとは，射$r:B\to A$が存在して
\begin{equation*}
r\circ i={\rm id}_A
\end{equation*}
となることをいう．このとき$r$を$i$のretractionという．
双対的に，射$p:B\to C$がsplit epiであるとは，射$s:C\to B$が存在して
\begin{equation*}
p\circ s={\rm id}_C
\end{equation*}
となることをいう．このとき$s$を$p$のsectionという．
図式で書くと，split monoとsplit epiは次のようになる．
\begin{equation*}
\xymatrix{
A \ar@<.5ex>[r]^-{i} &
B \ar@<.5ex>[l]^-{r}
}
\qquad
\xymatrix{
B \ar@<.5ex>[r]^-{p} &
C \ar@<.5ex>[l]^-{s}
}
\end{equation*}
左では$r\circ i={\rm id}_A$，右では$p\circ s={\rm id}_C$である．
split monoはmonoであり，split epiはepiである．
$i:A\to B$がsplit monoで，$r\circ i={\rm id}_A$を満たす$r:B\to A$をもつとする．射$u,v:T\to A$が$i\circ u=i\circ v$を満たすなら，$r$を合成して
\begin{equation*}
u=r\circ i\circ u=r\circ i\circ v=v
\end{equation*}
である．よって$i$はmonoである．split epiについては双対的である．
short exact sequence
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & A\ar[r]^-{i} & B\ar[r]^-{p} & C\ar[r] & 0
}
\end{equation*}
がsplit exact sequenceであるとは，$p$がsplit epiであることをいう．すなわち，section $s:C\to B$が存在して$p\circ s={\rm id}_C$となることをいう．
short exact sequence
\begin{equation*}
\xymatrix{
0\ar[r] & A\ar[r]^-{i} & B\ar[r]^-{p} & C\ar[r] & 0
}
\end{equation*}
について，次は同値である．
(i) $p$がsplit epiである．
(ii) $i$がsplit monoである．
(iii) $B\cong A\oplus C$であり，この同型のもとで$i$は$A\to A\oplus C$の標準的な包含，$p$は$A\oplus C\to C$の標準的な射影に対応する．
まず(i)から(ii)を示す．$s:C\to B$を$p\circ s={\rm id}_C$を満たすsectionとする．このとき
\begin{equation*}
p\circ({\rm id}_B-s\circ p)=p-p\circ s\circ p=p-p=0
\end{equation*}
である．$i=\ker p$なので，kernelの普遍性により，ただ一つの射$r:B\to A$が存在して
\begin{equation*}
i\circ r={\rm id}_B-s\circ p
\end{equation*}
となる．これを$i$と合成すると
\begin{equation*}
i\circ r\circ i=({\rm id}_B-s\circ p)\circ i=i
\end{equation*}
である．$i$はmonoなので$r\circ i={\rm id}_A$である．よって$i$はsplit monoである．
逆に(ii)から(i)を示す．$r:B\to A$を$r\circ i={\rm id}_A$を満たすretractionとする．このとき
\begin{equation*}
({\rm id}_B-i\circ r)\circ i=i-i=0
\end{equation*}
である．$p={\rm coker}\,i$なので，cokernelの普遍性により，ただ一つの射$s:C\to B$が存在して
\begin{equation*}
s\circ p={\rm id}_B-i\circ r
\end{equation*}
となる．これに$p$を左から合成すると
\begin{equation*}
p\circ s\circ p=p\circ({\rm id}_B-i\circ r)=p
\end{equation*}
である．$p$はepiなので$p\circ s={\rm id}_C$である．よって$p$はsplit epiである．
したがって(i)または(ii)のどちらかが成り立てば，$r\circ i={\rm id}_A$を満たす$r:B\to A$と，$p\circ s={\rm id}_C$を満たす$s:C\to B$が両方得られる．この$r$と$s$を使って，$A\oplus C$と$B$の間の射
\begin{equation*}
\alpha:A\oplus C\to B,\qquad
\alpha=i\circ\pi_A+s\circ\pi_C
\end{equation*}
および
\begin{equation*}
\beta:B\to A\oplus C,\qquad
\beta=\iota_A\circ r+\iota_C\circ p
\end{equation*}
を定める．ここで$\iota_A,\iota_C$はbiproductへの包含，$\pi_A,\pi_C$はbiproductからの射影である．
上の構成から$i\circ r+s\circ p={\rm id}_B$である．また$r\circ i={\rm id}_A$，$p\circ s={\rm id}_C$，$p\circ i=0$である．さらに
\begin{equation*}
i\circ r\circ s=({\rm id}_B-s\circ p)\circ s=s-s=0
\end{equation*}
であり，$i$はmonoなので$r\circ s=0$である．このことから
\begin{equation*}
\alpha\circ\beta=i\circ r+s\circ p={\rm id}_B
\end{equation*}
であり，また
\begin{equation*}
\beta\circ\alpha=
\begin{pmatrix}
r\circ i & r\circ s\\
p\circ i & p\circ s
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{\rm id}_A & 0\\
0 & {\rm id}_C
\end{pmatrix}
={\rm id}_{A\oplus C}
\end{equation*}
である．したがって$\alpha$と$\beta$は互いに逆である．よって$B\cong A\oplus C$であり，(iii)が成り立つ．
(iii)なら，$A\oplus C\to C$の標準的な射影には標準的なsection $C\to A\oplus C$があるので，$p$はsplit epiである．したがって(iii)から(i)が従う．
以上で(i)，(ii)，(iii)は同値である．
上の証明で得た同型$B\cong A\oplus C$のもとでは，射$i,p,r,s$は行列で
\begin{equation*}
i=
\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix},
\qquad
p=
\begin{pmatrix}
0 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
r=
\begin{pmatrix}
1 & 0
\end{pmatrix},
\qquad
s=
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
と表される．
exact sequenceは「imageがkernelと一致する」ことを表し，split exact sequenceはさらに中央の対象がbiproductとして分解することを表す．
次回以降，exact functorやhomologyを扱うとき，exactnessは基本的な条件になる．
