Aoki-Ohnoの関係式の有限類似

スターの多重調和和を
\begin{align} \zeta_{< N}^{\star}(k_1,\dots,k_r):=\sum_{1\leq n_1\leq\cdots\leq n_r< N}\frac 1{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} \end{align}
とする. Aoki-Kombu-Ohnoの関係式
\begin{align} \sum_{1\leq k,r,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\mathrm{Li}_{\bk}^{\star}(z)\right)u^{k-r-s}v^{r-s}w^{s-1}=\sum_{1\leq n}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{k=1}^n((k-u)(k-v)-w)}z^n \end{align}
において, $u=v$とすると,
\begin{align} \sum_{1\leq k,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\mathrm{Li}_{\bk}^{\star}(z)\right)u^{k-2s}w^{s-1}=\sum_{1\leq n}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{k=1}^n((k-u)^2-w)}z^n \end{align}
を得る. ここで, 両辺の$z^n$の係数を$n=1$から$N-1$まで足し合わせると,
\begin{align} \sum_{1\leq k,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\zeta^{\star}_{< N}(\bk)\right)u^{k-2s}w^{s-1}=\sum_{n=1}^{N-1}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{k=1}^n((k-u)^2-w)} \end{align}
を得る. 右辺を$w$に関して部分分数分解すると, 前の記事 と全く同様に
\begin{align} \sum_{n=1}^{N-1}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{k=1}^n((k-u)^2-w)}&=\sum_{m=1}^{N-1}\frac 1{(m-u)^2-w}\sum_{m\leq n< N}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{\substack{1\leq k\leq n\\k\neq m}}((k-u)^2-(m-u)^2)} \end{align}
であり,
\begin{align} \sum_{m\leq n< N}\frac{(n-1)!(1-u)_{n-1}}{\prod_{\substack{1\leq k\leq n\\k\neq m}}((k-u)^2-(m-u)^2)}&=\frac{(-1)^{m-1}(1-u)_{m-1}}{(1+m-2u)_{m-1}}\sum_{n=0}^{N-m-1}\frac{(m,m-u)_n}{n!(1+2m-2u)_n} \end{align}
である. ここで, $p$を十分大きな素数として$N=p$として$\mathrm{mod}\,p$を考えると, Vandermondeの恒等式より,
\begin{align} \sum_{n=0}^{p-m-1}\frac{(m,m-u)_n}{n!(1+2m-2u)_n}&\equiv\sum_{n=0}^{p-m-1}\frac{(m-p,m-u)_n}{n!(1+2m-2u)_n}\pmod p\\ &\equiv\F21{m-p,m-u}{1+2m-2u}{1}-\frac{(m-p,m-u)_{p-m}}{(1,1+2m-2u)_{p-m}}\pmod p\\ &\equiv\frac{(1+m-u)_{p-m}}{(1+2m-2u)_{p-m}}+\frac{(-1)^m(m-u)_{p-m}}{(1+2m-2u)_{p-m}}\pmod p\\ &\equiv\frac{(1+m-2u)_m}{(1-2u)_p}\left(\frac{(1-u)_p}{(1-u)_m}+\frac{(-1)^m(1-u)_{p-1}}{(1-u)_{m-1}}\right)\pmod p \end{align}
である. ここで, $p$は十分大きいので, $u^p$を無視すると,
\begin{align} &\frac{(1+m-2u)_m}{(1-2u)_p}\left(\frac{(1-u)_p}{(1-u)_m}+\frac{(-1)^m(1-u)_{p-1}}{(1-u)_{m-1}}\right)\\ &\equiv \frac{(1+m-2u)_m}{2}\left(\frac{1}{(1-u)_m}+\frac{(-1)^m}{u(1-u)_{m-1}}\right)\pmod p \end{align}
となるから, これを代入して,
\begin{align} &\sum_{1\leq k,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\zeta^{\star}_{< p}(\bk)\right)u^{k-2s}w^{s-1}\\ &\equiv\sum_{m=1}^{p-1}\frac 1{(m-u)^2-w}\frac{(-1)^{m-1}(1-u)_{m-1}}{(1+m-2u)_{m-1}}\frac{(1+m-2u)_m}{2}\left(\frac{1}{(1-u)_m}+\frac{(-1)^m}{u(1-u)_{m-1}}\right)\pmod p\\ &\equiv\sum_{m=1}^{p-1}\frac{(-1)^{m-1}}{(m-u)^2-w}-\frac 1u\sum_{m=1}^{p-1}\frac{m-u}{(m-u)^2-w}\pmod p \end{align}
より両辺の$w^{s-1}$の係数を比較すると,
\begin{align} \sum_{1\leq k}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\zeta^{\star}_{< p}(\bk)\right)u^{k-2s}&\equiv\sum_{m=1}^{p-1}\frac{(-1)^{m-1}}{(m-u)^{2s}}-\frac 1u\sum_{m=1}^{p-1}\frac{1}{(m-u)^{2s-1}}\pmod p \end{align}
さらに両辺の$u^{k-2s}$の係数を比較すると,
\begin{align} \sum_{\bk\in I_0(k,*,s)}\zeta^{\star}_{< p}(\bk)&\equiv\binom{k-1}{2s-1}\sum_{m=1}^{p-1}\frac{(-1)^{m-1}}{m^k}-\binom{k-1}{2s-2}\sum_{m=1}^{p-1}\frac{1}{m^k}\pmod p \end{align}
を得る. ここで, よく知られた等式
\begin{align} \sum_{m=1}^{p-1}\frac{1}{m^k}&\equiv 0 \pmod p\\ \sum_{m=1}^{p-1}\frac{(-1)^{m-1}}{m^k}&\equiv 2(1-2^{1-k})\frac{B_{p-k}}k\pmod p \end{align}
を代入して定理を得る.