この記事ではApéryの数列
の積分表示
について解説していきます。
1978年に証明されたApéryの定理には、その翌年Beukersによって別証明が与えられました。
Beukersの手法でも証明の決め手となるものは
Apéryの手法
と同じであり、次の補題を満たすような整数列
実数
が成り立つとき、
ある整数
が成り立つことになるが、これは
Apéryの手法
では
という有理数列を用いたのに対し、Beukersの手法ではある多項式列
を満たすような有理数列
そして興味深いことに、実はこの
ちなみに上の有理数列
という二つの主張を示していくこととなります。
これらの主張について
Apéryの手法
では
といったアプローチを取っていたのに対し、Beukersの手法では
というアプローチを取ることになります。
このような類似点にも注目してみると面白いかもしれません。
まずはBeukersによるApéryの定理の証明を完成させておきましょう。ついでに
非負整数
が成り立つ。
この記事 の例1として示した。
とおくと、非負整数
が成り立つ。
整数係数の多項式列
によって定めると、
が成り立つ。
部分積分を繰り返し行うことで
が成り立つことがわかる。
とおくと
特に
が成り立つ。
が成り立つ。
いま
とおくと
より方程式
つまり
を最大値に持つことがわかる。
よって
を得る。
とおくと
特に
が成り立つ。
と変形し、
が成り立つ。
ここで
と変数変換すると
より
が成り立ち、
を得る。
いま
とおくと
より方程式
つまり
を最大値に持つことがわかる。
よって
を得る。
補題3およびその系よりある整数
と表せる。
また素数定理から十分大きい任意の
と評価できることに注意すると
が成り立つので補題2より
上では
によって定まる整数列
ところでこれらの被積分関数のように、離散変数
が
は何らかの多項式係数の線形漸化式
を満たすことが知られています。
この事実を上の積分
に対して適用すると以下の主張が導かれます。
を満たす。
このことは上のアルゴリズムなどを用いることで確かめられますが、手計算で示すには計算が煩雑なので詳しくは省略します。
また
なる有理数列
が成り立つことになり
に注意すると
とおくと
が成り立つ。
とおくと
が成り立つ。
上では
実際
より
と展開できることと
であったことに注意すると
となることがわかります。
以上がBeukersによる
とりあえず個人的に把握できていることについてはまとめてみましたが、やはりまだApéryやBeukersの手法にはなぜ上手くいくのかが解明されていないところが多く、まだまだ謎は深まるばかりですね。
ちなみに他にも
という形の積分を考えることで
という形の定数の無理性を示せないか、ということが期待されていますが未だ目ぼしい結果は得られていないように思います。
ゆくゆくは同様の手法による
とりあえず今回はこんなところで。では。
ちなみにBeukersの手法は
まず
という積分を考えることによって
非負整数
が成り立つ。特に
が成り立つ。
とわかる。
が成り立つ。
を得る。
補題11からある整数列
と表せ、また補題12から
が成り立つので補題2より
ちなみにこの
を満たす。またその初項は
である。
部分積分によって
と変形できることと
が成り立つことからわかる。
また積分を直接計算することでその一般項は以下のように求まることがわかります。
とおくと
が成り立つ。
なお
と変形すると
とも表せます。
次に
という積分を考えることによって、特定の有理数
余談ですがこの積分は
という二重積分に表すこともできます。
以下
非負整数
が成り立つ。特に
が成り立つ。
とわかる。
が成り立つ。
とおくとこれは
を最大値に持つので
を得る。
を満たすような有理数
補題16よりある整数
と表せ、また補題17から十分大きい任意の
が成り立つので補題2より
ちなみにこの
を満たす。またその初項は
である。
を満たすことが知られている(cf. ルジャンドル多項式)、特に
が成り立つことに注意すると
を得る。
また積分を直接計算することでその一般項は以下のように求まることがわかります。
とおくと
が成り立つ。
特に
は
この記事
のおまけとして紹介した数列に一致します。