文献あり

MIT Integration Beeを解く【MIT Integration Bee Qualifying-2019】

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

1.本ページでやること

今回はMIT Integration Bee 2019予選問題の解答と解説をしてみる。使用した関数、テクニックは以下でまとめた。 https://mathlog.info/articles/CMsARUspoc4FiCRFTArY

2.MIT Integration Beeについて

MIT Integration Beeとは、マサチューセッツ工科大学（MIT）で毎年1月に開催される、学生向けの積分計算コンテストのこと。
問題は、Qualifying(予選)、Regular Season(第二予選)、Quarterfinal(準々決勝)、Semifinal(準決勝)、Final(決勝)からなる。
もちろん難易度は決勝に行くにつれて難しくなる。

3.評価

筆者は問題を次のように評価した。(異論は認める)
★☆☆☆☆：数学Ⅱの知識が必要
★★☆☆☆：数学Ⅲの知識が必要
★★★☆☆：数学Ⅲを少し超える知識が必要
★★★★☆：大学での学習内容や鋭い推察が必要
★★★★★：変態的な発想やナーマギリ女神からの天啓が必要
※数学Ⅲを少し超える知識とは次のものを指すこととする。

逆三角関数 ($\arcsin{x} \,, \arccos{x} \,, \arctan{x}$など)
双曲線関数 ($\sinh{x} \,, \cosh{x} \,, \tanh{x}$など)
逆双曲線関数 ($\mathrm{arsinh}{x} \,, \mathrm{arcosh}{x} \,, \mathrm{artanh}{x}$など)

4.問題

問題や解答の表記について

・積分定数は$C$とする
・対数関数に関して、真数の符号を考えずに表記する
　例）$\log{|x^2-1|} \to \log{(x^2-1)}$
・逆三角関数は「$arc$」、逆双曲線関数は「$ar$」を先頭につけることで表すものとする
　例1）$\sin{x}$の逆関数 $\to$ $\arcsin{x}$
　例2）$\cosh{x}$の逆関数 $\to$ $\mathrm{arcosh}{x}$

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{2\pi} \tan{(\cos{x})} ~dx$

解答・解説

【ポイント】積分範囲を分割する
\begin{align} I &=\int_{0}^{\pi} \tan{(\cos{x})} ~dx + \int_{\pi}^{2\pi} \tan{(\cos{x})} ~dx \\ J &= \int_{\pi}^{2\pi} \tan{(\cos{x})} ~dx \end{align}
$t=x-\pi$と置くと　$x = t +\pi \quad dx=dt$
$x:\pi \to 2\pi \quad t:0 \to \pi$
\begin{align} J &=\int_{0}^{\pi} \tan{(\cos{(t+\pi)})} ~dt \\ &=\int_{0}^{\pi} \tan{(-\cos{t})} ~dt \\ &=-\int_{0}^{\pi} \tan{(\cos{t})} ~dt \\ I &=\int_{0}^{\pi} \tan{(\cos{x})} ~dx - \int_{0}^{\pi} \tan{(\cos{x})} ~dx \\ &= 0 \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int \frac{x+1}{x(x+\log{x})} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int \frac{1 + \frac{1}{x}}{x+\log{x}} ~dx \\ &= \log{(x+\log{x})} + C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int e^{x+e^x} + e^{x-e^x} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int e^x \cdot e^{e^x} + e^x \cdot e^{-e^x} ~dx \\ &=e^{e^x} - e^{-e^x} + C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x^2} ~dx$

解答・解説

【ポイント】偶関数を見極める
$\displaystyle \frac{1}{1-x^2}$は偶関数だから、
\begin{align} I &=2\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x^2} ~dx \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} ~dx \\ &= \left[ \log{|x+1|} - \log{|x-1|} \right]_0^{\frac{1}{2}} \\ &= \log{\frac{3}{2}} - \log{\frac{1}{2}} \\ &= \log{3} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{2} 2^{\log{x}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】指数が同じものはまとめる
$t=\log{x}$と置くと　$x=e^t \quad dx = e^t ~dt$
$x:0 \to 2 \quad t:-\infty \to \log{2}$
\begin{align} I &=\int_{-\infty}^{\log{2}} 2^t \cdot e^t ~dt \\ &=\int_{-\infty}^{\log{2}} (2e)^t ~dt \\ &= \left[ \frac{(2e)^t}{\log{2e}} \right]_{-\infty}^{\log{2}} \\ &= \frac{(2e)^{\log{2}}}{\log{2}+1} - 0\\ &= \frac{2^{\log{2}} \cdot 2}{\log{2}+1} \\ &= \frac{2^{\log{2}+1}}{\log{2}+1} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{-2\pi}^{2\pi} (\cos{3x}+\sin{2x})(-\sin{2019x}+\cos{3x}) ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int_{-2\pi}^{2\pi} -\cos{3x}\sin{2019x} + \cos^2{3x} - \sin{2x}\sin{2019x} + \sin{2x}\cos{3x} ~dx \end{align}
偶関数、奇関数の性質から
\begin{align} I &=2\int_{0}^{2\pi} \cos^2{3x} - \sin{2x}\sin{2019x} ~dx \\ &=2\int_{0}^{\pi} \cos^2{3x} - \sin{2x}\sin{2019x} ~dx + 2\int_{\pi}^{2\pi} \cos^2{3x} - \sin{2x}\sin{2019x} ~dx \\ J &=2\int_{\pi}^{2\pi} \cos^2{3x} - \sin{2x}\sin{2019x} ~dx \end{align}
$t=x-\pi$と置くと　$x = t +\pi \quad dx=dt$
$x:\pi \to 2\pi \quad t:0 \to \pi$
\begin{align} J &=2\int_{0}^{\pi} \cos^2{(3t+3\pi)} - \sin{(2t+2\pi)}\sin{(2019t+2019\pi)} ~dt \\ &=2\int_{0}^{\pi} \cos^2{3t} - \sin{2t}\sin{2019t} ~dt \\ I &=4\int_{0}^{\pi} \cos^2{3x} - \sin{2x}\sin{2019x} ~dx \\ &=2\int_{0}^{\pi} 1 + \cos{6x} + \cos{2021x} -\cos{2017x} ~dx\\ &= 2\left[ x + \frac{1}{6}\sin{6x} + \frac{1}{2021}\sin{2021x} - \frac{1}{2017}\sin{2017x} \right]_{0}^{\pi} \\ &= 2\pi \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int \cos{x} \cdot \cos{(\sin{x})} \cdot \cos{(\sin{(\sin{x})})} ~dx$

解答・解説

【ポイント】置換積分
$t = \sin{x}$と置くと　$dt = \cos{x} ~dx$
\begin{align} I &=\int \cos{t} \cdot \cos{(\sin{t})} ~dt \\ &=\sin{(\sin{t})} + C \quad \rm{【微分形接触】} \\ &=\sin{(\sin{(\sin{x})})} + C \end{align}

★★★★☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-\frac{2019}{4x^2}}}{x^2} ~dx$

解答・解説

【ポイント】ガウス積分に置き換える
$\displaystyle t = \frac{\sqrt{2019}}{2x}$と置くと　$\displaystyle dt = -\frac{\sqrt{2019}}{2x^2} ~dx $
$\displaystyle -\frac{2}{\sqrt{2019}} ~dt = \frac{1}{x^2} ~dx \quad x:0 \to \infty \quad t:\infty \to 0$
\begin{align} I &=\frac{2}{\sqrt{2019}} \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} ~dt \\ &= \frac{2}{\sqrt{2019}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{2019}} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int \sin{(\sqrt{x})} ~dx$

解答・解説

【ポイント】置換積分
$t = \sqrt{x}$と置くと　$t^2 = x \quad 2t ~dt = dx$
\begin{align} I &=2\int t \sin{t} ~dt \\ &=-2t\cos{t} + 2\int \cos{t} ~dt \\ &=-2t\cos{t} + 2\sin{t} + C \\ &=-2\sqrt{x}\cos{(\sqrt{x})} + 2\sin{(\sqrt{x})} + C \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1+x} ~dx$

解答・解説

【ポイント】$\tan^2{\theta}$で置換する
$x = \tan^2{\theta}$と置くと　$\displaystyle dx = \frac{2\tan{\theta}}{\cos^2{\theta}} ~d\theta$
$\displaystyle x:0 \to 1 \quad \theta:0 \to \frac{\pi}{4}$
\begin{align} I &=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}} \cdot \frac{2\tan{\theta}}{\cos^2{\theta}} ~d\theta \\ &=2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2{\theta} ~d\theta \\ &=2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2{\theta}} - 1 ~d\theta \\ &=2\left[ \tan{\theta} - \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\ &=2\left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) \\ &= 2 - \frac{\pi}{2} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{2\pi} \cos{x}\cos{2x}\cos{3x} ~dx$

解答・解説

【ポイント】積分範囲を分割する、式を整理する(積和公式)
\begin{align} I &= \int_{0}^{\pi} \cos{x}\cos{2x}\cos{3x} ~dx + \int_{\pi}^{2\pi} \cos{x}\cos{2x}\cos{3x} ~dx \\ J &= \int_{\pi}^{2\pi} \cos{x}\cos{2x}\cos{3x} ~dx \end{align}
$t=x-\pi$と置くと　$x = t +\pi \quad dx=dt$
$x:\pi \to 2\pi \quad t:0 \to \pi$
\begin{align} J &= \int_{0}^{\pi} \cos{(t+\pi)}\cos{(2t+2\pi)}\cos{(3t+3\pi)} ~dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \cos{t}\cos{2t}\cos{3t} ~dt \\ I &= 2\int_{0}^{\pi} \cos{x}\cos{2x}\cos{3x} ~dx \\ &= \int_{0}^{\pi} (\cos{3x} + \cos{x})\cos{3x} ~dx \\ &= \int_{0}^{\pi} \cos^2{3x} + \cos{x}\cos{3x} ~dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} 1 + \cos{6x} + \cos{4x} + \cos{2x} ~dx \\ &= \frac{1}{2}\left[ x + \frac{1}{6}\sin{x} + \frac{1}{4}\sin{x} + \frac{1}{2}\sin{x} \right]_{0}^{\pi} \\ &= \frac{\pi}{2} \end{align}

★★★★☆

$\displaystyle I = \lim_{n \to \infty }\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2n}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】ガンマ関数に置き換える
被積分関数は偶関数だから
\begin{align} I &= \lim_{n \to \infty } 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2n}} ~dx \end{align}
$t=x^{2n}$と置くと　$\displaystyle x=t^{\frac{1}{2n}} \quad dx = \frac{1}{2n}t^{\frac{1}{2n}-1} ~dt$
$x:0 \to \infty \quad t:0 \to \infty$
\begin{align} I &=\lim_{n \to \infty} \frac{2}{2n}\int_{0}^{\infty} e^{-t} \cdot t^{\frac{1}{2n}-1} ~dt \\ &=\lim_{n \to \infty} \frac{2}{2n}\int_{0}^{\infty} t^{\frac{1}{2n}-1}e^{-t} ~dt \\ &=\lim_{n \to \infty} \frac{2}{2n} \Gamma \left( \frac{1}{2n} \right) \\ &=\lim_{n \to \infty} 2\Gamma \left( \frac{1}{2n} + 1\right) \\ &= 2 \Gamma(1) \\ &= 2 \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{e} x^{\frac{1}{\log{x}}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int_{0}^{e} x^{\log_x{e}} ~dx \\ &=\int_{0}^{e} e ~dx \\ &=\left[ ex \right]_{0}^{e} \\ &= e^2 \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{100}} \frac{\sin{20x} + \sin{19x}}{\cos{20x} + \cos{19x}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する(和積公式)
\begin{align} I &=\int_{0}^{\frac{\pi}{100}} \frac{2\sin{\frac{39}{2}x}\cos{\frac{1}{2}x}}{2\cos{\frac{39}{2}x}\cos{\frac{1}{2}x}} ~dx\\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{100}} \tan{\frac{39}{2}x} ~dx \\ &=\left[ -\frac{2}{39} \log{\left|\cos{\frac{39}{2}x}\right|} \right]_{0}^{\frac{\pi}{100}} \\ &=-\frac{2}{39} \log{\left(\cos{\frac{39}{200}\pi} \right)} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int e^x\cos^2{x} + e^x\sin{x}\cos{x} - e^x\sin^2{x} ~dx$

解答・解説

【ポイント】積の微分に気づく
\begin{align} I &=\int \frac{1}{2}e^x\sin{2x} + e^x\cos{2x} ~dx \\ &=\int \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}e^x\sin{2x} \right) ~dx \\ &=\frac{1}{2}e^x\sin{2x} + C \\ &=e^x\sin{x}\cos{x} + C \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}}{\sin{\left( x+ \frac{\pi}{4} \right)}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】King Property
\begin{align} I &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}}{\sin{x}\cos{\frac{\pi}{4}} + \cos{x}\sin{\frac{\pi}{4}}} ~dx \\ &=\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}}{\sin{x} + \cos{x}} ~dx \end{align}
King Propetyより　$\displaystyle x \mapsto \left( \frac{\pi}{2} + 0 - x \right) = \frac{\pi}{2} - x$
適用後の積分を$J$とすると、
\begin{align} J &=\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{\left( \frac{\pi}{2}-x \right)}}{\sin{\left( \frac{\pi}{2}-x \right)} + \cos{\left( \frac{\pi}{2}-x \right)}} ~dx \\ &=\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos{x}}{\sin{x} + \cos{x}} ~dx \\ 2I &= I + J \\ &= \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x} + \cos{x}}{\sin{x} + \cos{x}} ~dx \\ &= \sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} ~dx \\ &= \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} \\ I &= \frac{\sqrt{2}}{4} \pi \\ &= \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int \frac{1}{x+\sqrt[3]{x}} ~dx$

解答・解説

【ポイント】微分形をうまく作る
\begin{align} I &=\int \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}+1} ~dx \\ &=\frac{3}{2} \log{\left(x^{\frac{2}{3}}+1 \right)} + C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int_{0}^{2} x^{x^2+1}(2\log{x} + 1) ~dx$

解答・解説

【ポイント】対数微分に気づく
\begin{align} I &=\int_{0}^{2} x^{x^2}(2x\log{x} + x) ~dx \end{align}
$y=x^{x^2}$と置くと　$\log{y} = x^2\log{x}$
$\displaystyle \frac{y'}{y} = 2x\log{x} + x \quad y' = x^{x^2}(2x\log{x} + x)$
したがって、
\begin{align} I &=\int_{0}^{2} \frac{d}{dx} \left( x^{x^2} \right) ~dx \\ &=\left[ x^{x^2} \right]_{0}^{2} \\ &=16 - 1 \\ &=15 \end{align}
※$0^0=1$であることに注意

★★☆☆☆

$\displaystyle I = \int \frac{2x^3-1}{x(x^3+1)} ~dx$

解答・解説

【ポイント】式を整理する
\begin{align} I &=\int \frac{3x^2}{x^3+1} - \frac{1}{x} ~dx \\ &= \log{(x^3+1)} - \log{x} + C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}

★★★☆☆

$\displaystyle I = \int \cos{(\arctan{x})} ~dx$

解答・解説

【ポイント】三角関数の中身に逆三角関数があるときは中身を文字で置く
$\theta = \arctan{x}$と置くと　$x=\tan{\theta}$
$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2{\theta}}}$より、$\displaystyle \cos{(\arctan{x})} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$であるから
\begin{align} I &=\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} ~dx \\ &=\mathrm{arsinh}{x} + C \end{align}