超Taylor展開の形を何となく推察しようとしてほぼ失敗している事例

はじめに

超微分に関しては こちらの記事 や こちらのシリーズ を参照してください。

本題

前回 、超Taylorの定理はテトレーションレベルになるだろうと言ったので、その予想を基にどんな形かを推察していこうと思います。予想してる形1つしかないんですけどね。
なお、何の数学的根拠もないただのあてずっぽうです。厳密性の欠片すら残ってないことを承知の上読んでいただけると幸いです。

それがこの形
$$f(x) \approx f(a)\left(\dfrac{x}{a}\right)^{A_1\left(\dfrac{x}{a}\right)^{A_2\left(\dfrac{x}{a}\right)^{A_3\left(\dfrac{x}{a}\right)^{\cdots}}}}$$
この係数$A_1,A_2,A_3,\cdots$を$f^{`}(a),f^{``}(a),f^{```}(a),\cdots$に何か定数が掛かった形で表せたらいいよね、っていう話になります。
まず$A_1$は$f^{`}(a)$でいいと思います。接冪の定義でもありますし、$f'(a)$と微分係数も一致、つまり接します。

問題は$A_2$以降です。ここで、
$$g(x)=f(a)\left(\dfrac{x}{a}\right)^{f^{`}(a)\left(\dfrac{x}{a}\right)^{B}}$$
に対して、$g''(x)$を求め、それが$f''(a)$と等しくなるように$B$を決めます。色々計算していくと$B = \dfrac{1}{2}f^{``}(a)$であることが分かります。先ほどの式においての$A_3$以降は二次の微分係数とは関係がないので、めでたく$A_2 = \dfrac{1}{2}f^{``}(a)$と求まりました。
結構いい感じなのでその勢いで$A_3$を求めると、結構な計算の末このように纏められることが分かりました。
$$A_3 =\frac{a^{3}f'''\left(a\right)}{3f^{`}\left(a\right)f^{``}\left(a\right)f\left(a\right)}+1+\frac{f^{`}\left(a\right)}{f^{``}\left(a\right)}-\frac{f^{`}\left(a\right)^{2}}{3f^{``}\left(a\right)}-\frac{2}{3f^{``}\left(a\right)}-\frac{f^{``}\left(a\right)}{4}-f^{`}\left(a\right)= \dfrac{1}{3}f^{```}(a) + \dfrac{1}{12}f^{``}(a)$$
なんか思ってたのと違うのが出てきました。
ただ、3次超微分が出てきたので完全にNOとは言えないのがまた...
ちなみにこれ以降はどうすればいいかわからず露頭に迷っています。

いかがでしたか？

数学的な議論をしないとただの空論なので言っても仕方がないのですが、なんとなく推察したいなと軽い気持ちでやったら案の定痛い目を見ました。

終わりに

ミスや新たな情報があれば指摘等をよろしくお願いします。