興味深い例を[特殊関数グラフィックスライブラリー](http://math-functions-1.watson.jp/sub2_qspec_010.html#textframeborder)で見つけたので証明します。
&&&thm
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n-1}}{(1-z^n)(1-z^{n+1})} =
\beginend{cases}{
	\dfrac1{(1-z)^2} &|z|<1 \\
	\dfrac1{z(1-z)^2} &|z|>1
}$
&&&
&&&prf
$\beginend{align}{
\sahen &=
	\frac1{1-z}\sum_{n=1}^\infty \qty(\frac{z^{n-1}}{1-z^n}-\frac{z^n}{1-z^{n+1}}) \\&=
	\frac1{1-z}\lim_{N\to\infty}
		\fqty(\frac1{1-z}-\frac{z^N}{1-z^{N+1}}) \\&=
	\uhen
}$
&&&

単位円の内外で別の有理関数に収束する級数

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