Fermatの小定理とℤ/pℤの関係と、その一般化について①

1.$\Rightarrow$2.
$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$の単元全体の成す乗法群を$ U_p$と書くことにする。
$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は体であるから、$U_p=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\backslash\lbrace \bar0\rbrace$となる。
よって、$U_p$は位数が$p-1$である。
また、$p$は素数なので、$\mathrm{gcd}(a,p)=1$は$a\notin\bar 0$と同等である。つまり、$\bar a\neq\bar0$となるから、$\bar a\in U_p$ここで、$ U_p$の位数が$p-1$なので、$\bar a^{p-1}=\bar 1$ここで、$\bar a^{p-1}=\overline{a^{p-1}}$なので、
$$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$$
を得る。
2.$\Rightarrow$1.
$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は剰余環の定義から、可換環なので、$\bar a\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\backslash\lbrace\bar0\rbrace$に対して乗法逆元が存在する事を言えば良い。
$p$は素数なので、$1\leq a\leq p-1$を満たす全ての整数$a$は$p$と互いに素である。また、$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\backslash\lbrace\bar0\rbrace$の任意の元は$1\leq a\leq p-1$なる整数$a$を用いて$a$と書けることに注意しておく。
よって、仮定より$a^{p-1}\equiv1$なので、
$\overline{a^{p-1}}=\bar1$となるから、
$\bar a^{p-1}=\overline{a^{p-1}}=\bar1$となる。
ここで、$p$は素数であるから、$p-2\geq0$よって、
$\bar a^{p-2}$は$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\backslash\lbrace\bar0\rbrace$の元として存在する
これより、
$\bar a^{p-1}=\bar a^{p-2}\bar a=\bar1$となるから、$\bar a$の乗法逆元は$\bar a^{p-2}$であり、存在する(終)

1.$\Rightarrow$2.
$p\mid a$なら証明が終わるので、$p\nmid a$とする。
$p$は素数なので、$\mathrm{gcd}(p,a)=1$である。
これより、整数$n,m$が存在して、$pn+am=1$となる。
両辺に$b$を掛けて、
$pbn+abm=b$となる。
ここで仮定から、$p\mid ab$より、ある整数$k$が存在して、$ab=pk$となる。
故に、
$pbn+abm=pbn+pkm=p(bn+km)=b$となるから、
$b,n,k,m$は整数なので、$bn+km$は整数である。
よって、$p\mid b$を得る
1.$\Rightarrow$2.
$p$が素数でない。つまり、合成数とする。
すると、$1\lt c,d\lt p$なる整数$c,d$が存在して、$p=cd$と書ける。
ここで、明らかに$p\mid cd$であるが、$1\lt c\lt p$なので、$p\nmid c$である。同様に$1\lt d\lt p$なので、$p\nmid d$である。
これは仮定に矛盾する(終)