Baileyの6H6変換公式

$w=1+2a-b-c-d, 2+3a+n=b+c+d+e+f+g$のときに成り立つ Baileyの${}_9F_8$変換公式
\begin{align} &\F98{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g,-n}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a+n}1\\ &=\frac{(1+a,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_n}{(1+a-e,1+a-f,1+w,1+w-e-f)_n}\\ &\qquad\cdot\F98{w,1+\frac w2,b+w-a,c+w-a,d+w-a,e,f,g,-n}{\frac w2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e,1+w-f,1+w-g,1+w+n}1 \end{align}
において, $a\mapsto a-2N, b\mapsto b-N,c\mapsto c-N,d\mapsto d-N,e\mapsto e-N,f\mapsto f-N, g\mapsto g+N,n\mapsto 2N,w\mapsto w-N$とすると, 条件は$w=1+2a-b-c-d, 2+3a=b+c+d+e+f+g$となり,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{a+2n-2N}{a-2N}\frac{(a-2N,b-N,c-N,d-N,e-N,f-N,g+N,-2N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+a-e-N,1+a-f-N,1+a-g-3N,1+a)_n}\\ &=\frac{(1+a-2N,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_{2N}}{(1+a-e-N,1+a-f-N,1+w-N,1+w-e-f+N)_{2N}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{2n+w-N}{w-N}\frac{(w-N,b+w-a,c+w-a,d+w-a,e-N,f-N,g+N,-2N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+w-e,1+w-f,1+w-g-2N,1+w+N)_n} \end{align}
左辺は
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{a+2n-2N}{a-2N}\frac{(a-2N,b-N,c-N,d-N,e-N,f-N,g+N,-2N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+a-e-N,1+a-f-N,1+a-g-3N,1+a)_n}\\ &=\frac{a(a-2N,b-N,c-N,d-N,e-N,f-N,g+N,-2N)_N}{(a-2N)(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+a-e-N,1+a-f-N,1+a-g-3N,1+a)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{-N\leq n}\frac{a+2n}{a}\frac{(a-N,b,c,d,e,f,g+2N,-N)_n}{(1+N,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g-2N,1+a+N)_n}\\ &=\frac{(-1)^N(-a)_{2N}(1-b,1-c,1-d,1-e,1-f,g+N,1+N)_N}{(1,b-a,c-a,d-a,e-a,f-a,g-a+2N,1+a,1-a)_N}\\ &\qquad\cdot\H99{a-N,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g+2N,-N}{1+N,\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g-2N,1+a+N}1 \end{align}
となる. 一方, 右辺は$M:=\left[\frac N2\right]$として,
\begin{align} &\frac{(1+a-2N,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_{2N}}{(1+a-e-N,1+a-f-N,1+w-N,1+w-e-f+N)_{2N}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{2n+w-N}{w-N}\frac{(w-N,b+w-a,c+w-a,d+w-a,e-N,f-N,g+N,-2N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+w-e,1+w-f,1+w-g-2N,1+w+N)_n}\\ &=\frac{(-1)^N(-a,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_{2N}}{(e-a,1+a-e,f-a,1+a-f,-w,1+w)_N(g-a+N)_{2N}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n< M}\frac{2n+w-N}{w-N}\frac{(w-N,b+w-a,c+w-a,d+w-a,e-N,f-N,g+N,-2N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+w-e,1+w-f,1+w-g-2N,1+w+N)_n}\\ &\qquad+\frac{(-1)^N(-a,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_{2N}}{(e-a,1+a-e,f-a,1+a-f,-w,1+w)_N(g-a+N)_{2N}}\\ &\qquad\cdot\sum_{M\leq n}\frac{2n+w-N}{w-N}\frac{(w-N,b+w-a,c+w-a,d+w-a,e-N,f-N,g+N,-2N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+w-e,1+w-f,1+w-g-2N,1+w+N)_n} \end{align}
ここで, 2つ目の項は
\begin{align} &\sum_{M\leq n}\frac{2n+w-N}{w-N}\frac{(w-N,b+w-a,c+w-a,d+w-a,e-N,f-N,g+N,-2N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+w-e,1+w-f,1+w-g-2N,1+w+N)_n}\\ &=\frac{(w-N,b+w-a,c+w-a,d+w-a,e-N,f-N,g+N,-2N)_N}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+w-e,1+w-f,1+w-g-2N,1+w+N)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{M-N\leq n}\frac{2n+w+N}{w-N}\frac{(w,b+w-a+N,c+w-a+N,d+w-a+N,e,f,g+2N,-N)_n}{(1+N,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e+N,1+w-f+N,1+w-g-N,1+w+2N)_n}\\ &=\frac{(1-w,b+w-a,c+w-a,d+w-a,1-e,1-f,g+N,1+N)_N}{(1,b-a,c-a,d-a,1+w-e,1+w-f,g-w+N,1+w+N)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{M-N\leq n}\frac{2n+w+N}{w-N}\frac{(w,b+w-a+N,c+w-a+N,d+w-a+N,e,f,g+2N,-N)_n}{(1+N,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e+N,1+w-f+N,1+w-g-N,1+w+2N)_n} \end{align}
これらを代入すると,
\begin{align} &\frac{(-1)^N(-a)_{2N}(1-b,1-c,1-d,1-e,1-f,g+N,1+N)_N}{(1,b-a,c-a,d-a,e-a,f-a,g-a+2N,1+a,1-a)_N}\\ &\qquad\cdot\H99{a-N,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g+2N,-N}{1+N,\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g-2N,1+a+N}1\\ &=\frac{(-1)^N(-a,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_{2N}}{(e-a,1+a-e,f-a,1+a-f,-w,1+w)_N(g-a+N)_{2N}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n< M}\frac{2n+w-N}{w-N}\frac{(w-N,b+w-a,c+w-a,d+w-a,e-N,f-N,g+N,-2N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+w-e,1+w-f,1+w-g-2N,1+w+N)_n}\\ &\qquad+\frac{(-1)^N(-a,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_{2N}}{(e-a,1+a-e,f-a,1+a-f,-w,1+w)_N(g-a+N)_{2N}}\\ &\qquad\cdot\frac{(1-w,b+w-a,c+w-a,d+w-a,1-e,1-f,g+N,1+N)_N}{(1,b-a,c-a,d-a,1+w-e,1+w-f,g-w+N,1+w+N)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{M-N\leq n}\frac{2n+w+N}{w-N}\frac{(w,b+w-a+N,c+w-a+N,d+w-a+N,e,f,g+2N,-N)_n}{(1+N,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e+N,1+w-f+N,1+w-g-N,1+w+2N)_n} \end{align}
つまり,
\begin{align} &\H99{a-N,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g+2N,-N}{1+N,\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g-2N,1+a+N}1\\ &=\frac{(1,b-a,c-a,d-a,1+a,1-a)_N}{(1-b,1-c,1-d,1-e,1-f,g+N,1+N)_N}\frac{(1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_{2N}(g-a+N)_{N}}{(1+a-e,1+a-f,-w,1+w)_N(g-a)_{2N}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n< M}\frac{2n+w-N}{w-N}\frac{(w-N,b+w-a,c+w-a,d+w-a,e-N,f-N,g+N,-2N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+w-e,1+w-f,1+w-g-2N,1+w+N)_n}\\ &\qquad+\frac{(1+a,1-a)_N}{(1-b,1-c,1-d)_N}\frac{(1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_{2N}(g-a)_N}{(1+a-e,1+a-f,-w,1+w)_N(g-a)_{2N}}\\ &\qquad\cdot\frac{(1-w,b+w-a,c+w-a,d+w-a)_N}{(1+w-e,1+w-f,g-w+N,1+w+N)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{M-N\leq n}\frac{2n+w+N}{w-N}\frac{(w,b+w-a+N,c+w-a+N,d+w-a+N,e,f,g+2N,-N)_n}{(1+N,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e+N,1+w-f+N,1+w-g-N,1+w+2N)_n} \end{align}
ここで, $N\to\infty$とすると,

\begin{align} &\H66{1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}{-1}\\ &=\frac{\Gamma(1-b,1-c,1-d,1-e,1-f,1+a-e,1+a-f,-w,1+w)}{\Gamma(b-a,c-a,d-a,1+a,1-a,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(b+w-a,c+w-a,d+w-a)_n}{(1,1+w-e,1+w-f)_n}\\ &\qquad-\frac{\Gamma(1-b,1-c,1-d,1+a-e,1+a-f,-w,1+w)}{\Gamma(1+a,1-a,1+a-e-f,1-w,b+w-a,c+w-a,d+w-a)}\\ &\qquad\cdot\sum_{n\in\ZZ}\frac{(w,e,f)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}\\ &=\frac{\Gamma(1-b,1-c,1-d,1-e,1-f,1+a-e,1+a-f,b+c+d-2a-1,2+2a-b-c-d)}{\Gamma(b-a,c-a,d-a,1+a,1-a,1+a-e-f,2+2a-b-c-d-e,2+2a-b-c-d-f)}\\ &\qquad\cdot\F32{1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d}{2+2a-b-c-d-e,2+2a-b-c-d-f}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1-b,1-c,1-d,1+a-e,1+a-f,1+2a-b-c-d)}{\Gamma(1+a,1-a,1+a-e-f,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d)}\\ &\qquad\cdot\H33{1+2a-b-c-d,e,f}{1+a-b,1+a-c,1+a-d}1 \end{align}
ここで, $\Gamma(a_1,\dots,a_r)=\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)$は略記である. 変数を付け替えれば定理を得る.

Non-terminating Whippleの変換公式
\begin{align} &\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-d-e-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\F43{1+a-b-c,d,e,f}{1+a-b,1+a-c,d+e+f-a}{1}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(d+e+f-a-1)\Gamma(2+2a-b-c-d-e-f)}{\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-c-d-e-f)}\\ &\qquad\qquad\cdot \F43{2+2a-b-c-d-e-f,1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f}{2+2a-b-d-e-f,2+2a-c-d-e-f,2+a-d-e-f}1 \end{align}
において, $a\mapsto a-2N, b\mapsto b-N,c\mapsto c-N, d\mapsto d-N, e\mapsto e-N,f\mapsto f-N$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{a+2n-2N}{a-2N}\frac{(a-2N,b-N,c-N,d-N,e-N,f-N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+a-e-N,1+a-f-N)_n}\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d-N)\Gamma(1+a-e-N)\Gamma(1+a-f-N)\Gamma(1+a-d-e-f+N)}{\Gamma(1+a-2N)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-b-c,d-N,e-N,f-N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,d+e+f-a-N)_n}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+a-b-N)\Gamma(1+a-c-N)\Gamma(1+a-d-N)\Gamma(1+a-e-N)\Gamma(1+a-f-N)\Gamma(d+e+f-a-1-N)\Gamma(2+2a-b-c-d-e-f+N)}{\Gamma(d-N)\Gamma(e-N)\Gamma(f-N)\Gamma(1+a-2N)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-c-d-e-f)}\\ &\qquad\cdot \F43{2+2a-b-c-d-e-f+N,1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f}{2+2a-b-d-e-f,2+2a-c-d-e-f,2+a-d-e-f+N}1 \end{align}
左辺は
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{a+2n-2N}{a-2N}\frac{(a-2N,b-N,c-N,d-N,e-N,f-N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+a-e-N,1+a-f-N)_n}\\ &=\frac{a}{a-2N}\frac{(a-2N,b-N,c-N,d-N,e-N,f-N)_N}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,1+a-d-N,1+a-e-N,1+a-f-N)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{-N\leq n}\frac{a+2n}{a}\frac{(a-N,b,c,d,e,f)_n}{(1+N,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f)_n}\\ &=\frac{(-1)^N(-a)_{2N}(1-b,1-c,1-d,1-e,1-f)_N}{(1-a,1,b-a,c-a,d-a,e-a,f-a)_N}\\ &\qquad\cdot\H77{a-N,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{1+N,\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1 \end{align}
となる. 一方, 右辺は
\begin{align} &\frac{\Gamma(1+a-d-N)\Gamma(1+a-e-N)\Gamma(1+a-f-N)\Gamma(1+a-d-e-f+N)}{\Gamma(1+a-2N)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-b-c,d-N,e-N,f-N)_n}{(1,1+a-b-N,1+a-c-N,d+e+f-a-N)_n}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+a-b-N)\Gamma(1+a-c-N)\Gamma(1+a-d-N)\Gamma(1+a-e-N)\Gamma(1+a-f-N)\Gamma(d+e+f-a-1-N)\Gamma(2+2a-b-c-d-e-f+N)}{\Gamma(d-N)\Gamma(e-N)\Gamma(f-N)\Gamma(1+a-2N)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-c-d-e-f)}\\ &\qquad\qquad\cdot \F43{2+2a-b-c-d-e-f+N,1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f}{2+2a-b-d-e-f,2+2a-c-d-e-f,2+a-d-e-f+N}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-d-e-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\\ &\qquad\cdot\frac{(-1)^N(-a)_{2N}(1+a-b-c,1-d,1-e,1-f)_N}{(1,b-a,c-a,d-a,e-a,f-a)_N}\sum_{-N\leq n}\frac{(1+a-b-c+N,d,e,f)_n}{(1+N,1+a-b,1+a-c,d+e+f-a)_n}\\ &\qquad+\frac{(-1)^N(-a)_{2N}(1-d,1-e,1-f,2+2a-b-c-d-e-f)_N\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)}{(b-a,c-a,d-a,e-a,f-a,2+a-d-e-f)_N\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(d+e+f-a-1)\Gamma(2+2a-b-c-d-e-f)}{\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-c-d-e-f)}\\ &\qquad\cdot \F43{2+2a-b-c-d-e-f+N,1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f}{2+2a-b-d-e-f,2+2a-c-d-e-f,2+a-d-e-f+N}1 \end{align}
であるから, これらを代入して
\begin{align} &\frac{(-1)^N(-a)_{2N}(1-b,1-c,1-d,1-e,1-f)_N}{(1-a,1,b-a,c-a,d-a,e-a,f-a)_N}\\ &\qquad\cdot\H77{a-N,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{1+N,\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-d-e-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\\ &\qquad\cdot\frac{(-1)^N(-a)_{2N}(1+a-b-c,1-d,1-e,1-f)_N}{(1,b-a,c-a,d-a,e-a,f-a)_N}\sum_{-N\leq n}\frac{(1+a-b-c+N,d,e,f)_n}{(1+N,1+a-b,1+a-c,d+e+f-a)_n}\\ &\qquad+\frac{(-1)^N(-a)_{2N}(1-d,1-e,1-f,2+2a-b-c-d-e-f)_N\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)}{(b-a,c-a,d-a,e-a,f-a,2+a-d-e-f)_N\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(d+e+f-a-1)\Gamma(2+2a-b-c-d-e-f)}{\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-c-d-e-f)}\\ &\qquad\cdot \F43{2+2a-b-c-d-e-f+N,1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f}{2+2a-b-d-e-f,2+2a-c-d-e-f,2+a-d-e-f+N}1 \end{align}
つまり,
\begin{align} &\H77{a-N,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{1+N,\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-d-e-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\\ &\qquad\cdot\frac{(1-a,1+a-b-c)_N}{(1-b,1-c)_N}\sum_{-N\leq n}\frac{(1+a-b-c+N,d,e,f)_n}{(1+N,1+a-b,1+a-c,d+e+f-a)_n}\\ &\qquad+\frac{(1-a,1,2+2a-b-c-d-e-f)_N}{(1-b,1-c,2+a-d-e-f)_N}\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)}{\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(d+e+f-a-1)\Gamma(2+2a-b-c-d-e-f)}{\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-c-d-e-f)}\\ &\qquad\cdot \F43{2+2a-b-c-d-e-f+N,1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f}{2+2a-b-d-e-f,2+2a-c-d-e-f,2+a-d-e-f+N}1 \end{align}
ここで$N\to\infty$とすると,

\begin{align} &\H66{1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}{-1}\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-d-e-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)}{\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-b-c)}\H33{d,e,f}{1+a-b,1+a-c,d+e+f-a}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)}{\Gamma(1-a)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(d+e+f-a-1)\Gamma(2+2a-d-e-f)}{\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-c-d-e-f)}\\ &\qquad\cdot \F32{1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f}{2+2a-b-d-e-f,2+2a-c-d-e-f}1 \end{align}
となって示すべき等式が得られた.