集合 ③

Prop & Proof

部分集合の定義より、$A\subseteq A$ を示すには
$$ \forall x\ (x\in A \Rightarrow x\in A) $$
を示せばよい。
任意に $x$ をとる。このとき、命題 $x\in A$ に対して
$$ x\in A \Rightarrow x\in A $$
は恒真である(補足を参照)。したがって、
$$ \forall x\ (x\in A \Rightarrow x\in A) $$
が成り立つ。
ゆえに、部分集合の定義より、
$$ A\subseteq A $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

$(A\subseteq B\land B\subseteq C)$を仮定する。部分集合の定義より、$A\subseteq B$ から
$$ \forall x\in U\ (x\in A\Rightarrow x\in B) $$
が成り立つ。同様に $B\subseteq C$ から
$$ \forall x\in U\ (x\in B\Rightarrow x\in C) $$
が成り立つ。
$ $
そこで、任意の$x\in U$を取り、$x\in A$を仮定する。すると$A\subseteq B$より$x\in B$が従い、さらに$B\subseteq C$より$x\in C$が従う。
以上が、任意の$x\in U$について成り立つから
$$ \forall x\in U\ (x\in A\Rightarrow x\in C) $$
が成り立つ。ゆえに、部分集合の定義より$A\subseteq C$が従う。
$$ \Box$$

$(A\subseteq B\land B\subseteq A)$を仮定する。
任意の$x\in U$を取る。$A\subseteq B$より$(x\in A\Rightarrow x\in B)$が成り立ち、$B\subseteq A$より$(x\in B\Rightarrow x\in A)$が成り立つ。従って
$$ x\in A\Leftrightarrow x\in B $$
が任意の$x\in U$について成り立つ。よって
$$ \forall x\in U\ (x\in A\Leftrightarrow x\in B) $$
が成り立つ。集合の等号の定義より$A=B$が従う。
$$ \Box$$

1. $\Rightarrow $を示す。
   $A=B$を仮定する。任意の$x\in U$について$(x\in A\Leftrightarrow x\in B)$が成り立つから、
   特に$(x\in A\Rightarrow x\in B)$が成り立つ。従って$A\subseteq B$が従う。
   同様に$(x\in B\Rightarrow x\in A)$が成り立つ。従って$B\subseteq A$が従う。
   $ $
2. $\Leftarrow $を示す。
   $(A\subseteq B\land B\subseteq A)$を仮定する。任意の$x\in U$を取る。
   $A\subseteq B$より$(x\in A\Rightarrow x\in B)$が成り立ち、$B\subseteq A$より$(x\in B\Rightarrow x\in A)$が成り立つ。従って
   $$ x\in A\Leftrightarrow x\in B $$
   が任意の$x\in U$について成り立つ。よって
   $$ \forall x\in U\ (x\in A\Leftrightarrow x\in B) $$
   が成り立つ。集合の等号の定義より$A=B$が従う。

-1.2.より両含意が成り立つから、任意の集合$A,B\subseteq U$について
$$ A=B\ \Leftrightarrow\ (A\subseteq B\land B\subseteq A) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$