Chaundy-Bullardの恒等式のq類似

$q$二項定理
\begin{align} (x;q)_n&=\sum_{k=0}^n\qbinom nkq(-1)^kq^{\binom k2}x^k \end{align}
とその反転公式( Carlitzの反転公式 の特別な場合)
\begin{align} x^n&=\sum_{k=0}^n\qbinom nkq(-1)^kq^{\binom k2+k(1-n)}(x;q)_k \end{align}
を考える. この式は
\begin{align} \qbinom nk{q^{-1}}=\qbinom nkqq^{k^2-nk} \end{align}
であるから,
\begin{align} x^n&=\sum_{k=0}^n\qbinom nk{q^{-1}}(-1)^kq^{-\binom k2}(x;q)_k \end{align}
と書き換えられる. よって, $\CC(q)[x]$における作用素$T$を
\begin{align} T\sum_{0\leq k}c_k(q)x^k:=\sum_{0\leq k}c_k(q^{-1})(x;q)_k \end{align}
と定義すると,
\begin{align} T(x;q)_n&=\sum_{k=0}^n\qbinom nk{q^{-1}}(-1)^kq^{-\binom k2}(x;q)_k\\ &=x^n \end{align}
であるから$T$は対合である. ここで, Bézoutの等式より, それぞれ$m,n$次の多項式$Q_{m,n}^{(1)},Q_{m,n}^{(2)}$が一意に存在して,
\begin{align} 1=(x;q)_{n+1}Q_{m,n}^{(1)}(x;q)+x^{m+1}Q_{m,n}^{(2)}(x;q) \end{align}
と表されるので, $x\to 0$において
\begin{align} \frac 1{(x;q)_{n+1}}&=Q_{m,n}^{(1)}(x;q)+O(x^{m+1}) \end{align}
が成り立つ. $q$二項定理より, $x\to 0$において,
\begin{align} \frac 1{(x;q)_{n+1}}=\sum_{k=0}^m\qbinom{n+k}kqx^k+O(x^{m+1}) \end{align}
であるから,
\begin{align} Q_{m,n}^{(1)}(x;q)=\sum_{k=0}^m\qbinom{n+k}kqx^k \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} 1=(x;q)_{n+1}Q_{m,n}^{(1)}(x;q)+x^{m+1}Q_{m,n}^{(2)}(x;q) \end{align}
の両辺に$T$を作用させると,
\begin{align} 1=x^{n+1}\tilde{Q}_{m,n}^{(1)}(x;q)+(x;q)_{m+1}\tilde{Q}_{m,n}^{(2)}(x;q) \end{align}
の形の等式が得られる. ここで,
\begin{align} x^{n+1}\tilde{Q}_{m,n}^{(1)}(x;q)&:=T(x;q)_{n+1}Q_{m,n}^{(1)}(x;q)\\ x^{n+1}\tilde{Q}_{m,n}^{(2)}(x;q)&:=Tx^{m+1}Q_{m,n}^{(2)}(x;q) \end{align}
である. $Q_{n,m}^{(1)},Q_{n,m}^{(2)}$の一意性より,
\begin{align} \tilde{Q}_{m,n}^{(1)}(x;q)=Q_{n,m}^{(2)}(x;q) \end{align}
であるから,
\begin{align} T(x;q)_{n+1}Q_{m,n}^{(1)}(x;q)&=x^{n+1}Q_{n,m}^{(2)}(x;q) \end{align}
が成り立つ. 右辺は
\begin{align} T(x;q)_{n+1}Q_{m,n}^{(1)}(x;q)&=T\left((x;q)_{n+1}\sum_{k=0}^m\qbinom{n+k}kqx^k\right)\\ &=T\left(\sum_{l=0}^{n+1}\sum_{k=0}^m\qbinom{n+1}lq(-1)^lq^{\binom l2}\qbinom{n+k}kqx^{k+l}\right)\\ &=\sum_{l=0}^{n+1}\sum_{k=0}^m\qbinom{n+1}l{q^{-1}}(-1)^lq^{-\binom l2}\qbinom{n+k}k{q^{-1}}(x;q)_{k+l}\\ &=\sum_{k=0}^m\qbinom{n+k}k{q^{-1}}(x;q)_k\sum_{l=0}^{n+1}\qbinom{n+1}l{q^{-1}}(-1)^lq^{-\binom l2}(xq^k;q)_{l}\\ &=\sum_{k=0}^m\qbinom{n+k}k{q^{-1}}(x;q)_kx^{n+1}q^{k(n+1)}\\ &=x^{n+1}\sum_{k=0}^m\qbinom{n+k}k{q}q^k(x;q)_k \end{align}
であるから,
\begin{align} Q_{n,m}^{(2)}(x;q)=\sum_{k=0}^m\qbinom{n+k}k{q}q^k(x;q)_k \end{align}
を得る. よって, これと先ほど示した
\begin{align} Q_{m,n}^{(1)}(x;q)=\sum_{k=0}^m\qbinom{n+k}kqx^k \end{align}
を
\begin{align} 1=(x;q)_{n+1}Q_{m,n}^{(1)}(x;q)+x^{m+1}Q_{m,n}^{(2)}(x;q) \end{align}
に代入して定理を得る.