Appell F1のq類似
Appellの超幾何級数$F_1$は
\begin{align}
F_1(a;b,b';c;x,y):=\sum_{0\leq m,n}\frac{(a)_{m+n}(b)_m(b')_n}{(c)_{m+n}m!n!}x^my^n
\end{align}
と定義される. 今回はその$q$類似である
\begin{align}
\Phi^{(1)}(a;b,b';c;x,y):=\sum_{0\leq m,n}\frac{(a;q)_{m+n}(b;q)_m(b';q)_n}{(c;q)_{m+n}(q;q)_m(q;q)_n}x^my^n
\end{align}
について考える. まず, $q$二項定理より
\begin{align}
\frac{(a;q)_{m+n}}{(c;q)_{m+n}}&=\frac{(a,cq^{m+n};q)_{\infty}}{(c,aq^{m+n};q)_{\infty}}\\
&=\frac{(a;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(c/a;q)_k}{(q;q)_k}a^kq^{(m+n)k}
\end{align}
\begin{align}
\Phi^{(1)}(a;b,b';c;x,y)&=\sum_{0\leq m,n}\frac{(a;q)_{m+n}(b;q)_m(b';q)_n}{(c;q)_{m+n}(q;q)_m(q;q)_n}x^my^n\\
&=\frac{(a;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq m,n}\frac{(b;q)_m(b';q)_n}{(q;q)_m(q;q)_n}x^my^n\frac{(cq^{m+n};q)_{\infty}}{(aq^{m+n};q)_{\infty}}\\
&=\frac{(a;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq m,n}\frac{(b;q)_m(b';q)_n}{(q;q)_m(q;q)_n}x^my^n\sum_{0\leq k}\frac{(c/a;q)_k}{(q;q)_k}a^kq^{km+kn}\\
&=\frac{(a;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(c/a;q)_k}{(q;q)_k}a^k\sum_{0\leq m}\frac{(b;q)_m}{(q;q)_m}(xq^k)^m\sum_{0\leq n}\frac{(b';q)_n}{(q;q)_n}(yq^k)^n\\
&=\frac{(a;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(c/a;q)_k}{(q;q)_k}a^k\frac{(bxq^k;q)_{\infty}}{(xq^k;q)_{\infty}}\frac{(b'yq^k;q)_{\infty}}{(yq^k;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(a,bx,b'y;q)_{\infty}}{(c,x,y;q)_{\infty}}\Q32{c/a,x,y}{bx,b'y}{a}
\end{align}
となる. つまり以下が得られる.
\begin{align} \Phi^{(1)}(a;b,b';c;x,y)&=\frac{(a,bx,b'y;q)_{\infty}}{(c,x,y;q)_{\infty}}\Q32{c/a,x,y}{bx,b'y}{a} \end{align}
これは一般の$\Phi^{(1)}$が一般の${}_3\phi_2$で表されることを意味している. 特に$y=bx$とすると以下を得る.
\begin{align}
\Phi^{(1)}(a;b,b';c;x,bx)&=\frac{(a,bb'x;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{c/a,x}{bb'x}{a}
\end{align}
Heineの変換公式
を用いると
\begin{align}
\Q21{c/a,x}{bb'x}{a}&=\frac{(c,x;q)_{\infty}}{(a,bb'x;q)_{\infty}}\Q21{a,bb'}{c}x
\end{align}
となるから, 以下を得る.
\begin{align} \Phi^{(1)}(a;b,b';c;x,bx)&=\frac{(a,bb'x;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{c/a,x}{bb'x}{a}\\ &=\Q21{a,bb'}{c}x \end{align}
2つ目の表示は
\begin{align}
F_1(a;b,b';c;x,x)&=\F21{a,b+b'}{c}{x}
\end{align}
の$q$類似を与えている. また, 定理1において, $y=\frac{c}{ab'}$とすると,
\begin{align}
\Phi^{(1)}\left(a;b,b';c;x,\frac{c}{ab'}\right)&=\frac{(a,bx,c/a;q)_{\infty}}{(c,x,c/ab';q)_{\infty}}\Q21{x,c/ab'}{bx}{a}
\end{align}
となる.
Heineの変換公式
より
\begin{align}
\Q21{x,c/ab'}{bx}{a}&=\frac{(c/b',x;q)_{\infty}}{(a,bx;q)_{\infty}}\Q21{a,b}{c/b'}{x}
\end{align}
であるから, 以下を得る.
\begin{align} \Phi^{(1)}\left(a;b,b';c;x,\frac{c}{ab'}\right)&=\frac{(a,bx,c/a;q)_{\infty}}{(c,x,c/ab';q)_{\infty}}\Q21{x,c/ab'}{bx}{a}\\ &=\frac{(c/a,c/b';q)_{\infty}}{(c,c/ab';q)_{\infty}}\Q21{a,b}{c/b'}{x} \end{align}
これは
\begin{align}
F_1(a;b,b';c;x,1)&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b')}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b')}\F21{a,b}{c-b'}x
\end{align}
の$q$類似である. 定理1において, $c=bb'$とすると
\begin{align}
\Phi^{(1)}(a;b,b';bb';x,y)&=\frac{(a,bx,b'y;q)_{\infty}}{(bb',x,y;q)_{\infty}}\Q32{bb'/a,x,y}{bx,b'y}{a}
\end{align}
となる.
$q$-Kummerの変換公式
より,
\begin{align}
\Q32{bb'/a,x,y}{bx,b'y}a&=\frac{(bb',ay/b;q)_{\infty}}{(a,b'y;q)_{\infty}}\Q32{bb'/a,b,bx/y}{bb',bx}{\frac{ay}b}
\end{align}
であるから, これを代入して以下を得る
\begin{align} \Phi^{(1)}(a;b,b';bb';x,y)&=\frac{(bx,ay/b;q)_{\infty}}{(x,y;q)_{\infty}}\Q32{b,bb'/a,bx/y}{bb',bx}{\frac{ay}b} \end{align}
これは
\begin{align}
F_1(a;b,b';b+b';x,y)&=(1-x)^{-b}(1-y)^{b-a}\F21{b,b+b'-a}{b+b'}{\frac{y-x}{1-x}}
\end{align}
の$q$類似である. このように, $F_1$は$q$類似において${}_3\phi_2$で表されるので, それを用いて様々な公式を示すことができるのは興味深いと思う.
