大学数学基礎解説

虚数の階乗の絶対値と、偏角の積分表示

ガンマ関数,積分,虚数

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

|i!|とかを求めます。
$| i! |$ 、虚数解単位 $i$ の、階乗の絶対値のことです。
縦棒ばっかり、という面白さだけの動機。

準備

実数 $x$ に対し、
(1) $| e^{i x} | = 1$
(2) $\arg (e^{i x}) = x (\mod 2 π)$

証明

(1)オイラーの公式から
$e^{i x} = \cos x + i \sin x$
これの絶対値は
$| e^{i x} | = \sqrt{\cos^{2} x + \sin^{2} x}$
なので三平方の定理から
$| e^{i x} | = 1$

(2)もはや定義

複素数 $z_{1}, z_{2}$ に対し、
(1) $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$
(2) $\arg (z_{1} z_{2}) = \arg (z_{1}) + \arg (z_{2})$

証明

非負の実数 $r_{1}, θ_{1}, r_{2}, θ_{2}$ を用いて複素数を極座標表示する
$z_{1} = r_{1} e^{i θ_{1}} z_{2} = r_{2} e^{i θ_{2}}$

もう自明だが
$| z_{1} z_{2} | = | r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})} | = | r_{1} r_{2} | = r_{1} r_{2} = | z_{1} | | z_{2} |$
また、 $\arg (e^{i (θ_{1} + θ_{2})}) = θ_{1} + θ_{2} = \arg (z_{1}) + \arg (z_{2})$

(別解)直交座標ゴリ押し
実数 $a, b, c, d$ を用いて
$z_{1} = a + b i z_{2} = c + d i$ と表すと
$| z_{1} z_{2} | = | (a + b i) (c + d i) |$
$= | (a c - b d) + i (a d + b c) |$
$= \sqrt{(a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}}$
$= \sqrt{a^{2} c^{2} - 2 a b c d + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + 2 a b c d + b^{2} c^{2}}$
$= \sqrt{a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2}}$
$= \sqrt{(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})}$
$= | a + b i | | c + d i |$
$= | z_{1} | | z_{2} |$

Wierstraβの乗積表示

$x! = Γ (x + 1) = e^{- γ x} \prod_{k = 1}^{\infty} e^{\frac{x}{k}} (1 + \frac{x}{k})^{- 1}$

証明

こちらの記事参照。
2通りで証明しています。

sinの無限乗積

$\sin (π x) = π x \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{k^{2}})$

証明

(概要)
$\cot$ は整数で一位の極を持ち、そこから部分分数分解が導かれ、それを積分して指数関数に入れれば得られます。(雑)
長くてかけない。

(追記)
別解ですが、とっても簡単。
ガンマ関数の相反公式
$Γ (x) Γ (1 - x) = \frac{π}{\sin (π x)}$
を認めれば、Wierstraβの乗積表示より、
$(\frac{1}{x} e^{- γ x} \prod_{k = 1}^{\infty} e^{\frac{x}{k}} (1 + \frac{x}{k})^{- 1}) (e^{γ x} \prod_{k = 1}^{\infty} e^{- \frac{x}{k}} (1 - \frac{x}{k})^{- 1}) = \frac{π}{\sin (π x)}$
約分がいっぱいできて、和と差の積をまとめると
$\frac{1}{x} \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - \frac{x^{2}}{k^{2}})^{- 1} = \frac{π}{\sin (π x)}$
$\sin$ について解けば公式を得る。
-証明終-

本題

Wierstraβの乗積表示より、求めたいのは
$| i! | = | e^{- γ i} \prod_{k = 1}^{\infty} e^{\frac{i}{k}} (1 + \frac{i}{k})^{- 1} |$
公式2から、
$= | e^{- γ i} | \prod_{k = 1}^{\infty} | e^{\frac{i}{k}} | | (1 + \frac{i}{k})^{- 1} |$
公式1から
$= \prod_{k = 1}^{\infty} | (1 + \frac{i}{k})^{- 1} |$

$= \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}}$

これは公式4のsinの無限乗積を $π x$ で割って $x = i$ を代入したものの平方根の逆数となっているので

$= \sqrt{\frac{π i}{\sin (π i)}} = \sqrt{\frac{π}{\sinh (π)}} = \sqrt{\frac{2 π}{e^{π} - e^{- π}}}$

よって、
|i!| $= \sqrt{\frac{2 π}{e^{π} - e^{- π}}}$

やっぱり、 $e, i, π$ は繋がっている様。

一般の純虚数の場合の絶対値

実数 $x$ に対し、
$| (i x)! | = | Γ (i x + 1) | = \sqrt{π x csch (π x)}$

特殊関数であるガンマ関数が、純虚数の絶対値だけに注目すると、初等関数となった。

偏角は?

複素数 $a + b i$ の偏角は $\tan^{- 1} (\frac{b}{a})$
で与えられます。
同様、Wierstraβの乗積表示を使って
$\arg (i!) = lim_{N \to \infty} {\log N - \sum_{k = 1}^{N} \tan^{- 1} (\frac{1}{k})}$
となる。

見た目はオイラーマスケローニ定数っぽい、が、残念ながら私はこれの閉じた形式を知らない。
しかし積分表示は発見しました。
以下、arctanのマクローリン展開とゼータ関数の積分表示を使っています。

$\arg (i!) = lim_{N \to \infty} {\log N - \sum_{k = 1}^{N} \tan^{- 1} (\frac{1}{k})}$
$= - γ + \sum_{k = 1}^{\infty} {\frac{1}{k} - \tan^{- 1} (\frac{1}{k})}$
$= - γ + \sum_{k = 1}^{\infty} {\frac{1}{k} - (\sum_{j = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{j} k^{- (2 j + 1)}}{2 j + 1})}$
$= - γ + \sum_{k = 1}^{\infty} {\sum_{j = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{1 + j} k^{- (2 j + 1)}}{2 j + 1}}$
$= - γ + \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{1 + j} ζ (2 j + 1)}{2 j + 1}$
$= - γ + \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{1 + j}}{2 j + 1} (\frac{1}{Γ (2 j + 1)} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{2 j}}{e^{t} - 1} d t)$
$= - γ + \int_{0}^{\infty} \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{1 + j}}{2 j + 1} \frac{1}{Γ (2 j + 1)} \frac{t^{2 j}}{e^{t} - 1} d t$
$= - γ - \int_{0}^{\infty} \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{j} t^{2 j}}{(2 j + 1)!} \frac{1}{e^{t} - 1} d t$
$= - γ - \int_{0}^{\infty} \frac{\frac{\sin (t)}{t} - 1}{e^{t} - 1} d t$
$= - γ - \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (t) - t}{t (e^{t} - 1)} d t$

積分やシグマの順序入れ替えがありますが、arctanとゼータ関数なんで、多分いける(はず)
純虚数に一般化すると
$\arg ((i x)!) = - γ x - \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x t) - x t}{t (e^{t} - 1)} d t (\mod 2 π)$
結局これが計算できる訳でもないので、何も分からない。