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佐武線型p.80問1の別解
52
0
$$\newcommand{cl}[0]{\operatorname{Cl}}
\newcommand{diam}[1]{\mathrm{diam}\left({#1}\right)}
\newcommand{dist}[2]{\mathrm{dist}\left({#1},{#2}\right)}
\newcommand{gen}[1]{\qty\langle#1\rangle}
\newcommand{I}[0]{\mathrm{Int}}
\newcommand{id}[0]{\mathrm{id}}
\newcommand{incl}[2]{\mathrm{id}_{#1}^{#2}}
\newcommand{Int}[0]{\operatorname{Int}}
\newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}}
\newcommand{supp}[1]{\mathrm{supp}(#1)}
\newcommand{transpose}[0]{\mathsf{T}}
$$
$$
A \coloneqq \begin{bmatrix}
x_{1} & x_{2} \\ x_{2} & x_{1}
\end{bmatrix},\ B \coloneqq \begin{bmatrix}
x_{3} & x_{4} \\ x_{4} & x_{3}
\end{bmatrix}$$
とおくと，p.55問2の結果を用いて
\begin{align}
\begin{vmatrix}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\
x_{2} & x_{1} & x_{4} & x_{3} \\
x_{3} & x_{4} & x_{1} & x_{2} \\
x_{4} & x_{3} & x_{2} & x_{1}
\end{vmatrix}
&= \begin{vmatrix}
A & B \\ B & A
\end{vmatrix} \\
&= \begin{vmatrix}
A + B
\end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}
A-B
\end{vmatrix}\\
&= ((x_{1}+x_{3})^{2}-(x_{2}+x_{4})^{2}) \cdot ((x_{1}-x_{3})^{2}-(x_{2}-x_{4})^{2}) \\
&= (x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})(x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4})(x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4})(x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4})
\end{align}
と計算できる．
参考文献
[1]
佐武一郎, 『線型代数学』, 裳華房
投稿日：8月28日
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うすい
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